Raíz cuadrada

De Wikipedia
Saltar a navegación Saltar a la gueta
Espresión matemática de "Raigañu cuadráu de x".

En matemátiques, la raigañu cuadráu d'un númberu , representada por , ye aquel númberu que al ser multiplicáu por sigo mesmu da como resultáu'l valor . Esto ye, cumple la ecuación .[1]

El raigañu cuadráu corresponder cola radicación d'índiz 2 o, equivalentemente, cola potenciación d'esponente 1/2.

Cualquier númberu real non negativu tien un únicu raigañu cuadráu positiva o raigañu cuadráu principal[2] y denotada como onde ye'l símbolu raigañu y ye'l aniciando.

Cuando se riquir denotar dos raíz cuadraes una negativa, , y otra positiva, , suelen denotarse curioso como o bien como según l'orde precisáu.

El conceutu de raigañu cuadráu puede estendese a cualquier aníu alxebraicu, asina ye posible definir el raigañu cuadráu d'un númberu real negativu o'l raigañu cuadráu de delles matrices. Nos númberos cuaterniónicos los reales negativos almiten un númberu infinitu de raigaños cuadraos, sicasí'l restu de cuaterniones distintos de cero almiten solu dos raigaños cuadraos. Nel aníu non conmutativu de les funciones reales de variable real cola adición y la composición de funciones si fºf = g, puede plantegase que f ye la "raigañu cuadráu" de g.[3]

Historia[editar | editar la fonte]

Los raigaños cuadraos son espresiones matemátiques que surdieron al plantegar diversos problemes xeométricos como'l llargor de la diagonal d'un cuadráu. El Papiru de Ahmes datáu escontra 1650 a. C., que copia testos más antiguos, amuesa cómo los exipcios estrayíen raigaños cuadraos.[4]

Na hestoria de la India antigua India, la conocencia d'aspeutos teóricos y aplicaos del cuadráu y el raigañu cuadráu foi siquier tan antiguu como los Sulba Sutras, fechaos ente'l 500 y el 300 a. C. Un métodu p'atopar bien bonos aproximamientos a los raigaños cuadraos de 2 y 3 ye dáu nel Baudhayana Sulba Sutra.[5] Aryabhata (476-550) nel so tratáu Aryabhatiya (sección 2.4), dio un métodu p'atopar el raigañu cuadráu de númberos con dellos díxitos.

Los babilonios averaben raigaños cuadraos faciendo cálculos por aciu la media aritmética reiteradamente. En términos modernos, tratar de construyir una sucesión dada por:[6]


Puede demostrase qu'esta sucesión matemática converxi (como valor inical puede tomase con bonu aproximamientu l'enteru más cercanu al valor del raigañu cuadráu). Los raigaños cuadraos fueron unu de los primeros desenvolvimientos de les matemátiques, siendo particularmente investigaes mientres el periodu pitagóricu, cuando'l descubrimientu de que la raigañu cuadráu de 2 yera irracional (inconmensurable) o non expresable como cociente dalgunu, lo que supunxo un finxu na matemática de la dómina.

Primeramente amosaron la so utilidá pal resolvimientu de problemes trigonométricos y xeométricos, como la diagonal d'un cuadráu o'l teorema de Pitágoras. Darréu fueron ganando utilidá pa operar con polinomios y resolver ecuaciones de segundu grau o superior, y son na actualidá una de les ferramientes matemátiques más elementales.

David Eugene Smith, en History of Mathematics, diz alrodiu de la situación esistente:

"N'Europa esos métodos (p'atopar el cuadráu y el raigañu cuadráu) nun apaecieron antes de Cataneo (1546). Él dio'l métodu de Ariabhata pa determinar el raigañu cuadráu".[7]

Pietro Antonio Cataldi calculó en 1613 el raigañu cuadráu averando por fracciones continues, como apaez na obra común Hestoria de la matemática de Julio Rey Pastor y José Babini.

