Fraición

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trés cuartos más un cuartu

En matemátiques, una fracción, númberu fraccionariu, (del vocablu llatín frāctus, fractĭo -ōnis, rotu, o quebráu)[1] ye la espresión d'una cantidá estremada ente otra cantidá; ye dicir que representa un cociente ensin efectuar de númberos. Por razones históriques tamién se-yos llama fracción común, fracción vulgar o fracción decimal. Les fracciones comunes componer de: numberador, denominador y llinia divisora ente dambos (barra horizontal o oblicua). Nuna fracción común el denominador "b" espresa la cantidá de partes iguales que representen la unidá, y el numberador "a" indica cuántes d'elles se tomen.

El conxuntu matemáticu que contién a les fracciones de la forma a/b, onde a y b son númberos enteros y b≠0 ye'l conxuntu de los númberos racionales, denotado como .

De manera más xeneral, puede estendese el conceutu de fracción a un cociente cualesquier de espresiones matemátiques (non necesariamente númberos).

Representación y modelización de fracciones[editar | editar la fonte]

Representación gráfica y analítica[editar | editar la fonte]

Suel utilizase la figura xeométrica (que representa la unidá) seccionada nuna cantidá de partes iguales p'amosar el denominador, y se colorean (o omiten) les que se tomen pa estremar la cantidá qu'indica'l numberador.

  • Notación y convenciones:
    • Nuna fracción común, el denominador lléese como númberu partitivu (exemplos: 1/4 lléese «un cuartu», 3/5 lléese «trés quintos»);
    • Una fracción negativa ye la que tien valor negativu;
    • Una fracción xenérica a/b representa'l productu de a pol recíprocu (multiplicativu) de b, talmente que ; si tantu a como b son númberos negativos , el productu ye positivu, polo que s'escribe: a/b;
    • Toa espresión matemática escrita nesta forma recibe'l nome de «fracción».

La espresión xenérica representa una división alxebraica, polo que'l divisor tien de ser distintu de cero (b ); el cociente d'esta división almite un desenvolvimientu decimal (un númberu decimal, nel sistema de numberación decimal tradicional) que puede ser finito o infinitu periódico (ver Númberu periódicu).

Un númberu irracional nun almite una escritura en forma de númberu fraccionariu, o de razón, la so espansión decimal va ser infinita non-periódica, como por casu el númberu π, el númberu e, el númberu áureo y dellos raigaños cuadráu y cúbicu.

Tipos de fracciones[editar | editar la fonte]

Fracción simple, común o vulgar[editar | editar la fonte]

Una fracción simple (tamién conocida como fracción común o fracción vulgar) ye un númberu racional de la forma a/b, onde a y b son númberos enteros y b≠0. Cuidao que una fracción común representa un númberu racional, les fracciones comunes herieden toles propiedaes matemátiques de los racionales. Exemplu ; 3/4; 3/4; (¾); fracción trés cuartos: numberador 3 y denominador 4, representa al númberu decimal 0.75, en porcentaxe: 75%.

Fracción propia ya impropia[editar | editar la fonte]

Les fracciones comunes pueden clasificase en mesmes ya impropies. Una fracción mesma ye aquella na que, si numberador y denominador son positivos, el numberador ye menor que'l denominador, por casu . Otra manera, una fracción impropia va ser la fracción onde'l numberador ye mayor que'l denominador, por casu . Polo xeneral, una fracción común ye una fracción mesmu si'l valor absolutu ye puramente menor qu'unu — esto ye, si la fracción ye mayor que −1 y menor que 1 —.[2][3]

Fracción mista[editar | editar la fonte]

Una fracción mista o númberu mistu ye la representación d'una fracción impropia, en forma de númberu enteru y fracción propia; ye una manera práutica d'escribir unidaes de midida (pesu, tiempu, capacidá), recetes de cocina, etc.[4]

Toa fracción impropia puede escribise como númberu mistu: , onde denota (onde , ye la parte entera). Como exemplos:

«Una cuyaradina y media de...»
«Nuna hora y cuartu...»

