Ecuación diferencial ordinaria

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La trayectoria d'un proyectil llanzáu dende un cañón sigue una curva definida por una ecuación diferencial ordinaria que se deriva de la segunda llei de Newton.

En matemátiques, una ecuación diferencial ordinaria (comúnmente embrivida "EDO") ye la ecuación diferencial que rellaciona una función desconocida de una variable independiente coles sos derivaes. Esto ye, una sola variable independiente (a diferencia de les ecuaciones diferenciales parciales qu'arreyen derivaes parciales de delles variables), y una o más de les sos derivades respectu de tal variable.

Introducción[editar | editar la fonte]

Recursos de la física, la inxeniería, la economía, la meteoroloxía, la bioloxía, la química y n'aplicaciones como les de modeláu en ciencies, estudiar en diverses árees (como xeometría, mecánica y astronomía) y perspectives.

Matemáticamente, ye de conveniente interés, el llogru d'una familia de funciones que verifiquen una ecuación y establecen la solución xeneral. Namái les ecuaciones diferenciales más sencielles almiten soluciones daes por fórmules esplícites (como les llineales acomuñaes a una teoría desenvuelta práuticamente por completu). Sicasí, pueden determinase delles propiedaes de les soluciones d'una ecuación diferencial ensin riquir la so formulación esacta, clave pa resolver la mayoría de les ecuaciones diferenciales non llineales de sumu interés en numberosos casos. Casos carentes d'una fórmula autu-contenida pa la so solución que se suple cola averada numbéricamente col auxiliu crucial de los ordenadores.

La matemática pura centra'l focu formal na solución, la so esistencia y si ye o non única. La aplicada controla la validez de los métodos pa la solución numbéricamente averada y el rigor de les xustificaciones con que-y los sofita.

La teoría de los sistemes dinámicos prioriza l'analís cualitativu de sistemes descritos por ecuaciones diferenciales mientres se vinieron sumando numberosos métodos numbéricos pa determinar soluciones con un grau dáu de precisión.

N'inxeniería, ciencies naturales y sociales hai munchos problemes d'interés que, cuando se plantegen, esixen la determinación d'una función la cual tien de verificar una ecuación qu'arreya derivaes de la función desconocida. Diches ecuaciones denominar ecuaciones diferenciales. Seique l'exemplu más conocíu ye la llei de Newton:[1]


Importancia[editar | editar la fonte]

Isaac Newton dábase cuenta de la importancia que teníen les ecuaciones diferenciales pal analís de los fenómenos de la naturaleza. Nos sos renombraos "Principios matemáticos de la filosofía natural" (1687) que engloban mecánica newtoniana, empiecen cola ecuación diferencial del movimientu. Esta ecuación considérase como axoma, ente que los planteamientos posteriores de la mecánica son, ello ye que teoremas que se deriven de dichu axoma, lo mesmo que de la llei de gravitación universal que s'esgaza de los fechos esperimentales (lleis de Kepler) y del mentáu axoma:[2]

Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) puede plantegase, siendo F una relación o función, como

(1a)


... pa representar la EDO en que la función incógnita (tamién conocida como variable dependiente), ser d'una única variable independente.

Polo xeneral, una ecuación diferencial llineal d'orde n puede formulase, siendo cada una función dependiente de t, como:

(1b)

Una solución de la ecuación (1a) o (1b) va ser una "familia" de curves o funciones del tipu que substituida dientro de la ecuación convertir nuna igualdá na que tolos términos son conocíos.

Na formulación más simple, la función incógnita ye una función pa ciertu valor real o complexu pero con mayor xeneralidá, pue selo pal valor d'un vector o matriz, lo que lleva a considerar un sistema d'ecuaciones diferenciales ordinaries (EDO) pa una única función.

Definiciones[editar | editar la fonte]

Ecuación diferencial ordinaria[editar | editar la fonte]

Sía , tal que , la n-ésima derivada de y, entós una ecuación diferencial ordinaria (EDO) de orde n tien siguiente forma:

Plantía:Caxa d'ecuación

Para funciones vectoriales, :, la ecuación Plantía:NotaEcuación ye llamada un sistema d'ecuaciones llineales diferenciales de dimensión m.