El símbolu del raigañu cuadráu foi introducíu en 1525 pol matemáticu Christoph Rudolff pa representar esta operación,[8][9] qu'apaez nel so llibru Coss, el primer tratáu d'álxebra escritu en alemán vulgar. El signu nun ye más qu'una forma estilizada de la lletra r minúscula pa faela más elegante[ensin referencies], allargar con un trazu horizontal, hasta adoptar l'aspeutu actual, que representa la palabra llatina radix, que significa raigañu. Tamién se conxetura que pudiera surdir de la evolución del puntu que n'ocasiones s'usaba enantes pa representalo, onde darréu se -y añedió un trazu oblicuu na dirección del aniciando.

Darréu foise ampliando la definición de raigañu cuadráu. Dellos matemáticos vieron la necesidá d'escurrir númberos que representaren el raigañu cuadráu de númberos reales negativos pa poder resolver toles ecuaciones de segundu grau, pero nun va ser hasta 1777 cuando Euler simbolizara'l raigañu cuadráu de –1 cola lletra i. La xeneralización de la función raigañu cuadráu d'éstos da llugar al conceutu de los númberos imaxinarios y al cuerpu de los númberos complexos, daqué necesariu por que cualesquier polinomiu tenga toes los sos raigaños (teorema fundamental de la álxebra).[10] La diagonalización de matrices tamién dexa'l cálculu rápidu del raigañu d'una matriz.

Función raigañu cuadrada[editar | editar la fonte]

La gráfica de la función ye una semiparábola con directriz vertical.

El raigañu cuadráu dexa definir una función real que'l so dominio y imaxe ye'l conxuntu (el conxuntu de tolos númberos reales non negativos). Pa cada númberu real x esta función defínese como l'únicu númberu non negativu y qu'eleváu al cuadráu ye igual a x. Consiste en topar el númberu del que se conoz el so cuadráu. La función raigañu cuadráu de x espresar de les siguiente manera:


Usualmente el raigañu cuadráu d'un númberu enteru nun ye un númberu racional nun siendo que'l númberu enteru sía un cuadráu perfectu, como por casu:


yá que:


La función raigañu cuadráu, polo xeneral, tresforma númberos racionales en númberos alxebraicos; ye racional si y namá si x ye un númberu racional que puede escribise como fracción de dos cuadraos perfectos. Si'l denominador ye , entós trátase d'un númberu natural. Sicasí, ye irracional.

El descubrimientu de que'l raigañu cuadráu de munchos númberos yera un númberu irracional atribuyir a los pitagóricos. Los babilonios y exipcios yá disponíen de medios d'envalorar numbéricamente'l raigañu cuadráu, pero'l so interés paez ser eminentemente prácticu polo que nun paecen esistir referencies sobre la naturaleza del raigañu cuadráu y el problema de si esta podía ser espresada como cociente de dos númberos enteros.

La interpretación xeométrica ye que la función raigañu cuadráu tresforma la superficie d'un cuadráu na llargor del so llau.

Propiedaes xenerales[editar | editar la fonte]

Gráfica de la ecuación: o tamién (como función multivaluada).

Les siguientes propiedaes del raigañu cuadráu son válides pa tolos númberos reales non negativos x, y:

Con notación esponencial:

y tamién la equivalencia:

Plantía:Demostración

La función ye continua pa tolos númberos non negativos y derivable pa tolos númberos positivos (nun ye derivable pa una y bones la pindia de la tanxente ende ye infinita). La so derivada ta dada por

La serie de Taylor de en redol a x = 0 y converxente pa |x| ≤ 1 puede atopase usando'l teorema del binomiu:

En cálculu, cuando se prueba que la función raigañu cuadráu ye continua o derivable, o cuando se calculen ciertos Llende d'una función llendes, la siguiente igualdá ye bien útil (consiste en multiplicar y estremar pol conxugáu, vease binomiu conxugáu):

y ye válida pa tolos númberos non negativos x y y que nun sían dambos cero.

