Ecuación

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El primer usu del signu igualdá, la ecuación equival a la notación moderna 14x + 15 = 71, tomáu de The Whetstone of Witte de Robert Recorde (1557).

Una ecuación ye una igualdá matemática ente dos espresiones alxebraiques, denominaes miembros, nes qu'apaecen valores conocíos o datos, y desconocíos o incógnites, rellacionaos por aciu operaciones matemátiques.[nota 1] Los valores conocíos pueden ser númberos, coeficientes o constantes; y tamién variables que la so magnitú pueda ser establecida al traviés de les restantes ecuaciones d'un sistema, o bien por aciu otros procesos.[nota 2][ensin referencies] Les incógnites, representaes xeneralmente por lletres, constitúin los valores que pretende topase. Por casu, na ecuación:

la variable representa la incógnita, ente que'l coeficiente 3 y los númberos 1 y 9 son constantes conocíes. La igualdá plantegada por una ecuación va ser cierta o falsa dependiendo de los valores numbéricos que tomen les incógnites; puede afirmase entós qu'una ecuación ye una igualdá condicional, na que solo ciertos valores de les variables (incógnites) facer cierta.

Llámase solución d'una ecuación a cualquier valor individual de felicidaes variables que la satisfaiga. Pal casu dáu, la solución ye:

Resolver una ecuación ye atopar la so dominio solución, que ye'l conxuntu de valores de les incógnites pa los cualos la igualdá cumplir. Polo xeneral, los problemes matemáticos pueden espresase en forma d'una o más ecuaciones;[ensin referencies] sicasí non toles ecuaciones tienen solución, yá que ye posible que nun esista nengún valor de la incógnita que faiga cierta una igualdá dada. Nesi casu, el conxuntu de soluciones de la ecuación va ser vacíu y dizse que la ecuación nun ye resoluble. De la mesma, puede tener un únicu valor, o dellos, o inclusive infinitos valores, siendo cada unu d'ellos una solución particular de la ecuación. Si cualquier valor de la incógnita fai cumplir la igualdá (esto ye, nun esiste nengún valor pal cual nun se cumpla) la ecuación ye en realidá una identidá.[nota 3]

Introducción[editar | editar la fonte]

Artículu principal: Teoría d'ecuaciones

Uso d'ecuaciones[editar | editar la fonte]

La ciencia utiliza ecuaciones pa enunciar de forma precisa lleis; estes ecuaciones espresen relaciones ente variables. Asina, en física, la ecuación de la dinámica de Newton rellaciona les variables fuerza F, aceleración a y masa m: F = ma. Los valores que son solución de la ecuación anterior cumplen la primer llei de la mecánica de Newton. Por casu, si considérase una masa m = 1 kg y una aceleración a = 1 m/s, la única solución de la ecuación ye F = 1 kg·m/s = 1 Newton, que ye l'únicu valor pa la fuerza dexada pola llei.

Exemplos:

El campu d'aplicación de les ecuaciones ye inmensu, y pollo hai una gran cantidá d'investigadores dedicaos al so estudiu.

Tipos d'ecuaciones[editar | editar la fonte]

Les ecuaciones pueden clasificase según el tipu d'operaciones necesaries pa definiles y según el conxuntu de númberos sobre'l que se busca la solución. Ente los tipos más frecuentes tán:

Definición xeneral[editar | editar la fonte]

Dada una aplicación f : A → B y un elementu b del conxuntu B, resolver una ecuación consiste n'atopar tolos elementos x ∈ A que verifiquen la espresión: f(x) = b. Al elementu x llámase-y incógnita. Una solución de la ecuación ye cualquier elementu a ∈ A que verifique f(a) = b.[ensin referencies]

L'estudiu de les ecuaciones depende de les característiques de los conxuntos y l'aplicación; por casu, nel casu de les ecuaciones diferenciales, los elementos del conxuntu A son funciones y l'aplicación f tien d'incluyir dalguna de les derivaes del argumentu. Nes ecuaciones matriciales, la incógnita ye una matriz.