Cuando una ecuación diferencial d'orde n tien la forma : ye llamada una ecuación diferencial implícita, ente que na forma : ye llamada una ecuación diferencial esplícita.

Una ecuación diferencial que nun depende de x ye denomada autónoma.

Dizse qu'una ecuación diferencial ye llineal si F puede ser escrita como una combinación llineal de les derivaes de y

siendo, tanto ai(x) como r(x) funciones continues de x. La función r(x) ye llamada'l término fuente (traducíu del inglés source term); si r(x)=0 la ecuación diferencial llineal ye llamada homoxénea, de lo contrario ye llamada non homoxénea.

Soluciones[editar | editar la fonte]

Dada una ecuación diferencial

una función o: IRR ye llamada la solución, y la so gráfica llámase curva integral de F,[3] si o ye n vegaes derivable en I, y

Daes dos soluciones o: JRR y v: IRR, o ye llamada una estensión de v si IJ, y :

Una solución que nun tien estensión ye llamada una solución xeneral.[ensin referencies]

Una solución xeneral d'una ecuación d'orde n ye una solución que contién n variables arbitraries, correspondientes a n constante d'integración constantes d'integración. Una solución particular ye derivada de la solución xeneral por aciu la fixación de valores particulares pa les constantes, de cutiu escoyíes pa cumplir condiciones iniciales. Una solución singular ye la que nun puede derivase de la xeneral.

Solución d'una EDO de primer orde Si considérase una ecuación

diferencial de la forma:

)

una ecuación de primer orde resuelta con al respective de la derivada, llámase la so solución xeneral de l'anterior ecuación diferencial, va ser una función del tipu:

que depende d'una constante arbitraria C. Satisfai ecuación diferencial pa cualquier valor de la constante C. Amás sía'l que quier la condición inicial

siempres puede asignase un valor C0 a la constante C, tal que la función y = φ(x, C0) satisfaiga la condición inicial dada. Presumir que'l puntu (x0, y0) ta nun intervalu onde se cumplen les condiciones d'esistencia y d'unicidá de la solución.[4] Les soluciones pueden atopase con auxiliu de tresformamientos idénticos y de cambeos de variables.[5]

Condiciones iniciales[editar | editar la fonte]

Artículu principal: Problema de Cauchy

Polo xeneral si nun s'especifiquen ciertos valores iniciales o de contorna, que tien de satisfaer la solución d'una ecuación diferencial como (1) entós nun va esistir una solución [particular] única, esto ye, una única función que satisfaiga la ecuación diferencial. Pa una ecuación diferencial llineal d'orde n por casu ríquense n condiciones iniciales o de contorna, por qu'esista una única función que cumpla simultáneamente la ecuación estrema y les condiciones de contorna. Si namái s'especifiquen condiciones iniciales el problema d'atopar una función que satisfaiga la ecuación diferencial y les condiciones iniciales denominar problema de Cauchy. Si especifiquen condiciones que nun son namái condiciones de contorna pueden tenese problemes distintos como los problemes de Sturm-Liuville.

Tipos y forma de resolvimientu[editar | editar la fonte]

Esisten diversos tipos d'ecuaciones diferenciales ordinaries, caúna con una forma de resolvimientu distintu; pa clasificales, hai que faer la diferencia ente ecuaciones diferenciales de primer orde y ecuaciones d'orde cimeru (una y bones les primeres son, polo xeneral, de más bon resolvimientu).

Esistencia y unicidá de soluciones[editar | editar la fonte]

El teorema de Peano-Picard garantiza la esistencia d'una solución y la so unicidá pa toa ecuación diferencial ordinaria llineal con coeficientes continuos nun intervalu tien solución única en dichu intervalu. Pal casu d'ecuaciones diferenciales non llineales nun esisten resultaos análogues al de Peano-Picard.

El teorema de Peano-Picard demuestra la esistencia por aciu una demostración constructiva, pa un sistema d'ecuaciones diferenciales llineales de primer orde. Cuidao que toa ecuación diferencial llineal d'orde arbitrariu puede amenorgase a un sistema d'ecuaciones diferenciales de primer orde, siguir del teorema de Peano-Picard la esistencia y unicidá de la solución. La idea del teorema ye simple constrúi una socesión de Cauchy funciones que'l so llende ye precisamente la solución del sistema. La demostración de la unicidá per otra parte resulta trivial.

