Númberu real

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Distintes clases de númberos reales.

En matemátiques, el conxuntu de los númberos reales (denotado por ) inclúi tantu a los númberos racionales (positivos, negativos y el cero) como a los númberos irracionales;[1] y n'otru enfoque, trascendentes y alxebraicos. Los irracionales y los trascendentes[2] (1970) non pueden espresase por aciu una fracción de dos enteros con denominador non nulu; tienen infinites cifres decimales aperiódicas, tales como: √5, π, el númberu real log2, que la so trescendencia foi enunciada por Euler nel sieglu XVIII.[2]

Los númberos reales pueden ser descritos y construyíos de delles formes, delles simples anque carentes del rigor necesario pa los propósitos formales de matemátiques y otres más complexes pero col rigor necesario pal trabayu matemáticu formal.

Mientres los sieglos XVI y XVII el cálculu avanzó enforma anque escarecía d'una base rigorosa, cuidao que nel momentu prescindíen del rigor y fundamentu lóxicu, tan esixente nos enfoques teóricos de l'actualidá, y usábense espresiones como «pequenu», «llende», «averar ensin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradoxes y problemes lóxicos que fixeron evidente la necesidá de crear una base rigorosa pa la matemática, que consistió de definiciones formales y rigoroses (anque verdaderamente técniques) del conceutu de númberu real.[3] Nuna sección posterior van describise dos de les definiciones precises más avezaes anguaño: clases d'equivalencia de sucesiones de Cauchy de númberos racionales y cortadures de Dedekind.

Historia[editar | editar la fonte]

Oudjat.svg

Los exipcios dieron orixe per primer vegada a les fracciones comunes alredor del añu 1000 a. C.; alredor del 500 a. C. un grupu de matemáticos griegos lideraos por Pitágoras diose cuenta de la necesidá de los númberos irracionales. Los númberos negativos fueron escurríos por matemáticos indios cerca del 600, posiblemente reinventaos en China pocu dempués, pero nun s'utilizaron en Europa hasta'l sieglu XVII, magar a finales del XVIII Leonhard Euler refugó les soluciones negatives de les ecuaciones porque les consideraba irreales. Nesi sieglu, nel cálculu utilizábense númberos reales ensin una definición precisa, cosa que finalmente asocedió cola definición rigorosa fecha por Georg Cantor en 1871.

En realidá, l'estudiu rigorosu de la construcción total de los númberos reales esixe tener amplios antecedentes de teoría de conxuntos y lóxica matemática. Foi llograda la construcción y sistematización de los númberos reales nel sieglu XIX por dos grandes matemáticos europeos utilizando víes distintes: la teoría de conxuntos de Georg Cantor (encajamientos socesivos, cardinales finitos ya infinitos), per un sitiu, y l'analís matemáticu de Richard Dedekind (vecindaes, redolaes y cortadures de Dedekind). Dambos matemáticos llograron la sistematización de los númberos reales na hestoria, non de manera bonal, sinón utilizando toos les meyores previes na materia: dende l'antigua Grecia y pasando por matemáticos como Refugues, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann, Cauchy y Weierstrass.

Evolución del conceutu de númberu[editar | editar la fonte]

Sábese que los exipcios y babilónicos faíen usu de fracciones (númberos racionales) nel resolvimientu de problemes prácticos. Sicasí, foi col desenvolvimientu de la matemática griega cuando se consideró l'aspeutu filosóficu de númberu. Los pitagóricos afayaron que les relaciones harmóniques ente les notes musicales correspondíen a cocientes de númberos enteros, lo que los inspiró a buscar proporciones numbériques en toles demás coses, y espresar cola máxima «tou ye númberu».

Na matemática griega, dos magnitud son conmensurables si ye posible atopar una tercera tal que les primeres dos sían múltiplos de la postrera, esto ye, ye posible atopar una unidá común pa la que los dos magnitúes tengan una midida entera. El principiu pitagóricu de que tou númberu ye un cociente d'enteros, espresaba nesta forma que cualesquier dos magnitúes tienen de ser conmensurables.