Irracionalidá de los raigaños cuadraos[editar | editar la fonte]

Una propiedá importante del raigañu cuadráu de los númberos enteros ye que, si estos nun son cuadraos perfectos, los sos raigaños son siempres númberos irracionales, que son númberos non expresables como'l cociente de dos númberos enteros. Esto ye, el raigañu cuadráu d'un númberu enteru siempres va ser enteru o irracional, nunca un númberu racional non enteru.

Cualquier númberu enteru pue ser espresáu como'l productu d'una serie de factores primos elevaos a diversos esponentes. De ser toos pares, les propiedaes de la potenciación dexen amenorgar el raigañu a un númberu natural. Namá si unu o más de los factores tien un esponente impar el raigañu nun ye natural.

Si fora racional tendría de podese espresar como con p, q enteros y primos ente sigo. Alzando al cuadráu dambes partes llógrase que , lo que ye absurdu, pos a un llau queda siquier un factor primu con esponente impar ente que, al otru llau de la igualdá, tantu como espresar en función de productu de primos elevaos a esponentes necesariamente pares.

Por un amenorgamientu al absurdu llegaron los pitagóricos a la demostración de la irracionalidá de la raigañu cuadráu de 2, atribuyida a Hipaso de Metaponto, un discípulu de Pitágoras. La idea, contraria a esperar na matemática d'entós, supunxo la denominada crisis de los inconmensurables de la filosofía pitagórica.

Sicasí, ye esactamente'l llargor de la diagonal d'un cuadráu que'l so llau mide 1, siendo fácil la construcción gráfica del raigañu. Por ello bona parte de la matemática helénica centrar na xeometría aplicada como forma de calcular gráficamente valores como ési. Teodoro de Cirene llegó a la espiral que lleva'l so nome, que dexa representar gráficamente cualquier raigañu, y darréu Euclides llegó a un métodu más xeneral.

Radicales jerarquizados cuadraos[editar | editar la fonte]

Artículu principal: Radical jerarquizado

En distintos contestos utilícense radicales de la forma

qu'en dellos casos puede ser escritos na forma

lo que ye facederu si namá si x + y = A, xy = B .[11][12] Les espresiones anteriores denominar radicales jerarquizados.

La identidá implica que , y por repeticiones socesives:


Por razones análogues llógrase:


;

o que


;

Si r ye una entidá puramente cimera a unu,


Esta forma d'espresar númberos por aciu la repetición socesiva de númberos conteníos dientro de raigaños cuadraos puede tener diverses aplicaciones como'l resolvimientu de dellos tipos d'ecuación o la espresión de dellos númberos famosos como'l númberu áureo o'l número pi.[13]

Fracciones continues[editar | editar la fonte]

Artículu principal: Fracción continua

Unu de les resultancies más interesantes del estudiu de númberos irracionales como fracciones continues foi llográu por Joseph-Louis Lagrange cerca de 1780. Lagrange afayó que'l raigañu cuadráu de cualquier númberu enteru positivu ensin cuadrar puede representase por una fracción continua periódica, esto ye, onde asocede ciertu patrón de díxitos repetidamente nos denominadores. Nun sentíu estos raigaños cuadraos son númberos irracionales muncho más simples, porque pueden ser representaes con un patrón de díxitos de repetición simple.

.


Aproximamientos enteros[editar | editar la fonte]

L'aproximamientu de raigaños cuadraos a númberos enteros ye común en ciertos problemes matemáticos, como la peñerada de Eratóstenes qu'avera nos sos cálculos el raigañu cuadráu al mayor enteru tal qu'el so cuadráu sía menor que'l valor del raigañu. Los aproximamientos pueden ser por defectu — usando la función trío — o por escesu — usando la función techo—. Les primeres daes por defectu:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 15 16 17 ... 24 25 26 27 28
1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 ... 3 4 4 ... 4 5 5 5 5