Soluciones analítiques[editar | editar la fonte]

Esisten métodos de resolvimientu xenerales pa ecuaciones diferenciales ordinaries llineales que dexen atopar soluciones analítiques. En particular si los coeficientes de la ecuación llineal son constantes o periódicos la solución ye casi siempres bono de construyir. Pa coeficientes non constantes o non periódicos, pero que son desarrollables en serie de Taylor o serie de Laurent ye aplicable con ciertes restricciones el métodu de Frobenius. Otra posibilidá ye amenorgar una ecuación diferencial llineal d'orde n a un sistema de n ecuaciones diferenciales llineales de primer orde.

Pa les ecuaciones diferenciales ordinaries non llineales nun esisten métodos xenerales.

Soluciones numbériques[editar | editar la fonte]

Dalgunos de los métodos de solución numbérica d'ecuaciones diferenciales son el métodu de Runge-Kutta, los métodos multipaso y los métodos de extrapolación.

Ecuaciones diferenciales ordinaries de primer orde[editar | editar la fonte]

Una ecuación diferencial de primer orde col valor inicial espresar de la siguiente forma:


Onde ye la condición inicial.

Ente los tipos de EDOs de primer orde atópense:[6]

Ecuación de variables xebrables[editar | editar la fonte]

Son EDOs de la forma:

Estes puédense espresar na forma:

Onde se procede integrando dambos miembros de la ecuación

De l'anterior ye posible llograr la solución xeneral. va suponese que les funciones g y h son continues.[5]

Ecuación esacta[editar | editar la fonte]

Artículu principal: Ecuación diferencial esacta

Una ecuación de la forma:

dizse esacta si esiste una función F que cumpla:

y

La so solución ye entós:

EDO de primer orde y homoxénea[editar | editar la fonte]

La ecuación diferencial ordinaria de primer orde:


Pa resolver úsase la sustitución y=xv, siendo v= v(x) una función desconocida. Sicasí, la palabra 'homoxénea' asume otru significáu, dientro del estudiu de les EDOs, fora d'esti contestu.

Ecuación llineal[editar | editar la fonte]

Artículu principal: Ecuación diferencial llineal

Una ecuación diferencial ye llineal si presenta la forma:

Y que tienen por solución:

Como puede apreciase, esta ecuación ye una ecuación diferencial de Bernoulli, con n=0.

Ecuación de Bernoulli[editar | editar la fonte]

Una ecuación diferencial de Bernoulli, que ye de la mesma una xeneralización de la ecuación diferencial llineal, foi formulada por Jakob Bernoulli y resuelta pol so hermanu, Johann Bernoulli y presenta la forma:

Na cual, si fai la sustitución , la ecuación tresformar nuna ecuación llineal con z como variable dependiente, resolviéndose de manera análoga.

Ecuación de Riccati[editar | editar la fonte]

Artículu principal: Ecuación de Riccati

Esta ecuación diferencial introducida por Jacopo Francesco Riccati presenta la estructura:

Pa resolvela, tien de faese la sustitución , onde ye una solución particular cualesquier de la ecuación.

Ecuación de Lagrange[editar | editar la fonte]

Una ecuación diferencial de Lagrange [ensin referencies] presenta la forma:

Resolviéndose cola sustitución , estremando y sustituyendo dy por pdx, convertir a otra considerada en x como función de p, ye llineal. Resolviendo ta última , tópase la solución xeneral de la ecuación inicial en forma paramétrica:

  1. onde p ye un parámetru.

Amás la ecuación de Lagrange puede tener soluciones singulares de la forma , siendo c un raigañu de la ecuación .[7]

Ecuación de Clairaut[editar | editar la fonte]

Una ecuación diferencial de Clairaut, llamada asina n'honor a Alexis-Claude Clairaut, tien la forma:

Como puede apreciase, esta ecuación ye una forma particular de la ecuación diferencial de Lagrange, con , polo cual, el so resolvimientu ye análoga a l'anterior.