Sicasí, l'ambiciosu proyectu pitagóricu taramellóse ante'l problema de midir la diagonal d'un cuadráu, o la hipotenusa d'un triángulu rectángulu, pos nun ye conmensurable respectu de los catetos. En notación moderna, un triángulu rectángulu que los sos catetos miden 1, tien una hipotenusa que mide raigañu cuadráu de dos, :

Si por hipótesis ye un númberu racional y ta amenorgáu, entós d'onde .

Si suponse que o tienen un dos na so descomposición entós taría al cuadráu y por tantu sería una cantidá par nun llau de la igualdá cuando al otru llau ye impar.

Poro, el camientu que ye un númberu racional ten de ser falsa.

Surdió entós un dilema, yá que d'alcuerdu de primeres pitagóricu: tou númberu yera racional, mas la hipotenusa d'un triángulu rectángulu isósceles nun yera conmensurable colos catetos, lo cual implicó que d'equí p'arriba les magnitúes xeométriques y les cantidaes numbériques tendríen que tratase por separáu, fechu que tuvo consecuencies nel desenvolvimientu de la matemática mientres los dos milenios siguientes.[4]

Los griegos desenvolvieron una xeometría basada en comparances (proporciones) de segmentos ensin faer referencia a valores numbéricos, usando diverses teoríes pa remanar el casu de midíes inconmensurables, como la teoría de proporciones de Eudoxo. Asina, los númberos irracionales permanecieron a partir d'entós escluyíos de l'aritmética cuidao que namá podíen ser trataos por aciu el métodu d'infinitos aproximamientos. Por casu, los pitagóricos atoparon (en notación moderna) que si Plantía:Fracción ye un aproximamientu a √2 entós p = a + 2b y q = a + b son tales que Plantía:Fracción ye un aproximamientu más precisu. Repitiendo'l procesu nuevamente llógrense mayores númberos que dan un meyor aproximamientu.[5] Cuidao que los llargores qu'espresen los númberos irracionales podíen ser llograes por aciu procesos xeométricos senciellos pero, aritméticamente, namá por aciu procesos d'infinitos aproximamientos, anició que mientres 2000 años la teoría de los númberos reales fora esencialmente xeométrica, identificando los númberos reales colos puntos d'una llinia recta.

Nueves meyores nel conceutu de númberu real esperaron hasta los sieglos XVI y XVII, col desenvolvimientu de la notación alxebraica, lo que dexó la manipulación y operación de cantidaes ensin faer referencia a segmentos y llargores. Por casu, atopáronse fórmules pa resolver ecuaciones de segundu y tercer grau de forma mecánica por aciu algoritmus, que incluyíen raigaños ya inclusive, n'ocasiones, «númberos non reales» (lo qu'agora conocemos como númberos complexos). Sicasí, nun esistía entá un conceutu formal de númberu y siguíase dando primacía a la xeometría como fundamentu de tola matemática. Inclusive col desenvolvimientu de la xeometría analítica esti puntu de vista calteníase vixente, pos Refugues refugaba la idea que la xeometría pudiera encontase en númberos, cuidao que para él la nueva área yera a cencielles una ferramienta pa resolver problemes xeométricos.

Darréu, la invención del cálculu abrió un períodu de grandes meyores matemátiques, con nuevos y poderosos métodos que dexaron per vegada primera atacar los problemes rellacionaos colo infinito por aciu el conceutu de Llende d'una función llende. Asina, un númberu irracional pudo ser entendíu como la llende d'una suma infinita de númberos racionales (por casu, la so espansión decimal). Como amuesa, el númberu π puede estudiase de forma alxebraica (ensin apelar a la intuición xeométrica) por aciu la serie:


ente munches otres espresiones similares. Aquel día, el conceutu intuitivu de númberu real yera yá'l modernu, identificando ensin problema un segmentu cola midida del so llargor (racional o non). El cálculu abrió'l pasu al analís matemáticu, qu'estudia conceutos como continuidá, converxencia, etc. Pero l'analís nun cuntaba con definiciones rigoroses y munches de les demostraciones apelaben entá a la intuición xeométrica. Esto traxo a una serie de paradoxes ya imprecisiones.

