Potenciación

De Wikipedia
Saltar a navegación Saltar a la gueta
Gráfica d'una función Gráfica de delles funciones potencia.

La potenciación ye una operación matemática ente dos términos denominaos: base a y esponente n. Escríbese an y lléese usualmente como «a eleváu a n» o tamién «a eleváu a la n». Hai dellos númberos esponentes especiales como'l 2, que se llee al cuadráu o'l 3, que-y correspuende al cubu. Tien de notase que nel casu de la potenciación la base y l'esponente pueden pertenecer a conxuntos distintos, nun aníu totalmente xeneral la base va ser un elementu del aníu pero l'esponente va ser un númberu natural que nun tien por qué pertenecer al aníu. Nun cuerpu l'esponente puede ser un númberu enteru.

Definición[editar | editar la fonte]

Llámase potencia a una espresión de la forma , onde a ye la base y n ye'l esponente. La so definición varia según el conxuntu numbéricu al que perteneza l'esponente.

Esponente enteru[editar | editar la fonte]

Cuando l'esponente ye un númberu natural n, este indica les vegaes qu'apaez a multiplicando por sigo mesmu, siendo a un númberu cualesquier:

(1)

Esta definición puede aplicase, tantu a númberos reales o complexos, según a otres estructures alxebraiques más astractes, como pueden ser, por casu, matrices cuadraes.

Multiplicación de potencies d'igual base[editar | editar la fonte]

El productu de dos potencies que tienen la mesma base ye igual a una potencia de dicha base que tien como esponente la suma de los esponentes, esto ye:

Plantía:Demostración

Exemplos:

Potencia d'una potencia[editar | editar la fonte]

La potencia d'una potencia de base a ye igual a la potencia de base a y que'l so esponente ye'l productu de dambos esponentes (la mesma base y multiplíquense los esponentes):

Plantía:Demostración

Por cuenta de esto, la notación acutar pa significar yá que puede escribise cenciellamente como .

Potencia d'un productu[editar | editar la fonte]

La potencia d'un productu ye igual al productu de cada unu de los factores eleváu al mesmu esponente, esto ye:

Plantía:Demostración


Si la base a tien inversu aditivu, indicáu por aciu signu negativu -a, entós tiense la riegla:

Plantía:Demostración

Si la base a tien inversu multiplicativu c, ye dicir c·a = 1 o que , entós esti se denota por y l'esponente puede ampliase a tolos númberos enteros:

(2)

Observación

División de potencies d'igual base[editar | editar la fonte]

El cociente de dos potencies cola mesma base ye igual a una potencia de dicha base con un esponente igual a la diferencia del esponente del dividendu menos el del divisor,[1] esto ye:

Plantía:Demostración

Exemplu:

Potencia d'esponente 0[editar | editar la fonte]

Un númberu distintu de 0 eleváu al esponente 0 da como resultáu la unidá (1), cuidao que:[2][3]

El casu particular de nun ta definíu y ye conocíu como una indetermín.

Potencia d'un cociente[editar | editar la fonte]

La potencia d'un cociente ye igual al cociente de cada unu de los númberos eleváu al mesmu esponente.

Plantía:Demostración


Si la base a = 0, entós a nun tien inversu multiplicativu , polo que namái se presenten esponentes de númberos naturales por (1) quedando asina prohibida la notación (2) como valor numbéricu:

Esponente racional[editar | editar la fonte]

Artículu principal: Radicación

La potenciación con esponente racional vien de la necesidá de resolver una ecuación del tipu , de manera que , pero haber de garantizar que dicha x sía un númberu real y esto namái puede garantizase pa tou n si la base a ye un númberu real positivu, polo qu'esiste un teorema que diz:

Dáu un númberu real positivu a, este tien un únicu raigañu n-ésima positiva.

Pa notar la raigañu defínese l'usu de fracciones nel esponente:

(3)

Observación

Polo xeneral pa les fracciones defínese que:

(4)

Relación

Plantía:Demostración

Propiedaes[editar | editar la fonte]

Esponente real[editar | editar la fonte]

Artículu principal: Llogaritmu

La potenciación puede estendese a esponentes reales usando socesiones racionales; esto recuéyese nel siguiente teorema:

Dáu un númberu real positivu a y una socesión de númberos racionales que tien llende b, entós esiste'l llende d'una socesión llende de la socesión que s'escribe como:

Nótese que los socesivos aproximamientos de ab tienen como esponente númberos racionales, colo que por que la definición sía consistente, esíxese que a sía un númberu real positivu.

Análogamente, puede estendese la potenciación a funciones, usando la función esponencial, y la so inversa, la función llogaritmu natural, nun procesu que se denomina exponenciación. Asina, defínese

.

Otramiente, esta ye totalmente consistente si'l conxuntu imaxe de f(x) ye'l conxuntu de los númberos reales positivos R+, o dalgún subconxuntu d'este, siendo los valores de la función esponente g(x) númberos reales cualesquier, por cuenta de que'l llogaritmu natural nun ta definíu pa númberos negativos.

Propiedaes[editar | editar la fonte]

Esponente complexu[editar | editar la fonte]

Puede estendese a esponentes complexos usando funciones analítiques o holomorfas, asina onde det-exp ye la determinación de la esponencial y det-log la determinación del llogaritmu.

Resultaos de potenciación[editar | editar la fonte]

Propiedaes que non cumple la potenciación[editar | editar la fonte]

Nun ye distributiva con al respective de la adición y sustracción (vease productos notables), esto ye, non puede distribuyise cuando dientro del paréntesis ye suma o resta:

Nun cumple la propiedá conmutativa:

Tampoco cumple la propiedá asociativa:

Potencia de base 10[editar | editar la fonte]

Artículu principal: Notación científica

Pa les potencies con base 10 y esponente enteru, l'efectu va ser mover la coma decimal tantes posiciones como indique l'esponente, escontra la esquierda si l'esponente ye negativu, o escontra la derecha si l'esponente ye positivu.