La definición que se dio inclúi les ecuaciones de la forma g(x) = h(x). «+» denota la suma de funciones, entós (B, +) ye un grupu. Basta definir l'aplicación f(x) = g(x) – h(x), con h l'inversu de h con al respective de la suma, pa tresformar la ecuación en f(x) = 0.

Conxuntu de soluciones[editar | editar la fonte]

Dada la ecuación f(x) = b, el conxuntu de soluciones de la ecuación vien dáu por S = f–1(b), onde f–1 ye la imaxe inversa de f. Si S ye'l conxuntu vacíu, la ecuación nun ye soluble; si tien solo un elementu, la ecuación va tener solución única; y si S tien más d'un elementu, toos ellos van ser soluciones de la ecuación.

Na teoría de ecuaciones diferenciales, nun se trata solo de pescudar la espresión esplícita de les soluciones, sinón determinar si una ecuación determinada tien solución y esta ye única. Otru casu nos que s'investiga la esistencia y unicidá de soluciones ye nos sistemes d'ecuaciones llineales.

Casos particulares[editar | editar la fonte]

Una ecuación diofántica ye aquella que la so solución solo puede ser un númberu enteru, esto ye, nesti casu A ⊆ . Una ecuación funcional ye aquella na que dalgunes de les constantes y variables qu'intervienen nun son realmente númberos sinón funciones; y si na ecuación apaez dalgún operador diferencial llámase ecuación diferencial. Cuando A ye un cuerpu y f un polinomiu, tiense una ecuación alxebraica polinómica.

Nun sistema d'ecuaciones llineales, el conxuntu A ye un conxuntu de vectores reales y la función ye un operador llineal.

Esistencia de soluciones[editar | editar la fonte]

En munchos casos, por casu nes ecuaciones diferenciales, una de les cuestiones más importantes ye determinar si esiste dalguna solución, ye dicir demostrar que'l conxuntu de soluciones nun ye'l conxuntu vacíu. Unu de los métodos más corrientes pa llogralo consiste n'aprovechar que'l conxuntu A tien dalguna topoloxía. Nun ye l'únicu: nos sistemes d'ecuaciones reales, recurrir a técniques alxebraiques pa pescudar si estos sistemes tienen solución. Sicasí, la álxebra escarez de recursos p'asegurar la esistencia de soluciones nes ecuaciones alxebraiques: p'asegurar que toa ecuación alxebraica con coeficientes complexos tien una solución, hai que recurrir al analís complexu[1] y, poro, a la topoloxía.

Propiedaes de la ecuaciones[editar | editar la fonte]

El axoma fundamental de les ecuaciones ye Plantía:Definición Dos ecuaciones son equivalentes si les sos soluciones son les mesmes. Esto da llugar a les siguientes implicaciones.

  • Si a los dos miembros d'una ecuación sumir una mesma cantidá positiva o negativa, la igualdá subsiste.

Plantía:Definición

  • Si a los dos miembros d'una ecuación réstase-yos una mesma cantidá, positiva o negativa, la igualdá subsiste.

Plantía:Definición

  • Si a los dos miembros d'una ecuación multiplicar por una mesma cantidá, positiva o negativa, la igualdá subsiste.

Plantía:Definición

  • Si a los dos miembros d'una ecuación estremar por una mesma cantidá non nula, positiva o negativa, la igualdá subsiste.

Plantía:Definición

Otros dos operaciones respeten la igualdá pero pueden alteriar el conxuntu de soluciones:

  • Simplificar factores comunes presentes en dambos llaos d'una ecuación que contienen variables. Esta operación tien d'aplicase con cuidu, porque'l conxuntu de soluciones puede trate amenorgáu. Por casu, la ecuación y · x = x tien dos soluciones: y = 1 y x = 0. Si estremen dambos llaos ente x pa simplifcarla llógrase la ecuación y = 1, pero la segunda solución perdióse.
  • Si aplícase una función non inyectiva a entrambos llaos d'una ecuación, la ecuación resultante puede nun tener un conxuntu de soluciones más grande que la orixinal.