Una observación de los primeros términos pon de manifiestu que na construcción d'esta tabla, sáltase socesivamente una medría de manera regular. Más precisamente, el cero ye repitíu una vegada, el 1 tres veces, el 2 cinco veces, el 3 siete veces, el 4 nueve veces, etc. El númberu de vegaes que l'enteru n repitir ye'l n-ésimo enteru impar. La demostración mora sobre la identidá siguiente, del tipu diferencia finita:

Estensión de la función raigañu cuadráu[editar | editar la fonte]

El raigañu cuadráu d'un númberu complexu[editar | editar la fonte]

Raigañu cuadráu complexa.
Segunda fueya del raigañu cuadráu complexa.
Usando la superficie de Riemann del raigañu cuadráu, puede vese como encaxen los dos fueyes.

El cuadráu de cualquier númberu real positivu o negativu ye positivu, y el cuadráu de 0 ye 0. Poro, nengún númberu negativu puede tener un raigañu cuadráu nos númberos reales. Sicasí, ye posible trabayar con un sistema más grande de númberos, llamaos los númberos complexos, que contienen soluciones al raigañu cuadráu de cualquier númberu real negativu (ya inclusive de cualquier númberu complexu).[14] Los númberos complexos pueden construyise definiendo un nuevu númberu astractu, denotado por i (dacuando j, especialmente nel contestu de la eletricidá) y llamáu unidá imaxinaria, que satisfai que i2 = -1. Utilizando esta notación podemos pensar en i como'l raigañu cuadráu de −1, pero notamos que tamién tenemos (-i)2= i2 = -1, asina que (−i) ye tamién un raigañu cuadráu de −1. Polo xeneral, si x ye cualesquier númberu real positivu, entós nel raigañu cuadráu principal de −x cumplir la siguiente igualdá:


esto ye, el raigañu cuadráu d'un númberu negativu ye necesariamente imaxinariu.[15] Pa cada númberu complexu distintu a cero z esisten esactamente dos númberos w tales que .

Raigañu cuadráu d'un númberu imaxinariu[editar | editar la fonte]

Si deseyar atopar el raigañu d'un númberu imaxinariu ye posible demostrar la igualdá


Por casu, los raigaños cuadraos de son:

y :

Raigañu cuadráu principal d'un númberu complexu[editar | editar la fonte]

La definición xeneral de ta introduciendo'l siguiente puntu de caña: si z = r·yiφ ye representáu en coordenaes polares con −π < φ ≤ π, dempués afitamos el valor principal a:

Asina definíu, la función del raigañu ye holomorfa perdayuri sacante nos númberos reales non positivos, onde nun ye inclusive continua. La desusdicha serie de Taylor pa sigue siendo válida pal restu de los númberos complexos x con |x| < 1.

Tamién puede representase en forma de funciones trigonométriques, utilizando la fórmula de Moivre. Si Fallu al revisar la fórmula (función '\ensin' desconocida): {\displaystyle z = r(\cos{\varphi} + i\ensin{\varphi}) } entós hai esactamente dos raíz cuadraes; la primera ye:

Fallu al revisar la fórmula (función '\ensin' desconocida): {\displaystyle \sqrt{z} = \sqrt{r}\left ( \cos{\frac{\varphi}{2}} + i\ensin{\frac{\varphi}{2}} \right ) }

y pal otru raigañu úsase l'argumentu φ/2 + π, siendo'l módulu'l mesmu.[16]

Fórmula alxebraica[editar | editar la fonte]

Polo xeneral, pa un númberu complexu espresáu en forma cartesiana, per mediu d'estes fórmules llógrase la raigañu cuadráu principal:

onde |z| ye'l valor absolutu o módulu del númberu complexu, y el signu de la parte imaxinaria del raigañu coincide col signu de la parte imaxinaria del aniciando (ver función signo (sgn)).

L'otru raigañu cuadráu llógrase a cencielles de multiplicar −1 pol raigañu cuadrada principal, dambos raigaños pueden ser escrites como :

Esta fórmula puede ser usada pa topar los raigaños d'una ecuación (non alxebraica) con coeficientes en cita riquida}}.

