Problema de los dos cuerpos

Problema de los dos cuerpos
	tarea (es) , Sistema hamiltoniano integrable (es) y problema de los n cuerpos (es)

Dos cuerpos orbitando alredor del so centru de mases n'órbites elíptiques.

Dos cuerpos con una pequeña diferencia de masa orbitando alredor del so centru de masa, los tamaños dibuxaos son similares a los del sistema Plutón-Caronte.

En mecánica, el problema de los dos cuerpos consiste en determinar el movimientu de dos partícules puntuales que solo interactúan ente sigo. Los exemplos comunes inclúin la Lluna orbitando la Tierra y n'ausencia del Sol, ye dicir aisllaos, un planeta orbitando una estrella, dos estrelles que xiren en redol al centru de masas (estrella binaria), y un electrón orbitando en redol a un nucleu atómicu.

Como s'esplica más palantre, les lleis de Newton déxanos amenorgar el problema de dos-cuerpos a un problema d'un cuerpu equivalente, esto ye, a resolver el movimientu d'una partícula sometida a un campu gravitatoriu conservativo y que por tanto deriva d'un potencial esternu. Yá que el problema puede resolvese esautamente, el problema del dos-cuerpos correspondiente tamién puede resolvese con exactitú. Otra manera, el problema de los trés cuerpos (y, más xeneralmente, el problema de $n$ cuerpos con $n\geq 3$ ) nun puede resolvese, sacante en casos especiales.

Descripción del problema[editar | editar la fonte]

Sean $\mathbf {x} _{1}$ y $\mathbf {x} _{2}$ les posiciones de dos cuerpos, y $m_{1}$ y $m_{2}$ les sos mases. La segunda llei de Newton determina que

$\mathbf {F} _{1,2}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}$

$\mathbf {F} _{2,1}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}$

onde $\mathbf {F} _{1,2}$ ye la fuercia na masa 1 por cuenta de la so interaición cola masa 2, y $\mathbf {F} _{2,1}$ ye la fuercia en masa 2 al respective de la masa 1.

El nuesu oxetivu ye determinar les trayectories $\mathbf {x} _{1}(t)$ y $\mathbf {x} _{2}(t)$ en tou intre $t$ , daes les posiciones iniciales $\mathbf {x} _{1}(t=0)$ y $\mathbf {x} _{2}(t=0)$ y les velocidaes iniciales $\mathbf {v} _{1}(t=0)$ y $\mathbf {v} _{2}(t=0)$ (12 constantes en total). Un trucu importante pa resolver el problema de dos-cuerpos ye sumar y restar estos dos ecuaciones que descompon el problema en dos problemes. La suma produz una ecuación que describe'l movimientu del centru de mases, y restar da una ecuación que describe cómo varia col tiempu'l vector de posición ente los dos mases. Al combinar les soluciones a estos dos problemes d'un cuerpu llógrense les soluciones de les trayectories $\mathbf {x} _{1}(t)$ y $\mathbf {x} _{2}(t)$ .

Movimientu del centru de mases (primer problema d'un cuerpu)[editar | editar la fonte]

La suma de los dos ecuaciones

$m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}+m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}=(m_{1}+m_{2}){\ddot {\mathbf {x} }}_{cm}=\mathbf {F} _{12}+\mathbf {F} _{21}=0$

onde usemos tercer llei de Newton $\mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}$ y onde

$\mathbf {x} _{cm}\equiv {\frac {m_{1}\mathbf {x} _{1}+m_{2}\mathbf {x} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}$

ye la posición del centru de mases (baricentru) del sistema. La ecuación resultante

${\ddot {\mathbf {x} }}_{cm}=0$

amuesa que la velocidá ${\dot {\mathbf {x} }}_{cm}$ del centru de masa ye constante, de lo que se deduz que la cantidá de movimientu total $m_{1}{\dot {\mathbf {x} }}_{1}+m_{2}{\dot {\mathbf {x} }}_{2}$ tamién ye constante (caltenimientu de la cantidá de movimientu). De cuenta que, pueden determinase la posición y velocidá del centru de masa en cualquier intre daes les posiciones y velocidaes iniciales.

Movimientu del vector de desplazamientu (segundu problema d'un cuerpu)[editar | editar la fonte]

Restando los dos ecuaciones de fuercia y reestructurando la ecuación

${\ddot {\mathbf {x} }}_{1}-{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}=\left({\frac {\mathbf {F} _{12}}{m_{1}}}-{\frac {\mathbf {F} _{21}}{m_{2}}}\right)=\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\mathbf {F} _{12}$

onde usemos de nuevu la tercer llei de Newton $\mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}$ .