A partir d'un ciertu nivel de álxebra elemental, la notación mista suel sustituyise por fracciones impropies, que son más operacionales.[5]

Razón[editar | editar la fonte]

La razón ye la comparanza de dos cantidad pola so cociente, onde se ve cuántes vegaes contién una a la otra. Nel casu de númberos toa razón puede espresase en forma de fracción y eventualmente como un decimal. Xeneralmente esprésase como "a ye a b" o a:b, y correspuende a la fracción a/b.

Fracción inversa[editar | editar la fonte]

Una fracción inversa ye una fracción llograda a partir d'otra dada, na que s'invirtieron el numberador y el denominador, esto ye, la fracción inversa d'una fracción a/b ye b/a. Como exemplos, y la so fracción inversa , y la so fracción inversa .

Un casu especial de fracción inversa ye la fracción unitaria, que ye una fracción común na cual el numberador ye igual a 1 y el denominador ye un enteru positivu: , una y bones los númberos enteros pueden escribise como una fracción con denominador igual a unu. Asina, les fracciones unitaries son los recíprocos multiplicativos de los númberos naturales (ye dicir de los enteros positivos). Les fracciones exipcies son otru exemplu d'aplicación de les fracciones unitaries.

Fracción compuesta[editar | editar la fonte]

Una fracción compuesta ye aquella que'l so numberador o denominador (o dambos) contienen de la mesma fracciones o númberos mistos. Por casu, y son fracciones compuestes. P'amenorgar una fracción compuesta a una simple, asígnase-y l'orde preferente de la división a la llinia divisoria mayor de la fracción. Por casu:

Si, nuna fracción compuesta, nun hai una vía clara d'indicar qué llinies de la fracción tomen preferencia, entós la espresión ta formada impropiamente y ye ambigua. Asina, 5/10/20/40 ye una espresión matemática ruinamente escrita, con múltiples valores posibles.

Fracción decimal y como porcentaxe[editar | editar la fonte]

Una fracción decimal ye una fracción del tipu , esto ye, una fracción que'l so denominador ye una potencia de 10. Por convención, tómase a positiva. Les fracciones decimales suelen espresase ensin denominador, con usu del separador decimal, esto ye, como númberu decimal esactu (Por casu: 8/10, 83/100, 83/1000 y 8/10000 escríbense 0.8, 0.83, 0.083 y 0.0008). Inversamente, un númberu decimal finito (o un enteru) puede escribise como fracción decimal a cencielles multiplicando por una potencia apropiada de (Por casu: 1=10/10 1.23=123/100). Una fracción decimal nun ye necesariamente irreducible.

Percent 18e.svg

Un porcentaxe ye una forma d'espresar un númberu como una fracción decimal, concretamente como fracción con denominador 100. Utilizar pa denotarlo el signu porcentaxe %, que se debe escribir darréu dempués del númberu al que se refier, ensin dexar espaciu de separación. Como exemplu,

La espresión d'un númberu per mil (1.000‰), ye una manera d'espresalo como una fracción de 1.000, o como la décima parte d'un porcentaxe; escribir col signu ‰. Una parte per billón (notáu ppb) ye una unidá de midida pa espresar concentraciones desaxeradamente pequeñes.

Casos especiales[editar | editar la fonte]

  • Una fracción exipcia ye'l tipu de representación de fracciones utilizáu nel Antiguu Exiptu. Una fracción común positiva escribir por mediu d'una suma de fracciones unitaries distintes, ye dicir que nengún de los sumandos tien el mesmu denominador, por casu . Tou númberu racional positivu puede espresase como suma de fracciones unitaries (esto ye, como fracción exipcia), magar la representación nun ye única. Por casu puede escribise como y tamién como .