Notación[editar | editar la fonte]

Latex real numbers.svg

Los númberos reales espresar con decimales que tienen una secuencia infinita de díxitos a la derecha de la coma decimal, como por casu 324,8232. Frecuentemente tamién se sub representen con tres punto consecutivos a la fin (324,823211247…), lo que significaría qu'entá falten más díxitos decimales, pero que se consideren ensin importancia.

Les midíes nes ciencies físiques son siempres un aproximamientu a un númberu real. Non yá ye más concisu escribilos con forma de fracción decimal (esto ye, númberos racionales que pueden ser escritos como proporciones, con un denominador esactu) sinón que, sía que non, suple íntegramente el conceutu y significáu del númberu real. Nel analís matemáticu los númberos reales son oxetu principal d'estudiu. Puede dicise que los númberos reales son la ferramienta de trabayu de les matemátiques de la continuidá, como'l cálculu y l'analís matemáticu, ente que los númberos enteros ser de les matemátiques discretes, nes que ta ausente la continuidá.

Dizse qu'un númberu real ye recursivo si los sos díxitos pueden espresase por un algoritmu recursivo. Un númberu non-recursivo ye aquél que ye imposible d'especificar explícitamente. Aun así, la escuela rusa de constructivismo supon que tolos númberos reales son recursivos.

El ordenadores namá pueden averase a los númberos reales por númberos racionales; de toes formes, dellos programes d'ordenador pueden tratar un númberu real de manera esacta usando la so definición alxebraica (por casu, "") en cuenta de el so respectivu aproximamientu decimal.

Los matemáticos usen el símbolu (o, d'otra forma, , la lletra "R" en negrina) pa representar el conxuntu de tolos númberos reales. La notación matemática referir a un espaciu de dimensiones de los númberos reales; por casu, un valor consiste de tres número reales y determina un llugar nun espaciu de tres dimensiones.

En matemática, la palabra "real" úsase como axetivu, col significáu de que'l campu subxacente ye'l campu de los númberos reales. Por casu, matriz real, función real, y Álxebra de Lie real.

Tipos de númberos reales[editar | editar la fonte]

Racionales ya irracionales[editar | editar la fonte]

Un númberu real pue ser un númberu racional o un númberu irracional. Los númberos racionales son aquellos que pueden espresase como'l cociente de dos númberos enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, ente que los irracionales son tolos demás. Los númberos racionales tamién pueden describise como aquellos que la so representación decimal ye eventualmente periódica, ente que los irracionales tienen una espansión decimal aperiódica:

Exemplos
1/4 = 0,250000... Ye un númberu racional cuidao que ye periódicu a partir del tercer númberu decimal .
5/7 = 0,7142857142857142857.... Ye racional y tien un períodu de llargor 6 (repite 714285) .
ye irracional y la so espansión decimal ye aperiódica .

El conxuntu de los númberos racionales designar por aciu .

Alxebraicos y trescendentes[editar | editar la fonte]

Otra forma de clasificar los númberos reales ye en alxebraicos y trascendentes. Un númberu ye alxebraicu si esiste un polinomiu de coeficientes racionales que lo tien por raigañu y ye trascendente en casu contrariu. Obviamente, tolos númberos racionales son alxebraicos: si ye un númberu racional, con p enteru y q natural, entós ye raigañu de la ecuación qx=p. Sicasí, non tolos númberos alxebraicos son racionales.

Exemplos
El númberu ye alxebraicu cuidao que ye un raigañu del polinomiu
Un exemplu de númberu trascendente ye

El conxuntu de los númberos alxebraicos designar por aciu .

Computables y irreductibles[editar | editar la fonte]

Un númberu real dizse computable si tien una complexidá de Kolmogórov finita, esto ye, si puede escribise un programa informáticu d'estensión finita que xenere los díxitos de dichu númberu. Si un númberu real nun ye computable dizse irreductible. Una definición de númberu irreductible ye:

El conxuntu de númberos reales computables designar por . Obviamente los racionales y los alxebraicos son númberos computables. De fechu tiense la siguiente inclusión:


Amás tiense que toos estos conxuntos son numerables:


Esto implica que'l conxuntu de tolos númberos computables ye un conxuntu de teoría de la midida midida nula.