Amás, una igualdá ye una relación d'equivalencia,[2] colo cual cumplir les siguientes propiedaes.

  • Propiedá reflexiva: a = a.

Exemplu: 14 = 14x + 8 = x + 8

  • Propiedá simétrica: Si a = b, entós b = a.

Exemplu: Si x = 5, entós 5 = x. Si y = 2 + x, entós 2 + x = y.

  • Propiedá transitiva: Si a = b y b = c, entós a = c.

Exemplu: Si x = a y a = 8b, entós x = 8b. Si xy = 8z, y 8z = 32, entós xy = 32.

Ecuación alxebraica[editar | editar la fonte]

Artículu principal: Ecuación alxebraica

Una ecuación alxebraica, polinómica o polinomial ye una igualdá ente dos polinomios. Por casu:

x3y + 4xy = 5 – 2xy

Definición[editar | editar la fonte]

Llámase ecuación alxebraica con una incógnita la ecuación que s'amenorga a lo que sigue

α0xn + α1xn – 1 + α2xn – 2 + ... + αn – 1x + αn = 0.

onde n ye un númberu enteru positivu; α0, α1, α2, ..., αn – 1, αn denominar coeficientes o parámetros de la ecuación y tómense daos; x nómase incógnita y ye buscada. El númberu n positivu llámase grau de la ecuación[3] Pa definir un númberu alxebraicu considérense como coeficientes, númberos racionales.

Forma canónica[editar | editar la fonte]

Realizando una mesma serie de tresformamientos en dambos miembros d'una ecuación, puede consiguise qu'unu d'ellos amenórguese a cero. Si amás ordenar los términos según los esponentes a los que s'atopen alzaes les incógnites, de mayor a menor, llógrase una espresión denominada forma canónica de la ecuación. Frecuentemente suel estudiase les ecuaciones polinómicas a partir de la so forma canónica, ye dicir aquella que'l so primer miembru ye un polinomiu y que'l so segundu miembru ye cero.

Nel exemplu dáu, sumando 2xy y restando 5 en dambos miembros, y depués ordenando, llogramos:

x3y + 2xy + 4xy – 5 = 0

Grau[editar | editar la fonte]

Denominar grau d'una ecuación polinomial al mayor esponente al que s'atopen alzaes les incógnites. Por casu

2x3 – 5x2 + 4x + 9 = 0

Ye una ecuación de tercer grau porque la variable x alcuéntrase elevada al cubu nel mayor de los casos.

Les ecuaciones polinómicas de grau n d'una sola variable sobre los númberos reales o complexos, pueden resolvese pol métodu de los radicales cuando n < 5 (yá que nesos casos el grupu de Galois acomuñáu a los raigaños de la ecuación ye soluble). La solución de la ecuación de segundu grau ye conocida dende l'antigüedá; les ecuaciones de tercer y cuartu grau conocer dende los sieglos XV y XVI, y usen el métodu de radicales. La solución de la ecuación de quintu grau nun puede faese por aciu el métodu de radicales, anque puede escribise en términos de la función theta de Jacobi.

Ecuación de primer grau[editar | editar la fonte]

Dizse qu'una ecuación alxebraica ye de primer grau cuando la incógnita (equí representada pola lletra x) ta alzada a la potencia 1 (grau = 1), ye dicir qu'el so esponente ye 1.

Les ecuaciones de primer grau tienen la forma canónica:

ax + b = 0

onde a y b tán nun conxuntu numbéricu (, ) con a distintu de cero.

La so solución ye senciella: x = –Plantía:Fracción. Esixe'l resolvimientu, la esistencia d'inversos multiplicativos.

Resolvimientu d'ecuaciones de primer grau[editar | editar la fonte]

Les ecuaciones polinómicas de primer grau resolver en tres pasos: transposición, simplificación y estene, desenvueltos de siguío por aciu un exemplu.