Exemplos:

Representación gráfica[editar | editar la fonte]

La representación gráfica d'una función potencia f(x) = xn con esponente natural n par tien una simetría similar a la d'una parábola. El so vértiz asitiar nel puntu (0, 0) y la curva ye decreciente nel segundu cuadrante y creciente nel primeru.

La representación gráfica d'una función potencia f(x) = xn con esponente natural n impar ye una curva con dos rama xuníes nel puntu (0, 0), que tien simetría rotacional alredor d'este. El puntu d'inflexón precisamente atópase nel puntu (0, 0), la curva ye siempres creciente y ocupa el tercer y primer cuadrante.

Felicidaes curves son continues y derivables en tol so dominiu de definición.

Gráficu d'una parábola.  
Gráficu de .  

Llendes[editar | editar la fonte]

Indetermín 00[editar | editar la fonte]

El casu especial considérase indefiníu y dependiendo del contestu pueden ser asignaos distintos valores dependiendo de les propiedaes específiques que quieran caltenese.

Por casu, puede argumentase que ye l'igual al valor de la llende : y como pa , dichu valor podría ser igual a 1. Sicasí tamién puede considerase dicha espresión como'l valor de la llende : y como pa , dichu valor podría ser igual a 0. Esto ilustra que la forma puede corresponder a distintos valores y pollo considérase indefinida.

L'alderique sobre'l valor de la forma tien casi dos sieglos d'antigüedá. Mientres los primeros díes del analís matemáticu en que'l fundamentu formal del cálculu nun s'estableciera, yera común aceptar que =1. Sicasí, en 1821 cuando Cauchy publica'l Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique estableciendo'l primer tratamientu rigorosu del analís, dicha forma apaez nuna tabla de formes indefiníes al pie de otres como 0/0. Nos años 1830, Libri[4][5] publicó un argumentu p'asignar 1 como valor de y Möbius[6] sofitar afirmando equivocadamente que : siempres que Sicasí una comentarista que robló a cencielles como «S» apurrió un contraejemplo

que'l so llende cuando ye , lo cual aseló l'alderique cola aparente conclusión del incidente que tendría de permanecer indefinida. Pueden atopase más detalles en Knuth (1992).[7]

Na actualidá, suel considerase la forma como indefinida y nun se-y asigna valor si nun se tien un contestu nel cual el valor asignáu tenga sentíu.[8][9][10]

Pa calcular llendes que'l so valor aparente ye suel usase la riegla de l'Hôpital.

Xeneralizaciones[editar | editar la fonte]

Estensión a estructures astractes[editar | editar la fonte]

La definición de potenciación puede estendese a esponentes reales, complexos o inclusive matriciales. Dáu un aníu la operación de potenciación defínese como:

Esto difier de la exponenciación que ye definible sobre un cuerpu que contenga a los racionales o ciertes álxebres sobre los reales o complexos:

Obviamente la exponenciación namái puede definise sobre un conxuntu nel que sía posible definir la potenciación, anque un aníu va almitir siempres la operación de potenciación (con esponente natural) anque nun almita la exponenciación.

Potencia de númberos complexos[editar | editar la fonte]

Artículu principal: Fórmula de De Moivre

Pa cualesquier de los númberos reales tiense la identidá:

Fallu al revisar la fórmula (función '\ensin' desconocida): {\displaystyle \left(a\,y^{i\,b}\right)^{\left(c\,y^{i\,d}\right)}=a^{c\,\cos d}\,y^{i\,\left( c\,\log a\,\ensin d+b\,c\,\cos d\right)-b\,c\,\ensin d}}

Ver tamién[editar | editar la fonte]

Referencies[editar | editar la fonte]

  1. Dolciani-Berman-Wooton, Algebra Moderna y Trigonometría. ISBN 968-439-024-6
  2. (2004) «1. Álxebra básica», Fundamento de Cálculu. Con aplicaciones a ciencies económiques y alministratives, 2ª, ECOE EDICIONES, 14. ISBN 9586482901.
  3. Weisstein, Eric W. «Exponent Laws» (inglés). MathWorld. Wolfram Research.
  4. Guillaume Libri, Note sur -yos valeurs de la fonction 00x, Journal für die reine und angewandte Mathematik 6 (1830), 67-72.
  5. Guillaume Libri, Mémoire sur -yos fonctions discontinues, Journal für die reine und angewandte Mathematik 10 (1833), 303-316.
  6. A. F. Möbius, Beweis der Gleichung = 1, nach J. F. Pfaff, Journal für die reine und angewandte Mathematik 12 (1834), 134-136.
  7. Donald Y. Knuth, Two notes on notation, Amer. Math. Monthly 99 non. 5 (May 1992), 403-422.
  8. Peter Alfeld. «Understanding Mathematics» (inglés). Universidá de Utah. Consultáu'l 25 d'avientu de 2009. «The problem is similar to that with division by zero. Non value can be assigned to 0 to the power 0 without running into contradictions. Thus 0 to the power 0 is undefined!»
  9. Ask Dr. Math. (18 de marzu de 1997). «Why are Operations of Zero so Strange?» (inglés). The Math forum. Consultáu'l 25 d'avientu de 2009. «Other indeterminate forms are 0^0, 1^infinity.»
  10. (1976) Notes d'Álxebra I, 2a, Editorial Universitaria de Bonos Enrites, 56. «Ye útil tamién definir nel casu x≠0, x0=1. ( queda indefiníu).»

Bibliografía[editar | editar la fonte]

Enllaces esternos[editar | editar la fonte]



Potenciación