Función holomorfa

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Les funciones holomorfas son el principal oxetu d'estudiu del analís complexu; son funciones que se definen sobre un subconxuntu abiertu del planu complexu C y con valores en C, qu'amás son complexu-diferenciables en cada puntu. Esta condición ye muncho más fuerte que la diferenciabilidad en casu real ya implica que la función ye infinitamente diferenciable y que puede ser descrita por aciu la so serie de Taylor.

El términu función analítica úsase de cutiu en vegada del de "función holomorfa", especialmente pa cuando trátase de la restricción a los númberos reales d'una función holomorfa. Una función que sía holomorfa sobremanera'l planu complexu dizse función entera. La frase "holomorfa nun puntu a" significa non yá diferenciable en a, sinón diferenciable en tou un discu abiertu centráu en a, nel planu complexu.

Definición[editar | editar la fonte]

La definición/función ye la siguiente:


Esta llende tómase equí sobre toles socesiones de númberos complexos que s'averen a z0, y pa toes eses socesiones el cociente de diferencies tien que dar el mesmu númberu f '(z0).

Intuitivamente, si f ye complexu-diferenciable en z0 y averamos al puntu z0 dende la direición r, entós les imáxenes van averase al puntu f(z0) dende la direición f '(z0) r, onde l'últimu productu ye la multiplicación de númberos complexos. Esti conceutu de diferenciabilidad comparte delles propiedaes cola diferenciabilidad en casu real: ye llinial y obedez a les regles de derivación del productu, del cociente y de la cadena.

Si f ye complexu-diferenciable y les derivaes son continues en cada puntu z0 en O, dizse que f ye holomorfa n'O. Ye claro que, al igual que nel casu real, si f ye holomorfa y inyectiva en O —con inversa continua— entós ye holomorfa y el so derivada vale:


Exemplos[editar | editar la fonte]

Toles funciones polinómicas en z con coeficientes complexos son holomorfas sobre C, y tamién lo son les funciones trigonométriques de z y la función esponencial. (Les funciones trigonométriques tán de fechu rellacionaes estrechamente con esta postrera y pueden definise a partir d'ella usando la fórmula de Euler). La caña principal de la función llogaritmu ye holomorfa sobre'l conxuntu C - {zR : z ≤ 0}. La función raigañu cuadráu puede definise como : y ye por tantu allá onde lo sía la función llogaritmu ln(z). La función 1/z ye holomorfa sobre {z : z ≠ 0}. Les funciones trigonométriques inverses tienen cortes y son holomorfas en tolos puntos sacante nestes cortes.

Propiedaes[editar | editar la fonte]

Una y bones la diferenciación complexa ye llinial y cumple les regles del productu, del cociente y de la cadena, va tenese que les sumes, productos, composiciones son tamién holomorfas, y el cociente de dos funciones holomorfas lo va ser allá onde'l denominador sía distintu de cero.

Cada función holomorfa ye infinitamente diferenciable en cada puntu, y coincide cola so propia serie de Taylor; esta serie va converxer sobre cada discu abiertu que s'atope dientro del dominiu O. La serie de Taylor puede converxer nun discu más grande; por casu, la serie de Taylor pal llogaritmu converxe sobre cada discu que nun contenga al 0, inclusive nes cercaníes de la llinia real negativa. Ver demostración de que les funciones holomorfas son analítiques.

Si identifícase C con R², entós les funciones holomorfas son les mesmes qu'aquelles funciones de dos variables reales diferenciables y que cumplan les ecuaciones de Cauchy-Riemann, que son un par d'ecuaciones diferenciales parciales.

Les funciones holomorfas son conformes cerca de los puntos con derivada distinta de cero, nel sentíu de que caltienen ángulos y la forma (pero non el tamañu) de les figures pequeñes.

La fórmula integral de Cauchy diz que los valores, dientro d'un discu, d'una función holomorfa, queden determinaos polos valor de la función na frontera del discu.

Ver tamién[editar | editar la fonte]

Referencies[editar | editar la fonte]


Función holomorfa