Nós introducimos un nuevu vector $\mathbf {r}$

$\mathbf {r} \equiv \mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}$

eso ye'l vector de posición de la masa 1 respectu de la masa 2. La fuercia ente los dos oxetos namái ye una función d'esti vector de posición $\mathbf {r}$ y non de les sos posiciones absolutes $\mathbf {x} _{1}$ y $\mathbf {x} _{2}$ : si nun fuera asina, violaríase la simetría de traslación, esto ye, les lleis de la física camudaríen d'un llugar a otru. Poro, la ecuación puede escribise : $\mu {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} (\mathbf {r} )$

onde $\mu$ ye la masa amenorgada

\mu ={\frac {1}{{\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}}}={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}

Una vegada que resolvimos les ecuaciones $\mathbf {x} _{cm}(t)$ y $\mathbf {r} (t)$ , les trayectories orixinales pueden llograse de les ecuaciones

\mathbf {x} _{1}(t)=\mathbf {x} _{cm}(t)+{\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\mathbf {r} (t)

\mathbf {x} _{2}(t)=\mathbf {x} _{cm}(t)-{\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\mathbf {r} (t)

como puede verificase por sustitución nes ecuaciones de definición de $\mathbf {x} _{cm}(t)$ y $\mathbf {r} (t)$ .

Propiedaes del movimientu[editar | editar la fonte]

El movimientu de dos cuerpos ye planu[editar | editar la fonte]

El movimientu de dos cuerpos siempres ta nun planu. Definamos la cantidá de movimientu $\mathbf {p} =\mu {\dot {\mathbf {r} }}$ y el momentu angular

$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$

La variación col tiempu del momentu angular o cinéticu ye igual al momentu de fuercia $\mathbf {N}$

${\frac {d\mathbf {L} }{dt}}={\dot {\mathbf {r} }}\times \mu {\dot {\mathbf {r} }}+\mathbf {r} \times \mu {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {N}$

Como la fuercia ente los dos partícules ta na llinia que les xune y por tanto ye paralela al radio vector $\mathbf {F} \propto \mathbf {r}$ , el productu vectorial ente'l vector de posición y la fuercia ye nulu $\mathbf {r} \times \mathbf {F} =0$ . Asina que el momentu ye nulu y el momentu angular o cinéticu ye constante. Si'l vector momentu angular $\mathbf {L}$ ye constante, entós, el vector de posición $\mathbf {r}$ y la so velocidá ${\dot {\mathbf {r} }}$ tán siempres nel mesmu planu, normal a $\mathbf {L}$ .

Llei de les árees[editar | editar la fonte]

Ye útil de cutiu camudar a les coordenaes polares, desque'l movimientu ta nun planu y, pa munchos problemes físicos, la fuercia $\mathbf {F} (\mathbf {r} )$ solo ye una función del radiu $r$ (ye una fuercia central).

Al movese mientres un intre de tiempu'l vector de posición ${\vec {r}}$ describe una área elemental $d{\mathcal {A}}$ que vale: $d{\mathcal {A}}={\frac {r^{2}d\theta }{2}}$ , asina que la velocidá areolar o área barrida pol vector de posición na unidá de tiempu ye: ${\frac {d{\mathcal {A}}}{dt}}={\frac {r^{2}{\dot {\theta }}}{2}}$ .

El módulu del momentu angular $L=\mu r^{2}\omega$ onde $\omega \equiv {\dot {\theta }}$ . Asina que puede espresase la velocidá areolar en función del momentu angular ${\frac {d{\mathcal {A}}}{dt}}={\frac {L}{2\mu }}={\frac {C}{2}}=cte$ con $C=L/\mu \,$ "constante de les árees".

Esta llei de les árees foi enunciada empíricamente per primer vegada en 1609 por Johannes Kepler y esplica el movimientu de los planetes alredor del Sol constituyendo la segunda llei de Kepler. Convien aprofiar qu'esti fechu ye una propiedá xeneral del movimientu de les fuercies centrales y ye por tanto más xeneral que les fuercies de la gravitación inversamente proporcionales al cuadráu de la distancia.

El movimientu d'un planeta nel planu de la so órbita, componer de dos movimientos, unu l'ángulu que xira'l radiu vector y l'otru el so acercamientu o alloñamientu del primariu, ye dicir la variación del módulu del radio vector col tiempu. La llei de les árees determina que, un cuerpu xira más rápidu cuando ta cerca y lentu cuando ta lloñe y facer cuantitativamente, como pa poder establecer l'ángulu de xiru, anque resulta difícil. Pa llograr l'ángulu de xiru Y con el tiempu hai qu'espresar ta fórmula d'otra manera:

M=Y-y\sin Y\;

Esta fórmula denominar ecuación de Kepler, onde M ye la anomalía media, y ye la escentricidá y Y la anomalía escéntrica.

Solo queda saber como varia $r$ col tiempu y esaniciando t ente los dos euaciones llograr la órbita.

La órbita[editar | editar la fonte]

Newton dixo que "tou oxetu nel universu atrai a otru oxetu a lo llargo de la llinia que xune'l centru de los oxetos, (fuercia central) proporcional a les mases de cada oxetu, ya inversamente proporcional al cuadráu de la distancia ente ellos."

