Ecuación diferencial

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Una ecuación diferencial ye una ecuación na qu'intervienen derivades d'una o más funciones desconocíes. Dependiendo del númberu de variables independientes respectu de les que se deriva, les ecuaciones diferenciales estremar en:

Un tercer tipu d'ecuación diferencial, usualmente non consideráu nos cursos introductorios del cálculu, son les ecuaciones diferenciales estocásticas que sirven pa definir exemplos de procesos estocásticos.

Historia[editar | editar la fonte]

  • La nacencia de la ciencia d'ecuaciones diferenciales afitar nel 11 de de payares de 1675, cuando Leibnitz asitió nun papel la ecuación Integral de y diferencial de y igual a la metá del cuadráu de y.[1] En símbolos de Leibnitz


Introducción[editar | editar la fonte]

  • Por casu considérase la llei, sofitada n'esperiencies, de que'l radiu se desintegra a una velocidá proporcional a la cantidá de radio presente, fechu que se describe por aciu la ecuación
, Q la cantidá de radio ye función del tiempu t; de cuenta que Q = Q(t).[2]

Una ecuación diferencial ye una ecuación qu'inclúi espresiones o términos qu'arreyen a una función matemática incógnita y les sos derivaes. Dellos exemplos d'ecuaciones diferenciales son:

ye una ecuación diferencial ordinaria, onde representa una función ensin especificar de la variable independiente , esto ye, , ye la derivada de con al respective de .
  • La espresión
ye una ecuación en derivaes parciales.

A la variable dependiente tamién se-y llama función incógnita (desconocida). La resolvimientu d'ecuaciones diferenciales ye un tipu de problema matemáticu que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Puede llevase a cabu por aciu un métodu específicu pa la ecuación diferencial en cuestión o por aciu una tresformada (como, por casu, la tresformada de Laplace).

Orde de la ecuación[editar | editar la fonte]

L'orde de la derivada más alta nuna ecuación diferencial denominar orde de la ecuación. Exemplos:

Orde 1:
Orde 2:
Orde 3:

Grau de la ecuación[editar | editar la fonte]

Ye la potencia de la derivada de mayor orde qu'apaez na ecuación, siempres y cuando la ecuación tea en forma polinómica, de nun ser asina se considera que nun tien grau.

Ecuación diferencial llineal[editar | editar la fonte]

Dizse qu'una ecuación ye llineal si tien la forma , esto ye:

  • Nin la función nin les sos derivaes tán alzaes a nenguna potencia distinta d'unu o cero.
  • En cada coeficiente qu'apaez multiplicándoles namái intervien la variable independiente.
  • Una combinación llineal de les sos soluciones ye tamién solución de la ecuación.

Exemplos:

  • ye una ecuación diferencial ordinaria llineal de primer orde, tien como soluciones , con k un númberu real cualesquier.
  • ye una ecuación diferencial ordinaria llineal de segundu orde, tien como soluciones , con a y b reales.
  • ye una ecuación diferencial ordinaria llineal de segundu orde, tien como soluciones , con a y b reales.

Usos[editar | editar la fonte]

Les ecuaciones diferenciales son bien utilizaes en toles cañes de la inxeniería pal modeláu de fenómenos físicos. El so usu ye común tantu en ciencies aplicaes, como en ciencies fundamentales (física, química, bioloxía) o matemátiques, como en economía.


Onde M ye la matriz que describe la masa de la estructura, C ye la matriz que describe'l amortiguamientu de la estructura, K ye la matriz de rixidez que describe la rixidez de la estructura, x ye vector de desplazamientos [nodales] de la estructura, P ye'l vector de fuerces (nodales equivalentes), y t indica tiempu. Esta ye una ecuación de segundu orde por cuenta de que tiense el desplazamientu x y el so primera y segunda derivada con respectu al tiempu.

  • La vibración d'una cuerda ta descrita pola siguiente ecuación diferencial en derivaes parciales de segundu orde:


onde ye'l tiempu y ye la coordenada del puntu sobre la cuerda y una constante que correspuende a la velocidá d'espardimientu de dicha onda. A esta ecuación llámase-y ecuación d'onda.

