Númberu imaxinariu

De Wikipedia
Saltar a navegación Saltar a la gueta

En matemátiques, particularmente n'álxebra, un númberu imaxinariu ye un númberu complexu que la so parte real ye igual a cero, por casu: ye un númberu imaxinariu, según o son tamién númberos imaxinarios. Polo xeneral un númberu imaxinariu ye de la forma , onde ye un númberu real.

Definición[editar | editar la fonte]

Los númberos imaxinarios pueden espresase como'l productu d'un númberu real pola unidá imaxinaria i, onde la lletra i denota la raigañu cuadráu de -1, esto ye:

Apaición y usos[editar | editar la fonte]

Foi nel añu 1777 cuando Leonhard Euler dio-y a el nome de i, por imaxinariu, de manera despreciatible dando a entender que nun teníen una esistencia real. Gottfried Leibniz, nel sieglu XVII, dicía que yera una especie d'anfibiu ente'l ser y la nada.

N'inxeniería eléctrica y campos rellacionaos, la unidá imaxinaria de cutiu indícase con j pa evitar el tracamundiu cola intensidá d'una corriente eléctrica, tradicionalmente denotada por i.

Historia[editar | editar la fonte]

Cronoloxía[1]
Añu -----

align="left" bgcolor="#f0f5fa"

1572 Rafael Bombelli realiza cálculos utilizando númberos imaxinarios.
1777 Leonhard Euler utiliza'l símbolu “i” pa representar el raigañu cuadráu de -1.
1811 Jean-Robert Argand crea la representación gráfica del Planu complexu tamién conocida como planu de Argand

Otres representaciones[editar | editar la fonte]

  1. Como par ordenáu de númberos reales se denota: Z = (0; y)
  2. Trigonométricamente z = cosπ/2 + isenα onde α ye un númberu real cualesquier.

Interpretación xeométrica[editar | editar la fonte]

El productu por efectua rotaciones de 90 graos.

Geométricamente, los númberos imaxinarios representar na exa vertical del planu complexu y por tantu perpendicular a la exa real que ye horizontal, l'únicu elementu que comparten ye'l cero, yá que . Esta exa vertical ye llamáu'l "exa imaxinaria" y ye denotado como , , o a cencielles . Nesta representación tiense que:

  • una multiplicación por –1 correspuende a una rotación de 180 graos sobre l'orixe.
  • Una multiplicación por correspuende a una rotación de 90 graos nel sentíu "positivu" (nel sentíu antihorario), y el cuadráu de la ecuación puede interpretase como efectuar dos rotaciones de 90 graos sobre l'orixe, equivalente a una rotación de 180 graos, .
  • Una rotación de 90 graos na dirección "negativa" (sentíu horariu) satisfai tamién esta interpretación, yá que ye tamién una solución de la ecuación .

Polo xeneral, multiplicar por un númberu complexu ye lo mesmo que sufrir una rotación alredor del orixe pol argumentu del númberu complexu, siguíu d'un redimensionamiento a escala pola so magnitú.

Propiedaes[editar | editar la fonte]

Tou númberu imaxinariu pue ser escritu como onde ye un númberu real y ye la unidá imaxinaria.

Plantía:Demostración

Cada númberu complexu pue ser escritu unívocamente como una suma d'un númberu real y un númberu imaxinariu, d'esta forma:

Al númberu imaxinariu i denominar tamién constante imaxinaria.

Estos númberos estienden el conxuntu de los númberos reales al conxuntu de los númberos complexos .

Per otru llau, nun podemos asumir que los númberos imaxinarios tienen la propiedá, al igual que los númberos reales, de poder ser ordenaos d'alcuerdu al so valor.[2] Esto ye, ye correctu afirmar que , y que ; ésto deber a que y . Esta riegla nun aplica a los númberos imaxinarios, por cuenta de una simple demostración:

Recordemos que nos númberos reales, el productu de dos númberos reales, supónganse a y b, onde dambos son mayores que cero, ye igual a un númberu mayor que cero. Por casu ye xusto dicir que , , poro, , entós tenemos que , y obviamente .

Per otru llau, supóngase que , entós tenemos que , lo cual evidentemente ye falsu.

Y otramiente, faigamos l'erróneu camientu de que , pero si multiplicamos por quédanos que . Polo tanto tenemos que . Lo que ye, igualmente que'l camientu anterior, totalmente falsu.

Vamos Concluyir qu'esti camientu y cualesquier otra d'intentar dar un valor ordinal a los númberos imaxinarios ye dafechu errónea.

Aplicaciones[editar | editar la fonte]

  • La unidá imaxinaria pue ser usada pa llograr formalmente los raigaños cuadraos de númberos negativos.
  • Igualmente los raigaños cuadraos d'un númberu imaxinariu son númberos complexos, don una d'elles, ye de la forma k ( cos π/4 + i senπ/4) onde k ye un númberu real cualesquier.
  • En física cuántica la unidá imaxinaria dexa simplificar la descripción matemática de los estaos cuánticos variables nel tiempu.
  • En teoría de circuitos y corriente alterna la unidá imaxinaria usar pa representar ciertes magnitúes como fasores, lo cual dexa un tratamientu alxebraicu más simple de diches magnitúes.

Ver tamién[editar | editar la fonte]

Plantía:Clasificación número

Referencies[editar | editar la fonte]

  1. Tony Crilly (2011). 50 coses qu'hai que saber sobre matemátiques. Ed. Ariel. ISBN 978-987-1496-09-9.
  2. Paul J. Nahin: Esto nun ye real. La hestoria de i. Libraria: Méxicu, 2008.





Número imaginario