Derivada parcial

De Wikipedia
Saltar a navegación Saltar a la gueta

En cálculu diferencial, una derivada parcial d'una función de diverses variables, ye la derivada al respective de caúna d'eses variables calteniendo les otres como constantes. Les derivaes parciales son útiles en cálculu vectorial, xeometría diferencial, funciones analítiques, física, matemática, etc.

La derivada parcial d'una función f al respective de la variable x representar con cualesquier de les siguientes notaciones equivalentes:


Onde ye la lletra 'd' arrondada, conocida como la 'd de Jacobi'. Tamién puede representase como que ye la primer derivada al respective de la variable y asina socesivamente.[1]

Cuando una magnitú ye función de diverses variables (), esto ye:


Al realizar esta derivada llogramos la espresión que nos dexa calcular la rimada de la recta tanxente a dicha función nun puntu dáu. Esta recta ye paralela al planu formáu pela exa de la incógnita al respective de la cual fíxose la derivada cola exa que representa los valores de la función.

Analíticamente el gradiente d'una función ye la máxima pindia de dicha función na dirección que s'escueya. Mientres vistu dende la álxebra llineal, la dirección del gradiente indícanos escontra onde hai mayor variación na función.

Introducción[editar | editar la fonte]

Supongamos que ye una función de más d'una variable, ye dicir una función real de variable vectorial. Pal casu,


Un gráficu de z = x2 + xy + y2. Queremos atopar la derivada parcial en (1, 1, 3) que dexa a y constante; la correspondiente llinia tanxente ye paralela al planu formáu pela exa x y la mesma función (o z).

Ye difícil describir la derivada de tal función, yá que esiste un númberu infinitu de llinies tanxentes en cada puntu de la so superficie. La derivación parcial ye l'actu d'escoyer una d'eses llinies y atopar la so rimada. Xeneralmente, les llinies que más interesen son aquelles que son paraleles al planu de la exa x con z, y aquelles que son paraleles al planu de la exa y con z.

Este ye una corte del gráficu de la derecha onde y = 1.

Una bona manera d'atopar los valores pa eses llinies paraleles ye la de tratar les otres variables como constantes mientres se dexa a variar namái una. Por casu, p'atopar la llinia tanxente de la función de riba en (1, 1, 3) que ye paralela al planu de la exa x con z, tratamos a la variable y como constante. El gráficu de la función y el planu y = 1 amuésense a la derecha. A la izquierda, vemos cómo se ve la función, nel planu y = 1. Atopando la llinia tanxente nesti gráficu, afayamos que la rimada de la llinia tanxente de ƒ en (1, 1) que ye paralela al planu de la exa x con z ye trés. Qu'escribimos:


nel puntu (1, 1),

o como, tomando la variable y como constante, "La derivada parcial de con al respective de x ye (), que nel puntu (x = 1) toma'l valor 3."

Exemplos[editar | editar la fonte]

El volume d'un conu depende del altor (h) y el radiu (r)
  • Considera'l volume V d'un conu, este depende del altor h del conu y el so radiu r acordies con la fórmula


Les derivaes parciales de V al respective de r y h son:


  • Otru exemplu, dada la función tal que:

la derivada parcial de respectu de ye:

ente que con respectu de ye:

Definición[editar | editar la fonte]

Análogamente a les derivaes ordinaries ( función d'una variable real), les derivaes parciales tán definíes como llende . Onde O ye un subconxuntu abiertu de Rn y f : OR una función. Definimos derivada parcial de f nel puntu a = (a1,..., an) ∈ O con al respective de la i-ésima variable xi como:


, si esiste la llende.

O vistu al respective de la derivada direccional:


onde ye'l vector unitariu de la exa respecto al que se deriva ().

Inclusive si toos les derivaes parciales esisten nel puntu a, la función non necesariamente ye continua nesi puntu. Sicasí, si toos les derivaes parciales esisten alredor de a y son continues, entós la función non yá ye continua sinón amás diferenciable cerca de a. Nesti casu, f ye una función C1.

De la definición propuesta infierse que les riegles pa calcular les derivaes parciales son les mesmes que s'usen pa topar la derivada de les funciones d'una variable, ye necesariu , solo, tener en cuenta , al respective de qué variable plantégase la derivada. [2]

Notación[editar | editar la fonte]

Pal siguiente exemplu, f va ser una función de x y y.

  • Derivaes parciales de primer orde:


Derivaes parciales (dobles) de segundu orde:


Derivaes cruciaes de segundu orde:


Termodinámica[editar | editar la fonte]

En termodinámica y otres árees de la física emplega la siguiente notación:


Que significa que y entós:


Esta notación úsase porque frecuentemente una magnitú puede espresase como función de distintos variables polo que polo xeneral:


Una y bones la forma precisa de les funciones y ye distintu, esto ye, trátase de funciones distintes.

Derivaes parciales d'orde cimeru[editar | editar la fonte]

De la mesma, la derivada parcial puede trate como otra función definida en O y derivase parcialmente. Si toos les sos derivaes parciales esisten y son continues, llamamos a f una función C2; nesti casu, les derivaes parciales (llamaes parciales) pueden ser intercambiaes pol teorema de Clairaut tamién conocíu como teorema de Schwarz.


En R2, si cumplir lo yá dicho, asegúrase que:


Ver tamién[editar | editar la fonte]

Referencies[editar | editar la fonte]

  1. Serge Lang. Cálculu II. ISBN 968-6630-12-0
  2. Fleming, Wendell H. "Funciones de diverses variables" Centru rexonal d'ayuda técnica, Ciudá de Méxicu (1969)

Enllaces esternos[editar | editar la fonte]


Derivada parcial