Dada la ecuación:

9x – 9 + 108x – 6x – 92 = 16x + 28 + 396
Transposición[editar | editar la fonte]

Primero arrexuntar tolos monomios qu'inclúin la incógnita x n'unu de los miembros de la ecuación, de normal nel esquierdu; y tolos términos independientes (los que nun tienen x o la incógnita del problema) nel otru miembru. Esto puede faese teniendo en cuenta que:

Plantía:Teorema En términos coloquiales, dizse que: si un términu ta sumando (como 16x nel miembru de la derecha) pasa al otru llau restando (–16x a la izquierda); y si ta restando (como'l –9 de la esquierda), pasa al otru llau sumando (+9 a la derecha)

La ecuación va quedar entós asina:

9x + 108x – 6x – 16x = 28 + 396 + 9 + 92

Como puede trate, tolos términos que tienen la variable x quedaron nel primer miembru (a la izquierda del signu igual), y los que nun la tener, por ser solu constantes numbériques, quedaron a la derecha.

Simplificación[editar | editar la fonte]

El siguiente pasu ye convertir la ecuación n'otra equivalente más simple y curtia. Si efectúase la simplificación del primer miembru:

9x + 108x – 6x – 16x = (9 + 108 – 6 – 16)x = 95x

Y simplificar el segundu miembru:

28 + 396 + 9 + 92 = 525

La ecuación simplificada va ser:

95x = 525
Estene[editar | editar la fonte]

Agora ye cuando se llega al oxetivu final: que la incógnita quede aisllada nun miembru de la igualdá. Pa lo cual recuérdase que: Plantía:Teorema En términos coloquiales: Pa estenar la x, si un númberu tar multiplicando (Ej: 5x) y nun hai nengún otru términu sumando o restando nesi mesmu miembru, pásase dichu númberu al otru llau estremando (Plantía:Fracción) ensin camudar el so signu. Y si un númberu tar estremando (Ej: Plantía:Fracción), entós pasar al otru llau multiplicando (n × 2) ensin camudar el so signu.

Al pasar el 5 estremando al otru llau, lo que tamos faciendo en realidá ye estremar dambos miembros ente 5. Entós, nel miembru onde taba'l 5 llogramos Plantía:Fracción, que s'anula quedando solo la x (dicimos qu'el 5 que multiplicaba sume del primer miembru). Nel otru llau, sicasí, el 5 qu'amestamos estremando nun puede anulase (dicimos que apaez estremando como si hubiera pasáu d'un llau a otru cola operación convertida na so inversa).[nota 4]

Volviendo al exemplu, debemos entós pasar el númberu 95 al otru miembru y, como taba multiplicando, va facer estremando, ensin camudar de signu:

x = Plantía:Fracción

L'exerciciu ta teóricamente resueltu, yá que tenemos una igualdá na que x equival al númberu Plantía:Fracción. Sicasí, tenemos de simplificar.

Puede resolvese la fracción (numberador estremáu ente denominador) si la resultancia fuera esactu; pero como nesti casu ye decimal (525 ÷ 95 = 5,52631578947) simplificar y esa ye la solución:

x = Plantía:Fracción

Exemplu de problema[editar | editar la fonte]

Pongamos el siguiente problema: el númberu de banzones que tengo, más trés, ye igual al doble de los banzones que tengo, menos dos. ¿Cuántos banzones tengo? El primer pasu pa resolver esti problema ye espresar l'enunciáu como una ecuación:

<o>x</o> + <o>3</o> = <o>2x</o><o>2</o>

Onde x ye la incógnita: ¿cuántos banzones tengo?

La ecuación podría lleese asina: <o>El númberu de banzones que tengo</o>, más <o>trés que me dan</o>, ye igual al <o>doble de los mios banzones</o>, quitar <o>dos</o>.