Notes[editar | editar la fonte]

Repare que por cuenta de la naturaleza discontinua de la función del raigañu cuadráu nel planu complexu, la llei ye polo xeneral falsa, y tien toa potencia nun conxuntu determináu. Ye incorrectu si asumir qu'esta llei ye la base de delles demostraciones inválides, por casu el demostrar que :

Onde la tercer igualdá tien que ser vista como:

Al nun considerase, de normal los dos cañes de la función raigañu cuadráu, puede inducir a erros na considerancia d'esta operación.

Raigaños cuadraos nos cuaterniones[editar | editar la fonte]

Colos númberos complexos ta aseguráu que namá esiste un númberu finito de raigaños enésimos de la unidá. Asina por casu -1 tien namá dos raíz complexes i y −i. Sicasí, nos númberos cuaterniónicos hai un númberu infinitu de raigaños cuadraos de -1: de fechu el conxuntu de soluciones forma una esfera nel espaciu tridimensional. Pa ver esto, sía q = a + bi + cj + dk un cuaternión, y supóngase qu'el so cuadráu ye −1. En términos de a, b, c y d esa asunción implica que


Esti conxuntu d'ecuaciones reales tien infinites soluciones. Pa satisfaer les últimes trés ecuaciones tien de tenese que a = 0 o bien b = c = d = 0, sicasí, esta última posibilidá nun puede dase yá que al ser a un númberu real la primer ecuación implicaría que a2 = −1, pero eso ye imposible pa un númberu real. Por tanto a = 0 y b2 + c2 + d2 = 1. N'otres palabres. Nótese que namá un cuaternión que sía igual a un númberu real negativu puede tener un númberu infinitu de raigaños cuadraos. Tolos demás tienen namá dos raíz (o nel casu del 0 un únicu raigañu). Dáu un númberu cuaterniónico (que nun sía un real negativu) los sos dos raigaños cuaterniónicas son:


Lo anterior implica que la ecuación:


tien infinites soluciones, asitiaes sobre la esfera unidá.

Raigañu cuadráu de matrices[editar | editar la fonte]

Artículu principal: Raigañu cuadráu d'una matriz

La esistencia d'un productu de matrices dexa definir el raigañu cuadráu d'una matriz como aquella matriz B que multiplicada por sigo mesma da la orixinal A, esto ye, B2=A depués B=√A.

Raigañu cuadráu en cuerpu finito[editar | editar la fonte]

  • Primero definamos los cuadraos, por casu en F[7] el conxuntu de los restos enteros módulu 7, {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. El signu = significa congruencia.[17] Non tolos númberos de F[7] tienen.
  • 12 = 1; 22 = 4; 32 = 2; 42 = 2; 52 = 4; 62= 1; 02 = 0.
  • Vamos Dicir que a ye'l raigañu cuadráu de b si a2 = b; se denota .
  • de la llista anterior vese que #

;

  1. ;
  2. ;
  3. ;
  4. ;

Cálculu de raigaños cuadraos[editar | editar la fonte]

Artículu principal: Cálculu del raigañu cuadráu
Partes de la Raiz Cuadrada.PNG

Anguaño esisten munchos métodos pa calcular el raigañu cuadráu, habiendo dellos aptos pal cálculu manual y otros meyor afechos al cálculu automáticu.

Algoritmu[editar | editar la fonte]

Cuando vamos realizar el raigañu cuadráu col so métodu de resolvimientu avezáu podemos ver les partes nes que s'estrema, anque les esenciales d'ésta nun tienen por qué apaecer o ser usaes solamente na operación pa ser calculada'l raigañu cuadráu. Según esta imaxe, podemos ver que les partes de les que se compon; son:

  1. Radical: ye'l símbolu qu'indica que ye un raigañu cuadráu.
  2. Aniciando o cantidá subradical: ye'l númberu del que se llogra'l raigañu cuadráu.
  3. Raigañu: ye puramente'l raigañu cuadráu del aniciando.
  4. Renglones auxiliares: van ayudanos a resolver el raigañu cuadráu.
  5. Restu: ye'l númberu final del procesu pa resolver el raigañu cuadráu.