Aritmética con fracciones[editar | editar la fonte]

Fracción equivalente[editar | editar la fonte]

Dos o más fracciones son equivalentes cuando representen la mesma cantidá, y escríbense distintu. Por casu, les fracciones , , y son equivalentes, yá que representen la cantidá «un mediu». Dos fracciones son equivalentes si pueden llograse una a partir de la otra, multiplicando (o estremando) el numberador y el denominador pol mesmu númberu, esto ye, por unu. Exemplu:

onde .
onde .

D'esta manera, les fracciones equivalentes son reducibles, yá que el numberador y el denominador nun son primos ente sigo y pueden ser simplificaes nuna fracción irreducible, na que'l numberador y el denominador son primos ente sigo. El conxuntu de toles fracciones equivalentes a una fracción dada, llámase númberu racional, y suel representase pola única fracción equivalente irreducible del conxuntu. Un casu específicu ye cuando'l numberador ye un múltiplu del denominador, entós, al amenorgala llógrase cualquier númberu perteneciente al conxuntu de los enteros, polo que se denomina fracción aparente o entera.

Más xeneralmente, dada una fracción reducible (el numberador y el denominador comparten factores comunes distintos a la unidá), esta siempres puede amenorgase (esto ye, simplificar) hasta llograr una fracción equivalente irreducible. La noción de fracción irreducible xeneralizar al cuerpu de cocientes de cualesquier dominiu de factorización única: tou elementu d'esti cuerpu puede escribise como una fracción na cual el numberador y el denominador son coprimos.

Comparanza de fracciones[editar | editar la fonte]

La comparanza de dos fracciones utilizar pa comprobar cuál ye mayor. Esisten dellos casos, dependiendo de los numberadores y los denominadores d'estes. Dizse que les fracciones son homoxénees si tienen el mesmu denominador y que les fracciones son heterogéneas si tienen distintos denominadores.

Si les fracciones son homoxénees — el denominador de los dos fracciones ye'l mesmu —, la fracción col mayor numberador ye mayor que la otra.

yá que 5>2.

Si'l numberador de los dos fracciones positives ye'l mesmu, la fracción col menor denominador ye mayor que la otra. Esto ye abondo natural: si tiénense dos tartes iguales, una pa partir ente más persones que la otra, la que se parta ente menos persones va tar partida en porciones más grandes.

yá que 3<5.

Una manera de comparar fracciones con distintos numberadores y denominadores ye atopar un denominador común. Pa comparar y , convertir en fracciones equivalentes y . Entós bd ye un común denominador y los numberadores ad and bc pueden ser comparaos.

 ? da que

Nun ye necesariu determinar el valor del denominador común pa ser comparaes. Esti atayu ye conocíu como «multiplicación cruciada». Compárase namái ad y bc, ensin calcular el denominador.

 ?

Multiplicando dambes partes de cada fracción pol denominador de la otra, llógrase un denominador común:

 ?

Los denominadores agora son iguales, pero nun ye necesariu calcular el so valor – namái los numberadores precisen ser comparaos. Cuidao que 5×17 (= 85) ye mayor que 4×18 (= 72), .

Xeneralmente, cuando se tien que calcular el denominador común de fracciones, utilízase'l mínimu común múltiplu (mcm) de los denominadores de les fracciones orixinales, que'l mínimu denominador común d'estes.

Suma y resta de fracciones[editar | editar la fonte]

Pa sumar o restar fracciones, estrémense dos casos. Si tienen el mesmu denominador, entós sumir o se resten los numberadores y déxase el denominador común.

Ye posible que la resultancia pueda simplificase:

.

Si tienen distintu denominador, hai que llograr fracciones equivalentes a les fracciones daes, por que tengan denominador común y depués sumar o restar. Por casu

.

Esti métodu puede espresase de forma alxebraica como

En realidá, nun fai falta llograr fracciones equivalentes de cuenta que'l denominador resultante sía'l productu de los denominadores de les fracciones iniciales. Basta con tomar el mínimu común múltiplu de los denominadores. A la fin de la operación, pue que faiga falta realizar otra simplificación.