Construcciones del conxuntu de númberos reales[editar | editar la fonte]

Presentación axomática[editar | editar la fonte]

Foi propuestu pol matemáticu alemán David Hilbert. En testos actuales de cálculu y analís matemáticu apaecen enunciaos equivalentes al de Hilbert.[6]

Artículu principal: Axomes de los númberos reales

Esisten distintes formes de construyir el conxuntu de los númberos reales a partir d'axomes, siendo la caracterización más común, el conocíu como métodu directu qu'introduz el sistema (ℝ, +,., ≤), onde los elementos de llámense númberos reales, + y. son dos operaciones en ℝ, ≤ ye una relación d'orde en ℝ.[7] Preséntase una variante axomática, por aciu les siguientes trés propiedaes:

Un conxuntu ye el conxuntu de los númberos reales si satisfai les siguientes trés condiciones:

  1. ye un campu.
  2. ye un conxuntu totalmente ordenáu y l'orde ye compatible coles operaciones del campu:
    Si Fallu al revisar la fórmula (error de sintaxis): {\displaystyle a\-y b} entós Fallu al revisar la fórmula (error de sintaxis): {\displaystyle a+c\-y b+c} ;
    Si Fallu al revisar la fórmula (error de sintaxis): {\displaystyle a\-y b} y Fallu al revisar la fórmula (error de sintaxis): {\displaystyle 0\-y c } entós Fallu al revisar la fórmula (error de sintaxis): {\displaystyle ac \-y bc} .
  3. El conxuntu K ye completu: satisfai'l axoma del supremu:
    Tou conxuntu non vacíu y acutáu superiormente tien un supremu.
  • L'axoma del supremu ye una variante del Principiu de Weirstrass" que diz que toa sucesión de númberos reales acutada superiormente tien supremu Les

primeres dos condiciones definen el conceutu de campu ordenáu, ente que la tercer propiedá ye de naturaleza topolóxica y ye la qu'estrema al conxuntu de los númberos reales de tolos demás campos ordenaos. Hai que faer notar que, en principiu pueden esistir distintos conxuntos que satisfaigan les mesmes condiciones y que podríen ser distintes al conxuntu de los númberos reales, pero un teorema establez que si eso asocediera, dambes estructures seríen esencialmente la mesma.

Cualquier campu ordenáu que cumpla los trés propiedaes mentaes ye isomorfu al conxuntu de los númberos reales.

En vista de lo anterior podemos falar de el conxuntu de los númberos reales (y non de un conxuntu de númberos reales) y estableciendo la so unicidá puede usase el símbolu ℝ pa representalo.

Al enunciar la tercer propiedá n'ocasiones especifícase que ℝ ye completu nel sentíu de Dedekind, pos esisten otros axomes que pueden usase y que, asumiendo les primeres dos condiciones, toos son lóxicamente equivalentes. Dalgunos d'estos son:

  • (Cauchy) El conxuntu K cumple que cualesquier sucesión de Cauchy ye converxente.
  • (Bolzano-Weierstrass) El conxuntu K cumple que cualquier sucesión acutada tien una subsucesión converxente.
  • Cualquier sucesión decreciente d'intervalos zarraos tien intersección non vacida.

Caúna de les primeres dos propiedaes mentaes al entamu de la sección correspuenden de la mesma a otra serie d'axomes, de cuenta que si fai un desglose, puede caracterizase'l conxuntu de los númberos reales como un conxuntu que satisfaiga la siguiente llista d'axomes.

  1. Si , entós (Pesllera na suma)
  2. Si , entós (Conmutatividad na suma)
  3. Si , entós (Asociatividad na suma)
  4. Esisti de manera que pa tou (Neutru aditivu)
  5. Pa cada esiste un elementu tal que (Inversu aditivu)
  6. Si , entós (Pesllera na multiplicación)
  7. Si , entós (Conmutatividad na multiplicación)
  8. Si , entós (Asociatividad na multiplicación)
  9. Esisti de manera que pa cualesquier (Neutru multiplicativu)
  10. Pa cada esiste un elementu tal que (Inversu multiplicativu)
  11. Si , entós (Distributividad de la multiplicación na suma)
  12. Si , entós cumplir namá una d'estes: (Tricotomía)
  13. Si , y entós (Transitividá)
  14. Si y , entós (Monotonía na suma)
  15. Si , y , entós (Monotonía na multiplicación)
  16. Si ye un conxuntu non vacíu acutáu superiormente en , entós tien supremu en (Axoma del supremu)