=== Utilizando llogaritmos simplificar el cálculu utilizando llogaritmus y los sos propiedaes emplegando les tables de llogaritmos o regles de cálculu.

Algoritmos pa máquines[editar | editar la fonte]

Calculadoras, hoja de cálculu y otros softwares tamién s'usen con frecuencia pa calcular raigaños cuadraos. Los programes de software ponen típicamente bones rutines na so execución pa computar la función esponencial y el llogaritmu natural o llogaritmu, computándose dempués el raigañu cuadráu de x usando la identidá:

o

Construcción xeométrica del raigañu cuadráu[editar | editar la fonte]

El raigañu cuadráu d'un númberu real puede construyise con riegla y compás. Nos sos Elementos, Euclides (300 AC) dio la construcción de la media xeométrica de dos cantidad nes sos proposiciones II.14 y VI.13. Cuidao que la media xeométrica de y ye , unu puede construyir a cencielles tomando .

La construcción tamién foi dada por Refugues nel so llibru La Géométrie, vea la figura 2 na segunda páxina.

Otru métodu de construcción xeométrica (pa los raigaños de númberos naturales) usa triángulos rectángulos y inducción: puede, en concencia, ser construyíu, y una vegada que foi construyíu, el triángulu con 1 y como catetos, tien una hipotenusa de .

Pasos a siguir pa la construcción xeométrica[editar | editar la fonte]

AO = 1, OB = a, OH = x

Pa "calcular" geométricamente el raigañu cuadráu d'un númberu real dáu, lo que se fai ye una construcción, por aciu riegla y compás, d'un segmentu que mida'l raigañu cuadráu del llargor d'un segmentu orixinal que tenga por llargor esi valor real dáu.

Los pasos a siguir son los siguientes:

  1. Trazamos un segmentu de llargor , esto ye, de llargor igual al númberu del cual queremos calcular el so raigañu cuadráu.
  2. Estendemos el segmentu nuna unidá (según el llargor que tomáramos como unidá) de cuenta que tengamos el segmentu de llargor .
  3. Trazamos un círculu que tenga como diámetru'l segmentu .
  4. Nel puntu (que ye onde empieza la estensión de llargor 1) trazamos una llinia perpendicular a . Esta llinia curtia a la circunferencia en dos puntos. Sía cualesquier d'esos puntos. Entós, resulta que'l segmentu tien un llargor: .

Esta construcción tien la so importancia nel estudiu de los númberos constructibles.

Demostración de qu'OH ye igual al raigañu cuadráu de OB[editar | editar la fonte]

Pa demostrar esta igualdá, vamos demostrar que los triángulos y son triángulos asemeyaos:

  1. L'ángulu ye un ángulu rectu (de 90º) yá que ye la diagonal d'un arcu capaz.
  2. El segmentu ye perpendicular, por construcción, al segmentu . Esto ye que los dos ángulos con vértiz en , (el derechu na diagrama) como (l'esquierdu na diagrama) son ángulos rectos.
  3. La suma de tolos ángulos d'un triángulu ye igual a 180º.

Agora teniendo en cuenta tou esto construyimos el siguiente sistema d'ecuaciones:

Onde ye l'ángulu cimeru del triángulu esquierdu del cual desconocemos la so abertura, les otres lletres representen los otros ángulos que desconocemos y l'ángulu puede representase como la resta de yá que 90º ye'l valor de enteru. Al resolver la primer ecuación vemos que:

;
.

Colo que yá demostremos qu'estos ángulos miden lo mesmo y al resolver el segundu:

;
.