Pola segunda llei de Newton l'aceleración a ye de formar

$\mathbf {a} ={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=f(r){\hat {\mathbf {r} }}.$

En coordenaes polares la velocidá, asumiendo que la órbita ta nel planu OXY vale:

${\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}},$

y l'aceleración:

${\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}.$

L'aceleración en componentes y yá que namái tien componente radial:

{\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=f(r),

r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}=0.

Sustituyendo ${\ddot {\theta }}$ y ${\dot {r}}$ , la segunda ecuación queda:

r{d{\dot {\theta }} \over dt}+2{dr \over dt}{\dot {\theta }}=0

Dixebrando variables:

{\frac {d{\dot {\theta }}}{\dot {\theta }}}=-2{\frac {dr}{r}}.

La integración resulta:

\ln {\dot {\theta }}=-2\ln r+\ln \ell ,

onde añadimos la constante d'integración.

Sabemos que momentu angular específicu (por unidá de masa) vale:

\ell =r^{2}{\dot {\theta }}

,

Tomando llogaritmos:

\ln \ell =\ln r^{2}+\ln {\dot {\theta }},

Trescientos años d'esperiencia respuenden por el cambéu de variable:

r={\frac {1}{o}},

Derivando:

{\dot {r}}=-{\frac {1}{o^{2}}}{\dot {o}}=-{\frac {1}{o^{2}}}{\frac {d\theta }{dt}}{\frac {du}{d\theta }}=-\ell {\frac {du}{d\theta }},

Volviendo derivar y teniendo presente que ${\dot {\theta }}=o^{2}\ell$

{\ddot {r}}=-\ell {\frac {d}{dt}}{\frac {du}{d\theta }}=-\ell {\dot {\theta }}{\frac {d^{2}o}{d\theta ^{2}}}=-\ell ^{2}o^{2}{\frac {d^{2}o}{d\theta ^{2}}}.

La ecuación de movimientu en ${\hat {\mathbf {r} }}$

{\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=f(r),

queda:

{\frac {d^{2}o}{d\theta ^{2}}}+o=-{\frac {1}{\ell ^{2}o^{2}}}f\left({\frac {1}{o}}\right).

La llei de Newton de la gravitación indica que la fuercia por unidá de masa ye:

f\left({1 \over o}\right)=f(r)=-\,{GM \over r^{2}}=-GMo^{2}

onde G ye la constante de gravitación universal y M ye la masa de la estrella.

Resulta,

{\frac {d^{2}o}{d\theta ^{2}}}+o={\frac {GM}{\ell ^{2}}}

Esta ecuación diferencial tien la solución xeneral:

o={\frac {GM}{\ell ^{2}}}{\bigg [}1+y\cos(\theta -\theta _{0}){\bigg ]}.

onde y and θ₀ son constantes arbitraries d'integración.

Reemplazando o por 1/r y faciendo θ₀ = 0:

r={1 \over o}={\frac {\ell ^{2}/GM}{1+y\cos \theta }}

Esta ye la ecuación d'una cónica con escentricidá y y orixe nun focu. Poro, la primer llei de Kepler ye un resultáu direuta de la llei de la gravitación de Newton y de la segunda llei de Newton del movimientu.

θ recibe'l nome de anomalía verdadera de normal represéntase por V ye l'ángulu que forma'l radiu vector col periastro y rellaciónase fácilmente cola anomalía escéntrica Y.

Si 0<y<1, la órbita ye una elipse
Si y>1, la órbita ye una hipérbola
Si y=1, la órbita ye una parábola

Estensiones relativistes y cuántica[editar | editar la fonte]

Mecánica relativista[editar | editar la fonte]

En mecánica relativista'l problema de los dos cuerpos ye más complicáu por cuenta de que nun ye posible postular una aición a distancia y por tanto l'efectu d'un cuerpu sobre otru depende non de la so posición actual sinón de la so posición nun intre llixeramente anterior. Amás el problema gravitatoriu de los dos cuerpos nin siquier almite una formulación exacta na teoría de la relatividá especial y rique del usu del formalismu de la teoría de la relatividá xeneral, onde la xeometría del espaciu-tiempu ye variable.

Amás dos cuerpos qu'actúen unu sobre otru por aciu interaiciones electromagnétiques o gravitatories tienen d'emitir ondes electromagnétiques y gravitatories, polo que dichu problema siempres va implicar la esistencia d'un campu continuo que radia enerxía dende'l centru de masa escontra fuera. Esto torga un el tratamientu del problema de los dos cuerpos como un sistema zarráu que caltién la enerxía total.

Mecánica cuántica[editar | editar la fonte]

El problema de los dos cuerpos atraíos por fuercies electromagnétiques almite una solución en mecánica cuántica. De fechu, l'átomu hidroxenoide ye un casu particular del problema de los dos cuerpos na so versión cuántica. Ye bultable que nesti casu'l movimientu nun ye puramente planu. Por casu los electrones estabilizaos alredor d'un nucleu atómicu tienen una probabilidá non nula d'atopase en cualquier planu que contenga al nucleu a diferencia de lo que pasa col problema de los dos cuerpos clásicos onde les partícules tán siempres conteníes nun planu.