Los axomes del 1 al 15 correspuenden a la estructura más xeneral de cuerpu ordenáu. L'últimu axoma ye'l qu'estrema d'otros cuerpos ordenaos como . Tien De señalase que los axomes 1 a 15 nun constitúin una teoría categórica yá que puede demostrase qu'almiten siquier un modelo non estándar distintu de los númberos reales, que ye precisamente'l modelu nel que se basa la construcción de los númberos hiperreales

Construcción por númberos decimales[editar | editar la fonte]

Consideramos los númberos decimales como los conocemos intuitivamente. Sabemos que , esto ye, el númberu π esprésase como'l númberu enteru 3 y una secuencia infinita de díxitos 1, 4, 1, 5, 9, 2, etc.

Un númberu decimal esprésase entós como onde ye un númberu enteru y cada ye un elementu del conxuntu . Amás, consideramos que nun esisten les coles de 9.

Al conxuntu de tolos númberos decimales onde ye un númberu enteru positivu se -y denota por y llámase-y el conxuntu de los númberos reales positivos.

Al conxuntu de tolos númberos decimales onde ye un númberu enteru negativu se -y denota por y llámase-y el conxuntu de los númberos reales negativos.

Al númberu decimal llámase-y cero.

Al conxuntu se -y denota por y llámase-y conxuntu de númberos reales.

Defínese la relación de orde total de los númberos decimales como # pa tou

  1. siempres que y
  2. pa tou
  3. Daos dos númberos reales cualesquier y , en cualesquier de los casos siguientes:
    • y amás esiste tal que pa tou y

Construcción por cortadures de Dedekind[editar | editar la fonte]

Artículu principal: Cortadures de Dedekind

Hai valores que nun se pueden espresar como númberos racionales, tal ye'l casu de . Sicasí ye claro que puede averase con númberos racionales tantu como se deseye. Podemos entós partir al conxuntu de los númberos racionales en dos subconxuntos y de manera que nel conxuntu atópense tolos númberos racionales y en tolos númberos racionales tales que .

Una cortadura de dedekind ye un par ordenáu que fai precisamente esto. Conceptualmente, la cortadura ye'l "espaciu" qu'hai ente y . D'esta manera ye posible definir a como tal que y .

Ye posible demostrar que queda unívocamente definíu por , d'esta manera la cortadura amenórgase a cencielles a .

Tamién ye demostrable que'l conxuntu de toles cortadures cumple colos axomes de los númberos reales, d'esta manera ye'l conxuntu de toles cortadures de Dedekind. Esta ye la primer construcción formal de los númberos reales so la teoría de conxuntos.

Construcción por sucesión de Cauchy[editar | editar la fonte]

Artículu principal: Sucesión de Cauchy

Les sucesiones de Cauchy retomen la idea d'averar con númberos racionales un númberu real.[ensin referencies] Tómese por casu, la igualdá.

.


Ye claro qu'esta sumatoria opera namá colos númberos racionales de la forma:

sicasí la resultancia final ye'l númberu irracional . Cada vez que s'añedir un términu, la espresión avérase más y más a .

Les sucesiones de Cauchy xeneralicen esti conceutu pa definir a los númberos reales. Primero defínese qu'una sucesión de númberos racionales ye una función se denota a cencielles por .

Una sucesión de Cauchy ye una sucesión de númberos racionales onde los sos elementos cada vez son menos distintos. Más formalmente, defínese una sucesión de Cauchy como una sucesión de númberos racionales tales que pa tou esiste un tal que pa tou cumplir .