Colo que al ser sácase que y con esto queda demostráu que al midir tolos ángulos lo mesmo son triángulos asemeyaos de manera ~ . Al tener esta asemeyada los llaos de los triángulos tienen una proporcionalidad igual pa los trés llaos tal que:

Recordando que al construyir geométricamente el raigañu siempres valía 1, colo que coyendo lo que nos interesa desenvolvemos:

;
;
.

Quedando demostrada.

Raigaños cuadraos útiles[editar | editar la fonte]

Artículu principal: Raigaños cuadraos
Raigañu cuadráu de 2.

Raigañu cuadráu de 2[editar | editar la fonte]

Artículu principal: Raigañu cuadráu de 2

Probablemente, el raigañu cuadráu de 2 foi'l primer númberu irracional descubiertu, que'l so descubrimientu costó-y la vida a un correlixonariu de Pitágoras. El valor d'esti númberu con 10 cifres decimales por truncamiento ye 1,4142135623. Apaez como senu y cosenu d'un ángulu de 45 graos sexagesimales. Hai delles fórmules de recurrencia pa topar el so valor averáu. Una d'elles ye'l conocíu métodu de la tanxente de Newton. El so irracionalidá yá la habíen demostráu los griegos. Sicasí, el so fundamentación debémos-y a Dedekind, Cantor nel sieglu XX. Verdaderamente, nun vien ser sinón una llende igual que y, pi, tan útiles y esquivos porque naide puede escribir les sos infinites cifres; pero basta con menos de 10 díxitos decimales pa lo que fai la ciencia y tecnoloxía.

Raigañu cuadráu de 3[editar | editar la fonte]

Artículu principal: Raigañu cuadráu de 3
Mide raigañu cuadráu de 3, la diagonal d'un cubu que les sos arestes miden 1.

El raigañu cuadráu de 3: , tamién conocida como constante de Teodoro (por Teodoro de Cirene), ye geométricamente el valor de la diagonal d'un cubu que les sos arestes miden la unidá, pudiéndose demostrar col teorema de Pitágoras. Tamién ye la hipotenusa d'un triángulu rectángulu construible que los sos catetos miden raigañu cuadráu de 2 y l'unidá respectivamente.

El valor d'esti númberu con 10 cifres decimales por truncamiento ye 1,7320508075

Raigañu cuadráu de 5[editar | editar la fonte]

Artículu principal: Raigañu cuadráu de 5

El raigañu cuadráu de 5: , apaez na fórmula del númberu áureo, y ye geométricamente la hipotenusa d'un triángulu que los sos catetos miden 1 y 2 respectivamente, comprobándose por aciu el teorema de Pitágoras. El so valor con 10 cifres decimales por truncamiento ye 2,2360679774.

Usos y casos[editar | editar la fonte]

  • El raigañu cuadráu usar pa calcular la hipotenusa d'un triángulu rectángulu, conociendo los catetos. O unu d'estos conociendo la hipotenusa y l'otru catetu.
  • Pa topar el radiu d'un círculu conociendo la so área.
  • Na detección de si un númberu enteru positivu ye primu; basta considerar como divisores primos, aquellos númberos primos que son menores qu'el so raigañu cuadráu, averada a unidaes.
  • Pa topar el tiempu nel movimientu uniforme aceleráu ensin velocidá inicial.
  • Pa conocer cuántos númberos impares iniciales, empezando dende'l 1, sumáronse; usando como dato un cuadráu perfectu.
  • Nuna función cuadrática canónica, conociendo la ordenada, topar les correspondientes ascises.
  • Pa calcular la diagonal d'un cuadráu conociendo la so área.
  • Pa calcular la media cuadrática de datos positivos. [18]
  • Al calcular él área d'un triángulu equilláteru, onde intervien
  • Al llograr la área d'un tetraedru regular, en función de la so aresta, emplégase [19]
  • Al llograr el volume d'un tetraedru regular, en función de la so aresta, úsase
  • Pa topar la media proporcional c ente a y b. L'altor d'un triángulu conociendo les proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. La tanxente a una circunferencia, conociendo la secante y la so parte esterna.
  • La usar en ciertes razones trigonométriques d'un ángulu de 30º o 60º.
  • La emplegar pa definir el senu y cosenu d'un ángulu de 45º.[20]
  • Al resolver una ecuación de segundu grau completa o de la forma x2 = a, úsase'l raigañu cuadráu; nel primera caso si'l determinante ye negativu, y na ecuación incompleta de segundu grau si a ye menor que cero, hai que topar el raigañu cuadráu d'un númberu negativu, qu'apurre como raigaños, dos númberos complexos conxugaos. Nel casu de que se tenga una ecuación de segundu grau con coeficientes complexos non reales, tamién se topa'l raigañu cuadráu, pero los raigaños de la ecuación cuadrática, nesti casu , non necesariamente, son conxugaes. [21]
  • Nel casu de resolver la ecuación cúbica amenorgada y3 + py + q = 0, por aciu la llamada fórmula de Cardano, necesariamente hai que topar el raigañu cuadráu de p3/27 + q2/4 = H; depués efectuar los raigaños cúbicos de -q/2 + H y de -q/2 -H. [22]