Ecuaciones semilineales y cuasilineales[editar | editar la fonte]

Nun esiste un procedimientu xeneral pa resolver ecuaciones diferenciales non llineales. Sicasí, dellos casos particulares de non linealidad sí pueden ser resueltos. Son d'interés el casu semilineal y el casu cuasilineal.

Una ecuación diferencial ordinaria d'orde n llámase cuasilineal si ye "llineal" na derivada d'orde n. Más específicamente, si la ecuación diferencial ordinaria pa la función puede escribise na forma:


Dizse que dicha ecuación ye cuasilineal si ye una función allegada, esto ye, .

Una ecuación diferencial ordinaria d'orde n llámase semilineal si puede escribise como suma d'una función "llineal" de la derivada d'orde n más una función cualesquier del restu de derivaes. Formalmente, si la ecuación diferencial ordinaria pa la función puede escribise na forma:


Dizse que dicha ecuación ye semilineal si ye una función llineal.

Solución d'una ecuación diferencial[editar | editar la fonte]

Tipos de soluciones[editar | editar la fonte]

Una solución d'una ecuación diferencial ye una función que al reemplazar a la función incógnita, en cada casu coles derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, esto ye, convertir nuna identidá. Hai tres tipos de soluciones:

  1. Solución xeneral: una solución de tipu xenéricu, espresada con una o más constantes.
Solución xeneral[editar | editar la fonte]

Ye un fexe de curves. Tien un orde de infinitud d'alcuerdu a la so cantidá de constantes (una constante correspuende a una familia a cencielles infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En casu de que la ecuación seya llineal, la solución xeneral llógrase como combinación llineal de les soluciones (tantes como l'orde de la ecuación) de la ecuación homoxénea (que resulta de faer el términu non dependiente de nin de les sos derivaes igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa.

  1. Solución particular: Si afitando cualquier puntu por onde tien de pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, esiste un únicu valor de C, y polo tanto de la curva integral que satisfai la ecuación, ésti va recibir el nome de solución particular de la ecuación nel puntu , que recibe'l nome de condición inicial.
Solución particular[editar | editar la fonte]

Ye un casu particular de la solución xeneral, onde la constante (o constantes) recibe un valor específicu.

  1. Solución singular: una función que verifica la ecuación, pero que nun se llogra particularizando la solución xeneral.
Solución singular[editar | editar la fonte]

Solución de la ecuación non consistente nuna particular de la xeneral.

Observaciones sobre les soluciones[editar | editar la fonte]

  • Sía la ecuación diferencial ordinaria d'orde n ( ye fácil verificar que la función y= f(x) ye la so solución. Basta calcular les sos derivaes de f(x), depués reemplazales na ecuación , xuntu con f(x) y probar que se llogra una identidá en x.
  • Les soluciones de Y.D.O. se presentanen forma de funciones implícitamente definíes, y dacuando imposibles d'espresar de manera esplícita. Por casu[3]

que ye solución de

  • La más simple de toles ecuación ye que la so solución ye

En dellos casos ye posible resolver por métodos elmentales del cálculu. Sicasí, n'otros casos, la solución analítica rique técniques de variable complexa o más sofisticaes como asocede coles integrales:

y na integral

nun puede estructurase por aciu un númberu finito de funciones elementales.[4]

Resolvimientu de delles ecuaciones[editar | editar la fonte]

Ver tamién[editar | editar la fonte]

Referencies[editar | editar la fonte]

  1. Boyce-Di Prima. Ecuaciones diferenciales y problemes con valores na frontera. ISBN 968-18-0107-5
  2. Kells. Ecuaciones diferenciales elementales.
  3. Simmons. Ecuaciones diferenciales. Llibros Mc Graw Hill
  4. Simmons. Op. cit.

Bibliografía[editar | editar la fonte]

Enllaces esternos[editar | editar la fonte]


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