D'esta manera ye posible definir al númberu real como la sucesión de númberos racionales:

Definición de los númberos reales[editar | editar la fonte]

Sía Γ el conxuntu de les sucesiones de Cauchy en Q. Sía la relación siguiente, definida ente les sucesiones de Cauchy de Q, (xn) y (yn):

  • (xn)ρ(yn) s. s.s. lim (xn-yn) = 0 cuando n → ∞
    .
  • Esta relación ρ ye una relación d'equivalencia nel conxuntu de sucesiones de Cauchy con elementos del conxuntu Q de los númberos racionales.
  • Llamamos conxuntu de los númberos reales al conxuntu cociente R = Γ/ρ.
  • Nel intre se define sobre R una llei de grupu aditivu, una relación d'orde y una topoloxía. Demuéstrase que Q ( conxuntu de los racionales) ye isomorfu a una parte de R.[8]

Propiedá Arquimediana (Axoma de Arquímedes)[editar | editar la fonte]

Sían a > 0 y b númberos reales cualesquier, esiste un númberu natural n tal que na > b; esto espresa de la mesma que la sucesión b/n tiende a cero.[9]

Operaciones con númberos reales[editar | editar la fonte]

Con númberos reales pueden realizase tou tipu d'operaciones básiques con diverses esceiciones importantes:

  1. Nun esisten raigaños d'orde par (cuadraes, cuartes, sestes, etc.) de númberos negativos en númberos reales, (anque sí esisten nel conxuntu de los númberos complexos onde diches operaciones sí tán definíes).
  2. La división ente cero nun ta definida (pos cero nun tener inversu multiplicativu, esto ye, nun esiste númberu x tal que 0·x=1).
  3. Non puede topase el llogaritmu d'un númberu real negativu, cualesquier sía la base de llogaritmos, un númberu positivu distintu de 1.[10]

Estes restricciones tienen repercusiones n'otres árees de les matemátiques como'l cálculu: esisten asíntotas verticales nos llugares onde'l denominador d'una función racional tiende a cero, esto ye, naquellos valores de la variable nos que se presentaría una división ente cero, o nun esiste gráfica real naquellos valores de la variable en que resulten númberos negativos pa raigaños d'orde par, por mentar un exemplu de construcción de gráfiques en xeometría analítica.

Dos particiones[editar | editar la fonte]

  1. El conxuntu de los reales ye la unión dixunta de los racionales y de los irracionales
  2. El conxuntu R ye la unión d'A y T, Al conxuntu de los reales alxebraicos y T el conxuntu de los trascendentes[11]

Ver tamién[editar | editar la fonte]

Plantía:Clasificación número

Dos clasificaciones[editar | editar la fonte]

  1. Hai una partición del conxuntu de los reales en dos subconxuntos: racionales ya irracionales. Tolos racionales son alxebraicos y los irracionales pueden ser alxebraicos y trascendentes.
  2. Hai otra partición del conxuntu de los reales n'otros dos subconxuntos: alxebraicos y trascendentes. Los primeres son racionales ya irracionales. Tolos trascendentes son irracionales[2]

Notes y referencies[editar | editar la fonte]

  1. (2008) «Aritmética y Álxebra», Matemátiques 1. Madrid: Grupu Editorial Cirgüeyu, Sociedá Llindada, 13. ISBN 9788421659854.
  2. 2,0 2,1 2,2 Manual de matemátiques (1985) Tsipkin, Editorial Mir, Moscú, traducción de Shapovalova; pg. 86
  3. Anglin, W. S. (1991). Mathematics: A concise history and philosophy. Springer. ISBN 3-540-94280-7.
  4. Dantzig, Tobias (1955). The Bequest of the Greeks. London: Unwin Brothers LTD. 3982581.
  5. Stillwell (1989). Mathematics and its History. Springer-Verlag. 19269766. ISBN 3-540-96981-0.
  6. Haaser y otros, Kudiatsev; Bartle y otru, siguen
  7. "El conceutu de númberu de Númberu" (1973) César Trejo. La propuesta ye de D. Hilbert qu'apaeció nel so célebre artículu en 1900: Über die Zahlbegriff pp. 82 y 83
  8. Zamansky. Introducción a la álxebra y analís modernu. Montaner y Simon, Barcelona
  9. Haaser y otros: Análisi matemáticu I
  10. Aplíquese la definición de llogaritmu
  11. Courant: ¿Qué ye la matemática?

Enllaces esternos[editar | editar la fonte]

Weisstein, Eric W. «Númberu real» (inglés). MathWorld. Wolfram Research.



Número real