Multiplicación y división de fracciones[editar | editar la fonte]

Pa multiplicar dos fracciones, basta multiplicar los numberadores per una parte y los denominadores por otra. Como exemplu,

.

Mientres la operación, si'l numberador d'una fracción y el denominador d'otra —y viceversa— tienen dalgún factor común, puede atayase, yá que ye multiplicar y estremar por dichu factor na fracción resultante. Esti atayu conozse como «cancelación» y dexa amenorgar los términos a multiplicar. La espresión alxebraica de manera xeneral sería

.

Na división de fracciones, el numberador de la fracción resultante ye'l productu del numberador de la fracción dividendu pol denominador de la fracción divisor, ente que'l denominador ye igual al denominador de la fracción dividendu multiplicáu pol numberador de la fracción divisor. Otra manera d'imaxinalo ye qu'estremar ente un númberu ye lo mesmo que multiplicar pol inversu d'esi númberu, polo que la división de dos fracciones ye igual a la multiplicación de la primer fracción pol inversu de la segunda:

.

Fracciones con radicales[editar | editar la fonte]

Una fracción puede contener radicales nel so numberador, denominador o dambos. Si'l denominador contién radicales, pue ser de gran ayuda racionalizar estos, especialmente si van realizase operaciones, tales como la adición o la comparanza d'una fracción con otra. Ye tamién conveniente si la división tien que realizase explícitamente. Cuando'l denominador ye una raigañu cuadráu, esta puede racionalizase por aciu la multiplicación del numberador y el denominador pol raigañu del denominador. Como exemplu,

.

Esto tamién puede estendese nel casu de que'l numberador sía'l raigañu de dalgún monomiu, binomius o otres estructures alxebraiques d'esi tipu.

Fracciones alxebraiques[editar | editar la fonte]

N'álxebra, una fracción alxebraica ye aquella que'l so numberador y denominador son espresiones alxebraiques. Por casu ye una fracción que'l so numberador ye'l polinomiu y denominador ye'l polinomiu -9; el valor de la fracción va depender del valor de la variable x.

Cuando'l numberador y el denominador d'una fracción alxebraica son polinomius, llámase-y fracción racional. Estes puédense descomponer en fracciones parciales, que consiste n'espresar un cociente de polinomius como suma de fracciones de polinomios de menor grau, siempres y cuando el grau del polinomiu del denominador sía puramente mayor qu'el del numberador.

Otra manera, les fracciones que nun son racionales son les que contienen una variable so un esponente fraccionariu o un raigañu como por casu .

Estructures más xenerales[editar | editar la fonte]

Fracción continua[editar | editar la fonte]

Artículu principal: Fracción continua

Llámase fracción continua d'orde n a una espresión de la forma:

Onde ye una socesión d'enteros positivos.

Espansión de Engel[editar | editar la fonte]

Artículu principal: Espansión de Engel

Una espansión de Engel ye una socesión de númberos enteros positivos tales que

Si la socesión ye finita, correspuende a un númberu racional que ye la representación de x en forma de fracción exipcia. Esta representación puede espresase como «variante ascendente» d'una fracción continua como

Estes estructures fueron estudiaes por Fibonacci en Liber Abaci (1202).

Historia[editar | editar la fonte]

Nel Antiguu Exiptu calculábase utilizando fracciones que los sos denominadores son enteros positivos; son les primeres fracciones utilizaes pa representar les partes d'un enteru», per mediu del conceutu de recíprocu d'un númberu enteru.[6] Esto equival a considerar fracciones como: un mediu, un terciu, un cuartu, etc., d'ende que les sumes de fracciones unitaries conózanse como fracción exipcia. Puede demostrase amás, que cualquier númberu racional positivu puede escribise como fracción exipcia. El xeroglíficu d'una boca abierta <manco>D21</manco> denotaba la barra de fracción (/), y un arte numbérico escritu debaxo de la "boca abierta", denotaba el denominador de la fracción.