Ver tamién[editar | editar la fonte]

Referencies[editar | editar la fonte]

Notes[editar | editar la fonte]

  1. Álxebra moderna- Estructura y métodu. Dolciani y otros. Publicaciones Cultural. Méxicu, Mexico 1986
  2. En llibros traducíos del inglés pa la editorial Pearson impresos en Mexico. El so usu yera más xeneral, p'aplicalo en raigaños enésimos.
  3. Plausible xeneralización al casu d'un aníu non conmutativu
  4. Anglin, W.S. (1994). Mathematics: A Concise History and Philosophy. Nueva York: Springer-Verlag, 1994.
  5. Joseph 2000, cap. 8.
  6. Boyer: Hestoria de la matemática
  7. Smith 1925, p. 148.
  8. Boyer, Carl Benjamin (1992): Hestoria de la matemática (pág. 360), traducíu por Mariano Martínez Pérez. Madrid: Alianza Editorial, 1992. ISBN 84-206-8094-X y ISBN 84-206-8186-5.
  9. Ifrah, Georges (1997): Hestoria universal de les cifres (pág. 1452). Madrid: Espasa-Calpe, 1997. ISBN 978-84-239-9730-5 y ISBN 84-239-9730-8.
  10. Milton Donaire Peña. Formes y númberos. Editorial San Marcos, Lima. ISBN 978-612-45279-9-9
  11. Alencar Filho, Edgard de: Exercicios de Geometria Plana[1986]
  12. Cirgüeyu G. M.: Elementos de Xeometría [1980]
  13. Elementos de Xeometría de Cirgüeyu, pp. 148, 149 y 150
  14. Alfhors. Complex Analysis
  15. Espinoza. Diccionariu de matemátiques. ISBN 84-8055-355-3.
  16. Aplicación del Teorema de De Moivre. En Variable complexa con aplicaciones de William R. Derrick ISBN 968-7270-35-7
  17. Fraleigh: Algebra astracta
  18. Galdós. Aritmética
  19. Formulariu de Matemátiques «Cerebrito», Lima.
  20. Resultaos qu'apaecen en manuales de xeometría y de trigonometría o en testos universitarios de diches disciplines.
  21. Alhfords. Complex Variable. Tokyo 1956
  22. Adilson Gonçalvez. Introduçao à álxebra. Impa . Ríu de de Janeiro , 1939

Bibliografía[editar | editar la fonte]

Enllaces esternos[editar | editar la fonte]

  • Wikimedia Commons acueye conteníu multimedia sobre Raíz cuadrada.
  • Wikcionariu tien definiciones y otra información tocante a raigañu.
  • Programa java pa topar el raigañu cuadráu de númberos enteros con bien de cifres decimales: [1]
  • Web educativa p'aprender a topar el raigañu cuadráu pasu a pasu: [2]




Raíz cuadrada