Ecuación de Jacobi[editar | editar la fonte]

Artículu principal: Ecuación de Jacobi

Ecuaciones diferenciales ordinaries de segundu orde[editar | editar la fonte]

Munchos problemes físicos importantes tantu en mecánica como en electromagnetismu traen el resolvimientu d'ecuaciones diferenciales de segundu orde.

Ecuación llineal con coeficientes constantes[editar | editar la fonte]

La ecuación diferencial de segundu orde con coeficientes constantes tien la forma:


El resolvimientu d'esta ecuación depende de les raigaños del polinomiu característicu:

En función de cómo sían los raigaños de dichu polinomiu estremen trés casos posibles y distintos:

  • Caso 1: dos raíz reales y distintes , nesti casu la solución xeneral tien la forma:


  • Caso 2: dos raíz reales ya iguales , nesti casu la solución xeneral tien la forma:


  • Caso 3: dos raíz complexes conxugaes , nesti casu la solución xeneral tien la forma:


L'últimu términu d'esta última ecuación ta rellacionáu cola integral de Duhamel.

Ecuación diferencial de Euler o de Cauchy[editar | editar la fonte]

Esta ecuación tien la forma:


Y puede resolvese por aciu el cambéu de variable que tresforma la ecuación anterior nuna ecuación de coeficientes constantes resoluble polos métodos de la sección anterior:


Ecuaciones de Bessel[editar | editar la fonte]

Ver tamién: Función de Bessel

La ecuación diferencial de Bessel, apaez con frecuencia nel resolvimientu del problema de Dirichlet en coordenaes cilíndriques. Dicha ecuación tien la forma:


Esta ecuación ye resoluble por aciu les llamaes funciones de Bessel:

Amás d'esta ecuación esiste otra ecuación resoluble por aciu funciones de Bessel. La ecuación diferencial de Bessel modificada, apaez con frecuencia nel resolvimientu del problema de Dirichlet en coordenaes cilíndriques. Dicha ecuación tien la forma:


Que la so solución vien dada por:


Ecuación de Legendre[editar | editar la fonte]

La ecuación diferencial de Legendre, apaez con frecuencia nel resolvimientu del problema de Dirichlet en coordenaes esfériques. La ecuación tien la forma:


Cuando n ye un enteru una de los dos soluciones independientes que conformen la solución xeneral de la ecuación anterior ye'l polinomiu de Legendre de grau n:


Les solución xeneral puede espresase na forma:


, o bien,

Onde:



, y

Ecuaciones diferenciales ordinaries d'orde cimeru[editar | editar la fonte]

Ecuación llineal d'orde n con coeficientes constantes[editar | editar la fonte]

La ecuación diferencial llineal d'orde n con coeficientes constantes ye de la siguiente forma:


Onde los términos representen constantes Nel casu homoxéneu cuando'l segundu miembru ye hermano nulu, les soluciones d'esta ecuación pueden llograse a partir del raigaños del polinomiu característicu de la ecuación:


Nel casu de que toes los raigaños sían distintos la solución vien dada por:


Nel casu de qu'esistan dellos raigaños múltiples, esistiendo namái k raigaños distintos y siendo la multiplicidá del raigañu i-ésima, la solución xeneral ye de la forma:


Les multiplicidaes de cada raigañu son l'esponente de la siguiente descomposición:


Ver tamién[editar | editar la fonte]

Referencies[editar | editar la fonte]

Bibliografía[editar | editar la fonte]

  • (2008) Apuntes d'ecuaciones diferenciales I. Universidá Complutense de Madrid.
  • (1991) Ecuaciones diferenciales y problemes con valores na frontera.
  • (1990) Ecuaciones diferenciales modernes. Impresu n'Editorial Nomos, Bogotá: Mc Graw-Hill. ISBN 9684513186.
  • (2007) Introducción a la teoría d'ecuaciones diferenciales. URSS.
  • (1987) Problemes d'ecuaciones diferenciales ordinaries. Mir.
  • Plantía:GSM
  • (1987) Matemátiques cimeros: pa los físicos y técnicos principiantes. Mir.

Enllaces esternos[editar | editar la fonte]


Ecuación diferencial ordinaria