Los babilonios utilizaben fracciones que'l so denominador yera una potencia de 60. El sistema chinu de numberación con banielles dexaba la representación de fracciones. Los griegos y romanos usaron tamién les fracciones unitaries, que la so usu persistió hasta la dómina medieval. Diofanto d'Alexandría (sieglu IV) escribía y utilizaba fracciones. Darréu, introducióse la raya horizontal» de separación ente numberador y denominador, y el numberador dexó d'acutase al númberu unu solamente, dando orixe a les llamaes fracciones vulgares o comunes. Finalmente, introdúcense les fracciones decimales», onde'l denominador escríbese como una potencia de diez.

Créese que les fracciones decimales yeren conocíes polos matemáticos chinos nel sieglu I, y que d'ende s'estendió'l so usu a mediu Oriente y Europa.[7] J. Lennart Berggren nota qu'un sistema posicional con fracciones decimales foi utilizáu pol matemáticu árabe Abu'l-Hasan al-Uqlidisi nel sieglu X.[8]

Khwarizmi introduz les fracciones nos países islámicos nel sieglu IX. La forma de representar les fracciones provenía de la representación tradicional china, col numberador asitiáu sobre'l denominador, pero ensin barra separadora. Esta forma d'escritura de les fracciones col numberador enriba y el denominador embaxo, ensin barra horizontal, foi utilizada tamién nel sieglu X por Abu'l-Hasan al-Uqlidisi y nel sieglu XV por Jamshīd al-Kāshī nel so trabayu La llave de l'aritmética.

Leonardo de Pisa (Fibonaccci) na so Liber Abaci (Llibru del Ábaco), escritu en 1202, espón una teoría de los númberos fraccionarios. Les fracciones preséntense como fracciones exipcies, esto ye, como suma de fracciones con numberadores unitarios y denominadores ensin repitir. Amás, describe'l so usu y desenvolver dientro del marcu modernu de les series matemátiques.

L'usu modernu foi definitivamente introducíu por Simon Stevin nel sieglu xvi.[9]

Cronoloxía[10]
Añu -----

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1800 a. C. Rexistru d'usu de fracciones pol Imperiu Babilónicu.
1650 e.C. Sistema de fracciones exipcies.
500-600 d.C. Aryabhata y Brahmagupta desenvuelven les fracciones unitaries.
100 Sistema chinu de cálculu de fracciones con banielles (Suanpan).
1202 Fibonacci espubliza la notación con barra pa dixebrar numberador y denominador.
1585 Teoría sobre les fracciones decimales de Simon Stevin.
1700 Usu xeneralizáu de la llinia fraccionaria (barra horizontal o oblícua).

Ver tamién[editar | editar la fonte]

Plantía:Clasificación número

Notes y referencies[editar | editar la fonte]

  1. Academia de la Llingua Asturiana (2017), «fracción» (2000 edición), Uviéu: KRK ediciones, ISBN 84-8168-208-x, http://www.academiadelallingua.com/diccionariu/index.php?pallabra=fracci%C3%B3n 
  2. Lloréu (31 de marzu de 2004). «Math Forum – Ask Dr. Math:Can Negative Fractions Also Be Proper or Improper?». Consultáu'l 30 d'ochobre de 2014.
  3. «New England Compact Math Resources».
  4. Vivens, Vicens (1998). Matemátiques 3. ISBN 84-316-4644-6.
  5. Mathwords, Mixed number, (n'inglés).
  6. Eves, Howard Eves ; with cultural connections by Jamie H. (1990). An introduction to the history of mathematics, 6th ed., Philadelphia: Saunders College Pub.. ISBN 0030295580.
  7. Science and Civilisation in China, Volume III.
  8. The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. ISBN 9780691114859.
  9. A History of Algebra. From Khwarizmi to Emmy Noether.
  10. Tony Crilly (2011). 50 coses qu'hai que saber sobre matemátiques. Ed. Ariel. ISBN 978-987-1496-09-9.

Bibliografía[editar | editar la fonte]

Enllaces esternos[editar | editar la fonte]


Fracción