L'enunciáu ta espresáu, pero nun podemos ver claramente cuál ye'l valor de x; pa ello sigue esti procedimientu: Primero pásense tolos términos que dependen de x al primer miembru y los términos independientes al segundu. Pa ello tenemos en cuenta que cualquier términu que se camuda de miembru camuda tamién de signu. Asina llogramos:

x – 2x = –2 – 3

Que, simplificáu, resulta:

x = –5

Esta espresión llévanos a una riegla bien importante de la álxebra, que diz que si modificamos igualmente dambos miembros d'una ecuación, la resultancia ye'l mesmu. Esto significa que podemos sumar, restar, multiplicar, estremar, alzar y aniciar los dos miembros de la ecuación pol mesmu númberu, ensin qu'esta sufra cambeos. Nesti casu, si multiplicamos dambos miembros por –1 vamos llograr:

x = 5

El problema ta resueltu.

Ecuación de segundu grau[editar | editar la fonte]

Artículu principal: Ecuación de segundu grau

Les ecuaciones polinómicas de segundu grau tienen la forma canónica

ax2 + bx + c = 0

Onde a ye'l coeficiente del términu cuadrático (aquel en que la incógnita ta alzada a la potencia 2), b ye'l coeficiente del términu llineal (el que tien la incógnita ensin esponentes, esto ye que ta alzada a la potencia 1), y c ye'l términu independiente (el que nun depende de la variable, esto ye que ta compuestu solo por constantes o númberos) Cuando esta ecuación plantégase sobre siempres se tienen dos soluciones:

Obviamente la condición por que la ecuación tenga solución sobre los númberos reales ríquese que b2 ≥ 4ac y por que tenga soluciones sobre los númberos racionales ríquese b2 – 4ac ∈ .

Tipos d'ecuación alxebraica[editar | editar la fonte]

Una ecuación alxebraica en x contién solo espresiones alxebraiques, como polinomios, espresiones racionales, radicales y otres. Una ecuación d'esti tipu llámase ecuación condicional si hai númberos nos dominios de les espresiones que nun seyan soluciones; por casu, x2 = 9 ye condicional porque'l númberu x = 4 (y otros) nun ye una solución. Si tou númberu de los dominios de les espresiones d'una ecuación alxebraica ye una solución, la ecuación llámase identidá.

Historia[editar | editar la fonte]

Antigüedá[editar | editar la fonte]

Yá nel sieglu XVI e.C. los exipcios resolvíen problemes cotidianos que teníen que ver cola repartición de cebera, de colleches y de materiales que yeren equivalentes a resolver ecuaciones alxebraiques simples de primer grau; como la notación alxebraica nun esistía usaben un métodu iterativu averáu llamáu'l «métodu de la falsa posición».

Los matemáticos chinos de principios de nuesa yera escribieron el llibru L'arte del cálculu nel que plantegaron diversos métodos pa resolver ecuaciones alxebraiques de primeru y segundu grau, según sistemes de dos ecuaciones con dos incógnites.

El matemáticu griegu Diofanto d'Alexandría publicó la so Aritmética nel sieglu III tratando les ecuaciones de primer y segundu grau; foi unu de los primeres n'utilizar símbolos pa representar les ecuaciones. Tamién plantegó les ecuaciones con soluciones enteres, llamaes nel so honor ecuaciones diofánticas.[4]

Sieglos XV - XVI[editar | editar la fonte]

Pasada la edá escura” medieval, l'estudiu de les ecuaciones alxebraiques esperimenta un gran impulsu. Nel sieglu XV taben a la orde del día los desafíos matemáticos públicos, con premios al vencedor; asina, un desafíu famosu enfrentó a dos matemáticos a resolver ecuaciones de tercer grau, el vencedor foi Niccolò Fontana Tartaglia, espertu alxebrista.

Sobre mediaos del sieglu XVI los matemáticos italianos Girolamo Cardano y Rafael Bombelli afayaron que pa poder resolver toles ecuaciones de segundu, terceru y cuartu grau l'usu de los númberos imaxinarios yera indispensable. Cardano, enemigu acérrimo de Tartaglia, tamién topó métodos de resolvimientu d'ecuaciones de cuartu grau.

Nel mesmu sieglu'l matemáticu francés René Refugues popularizó la notación alxebraica moderna, na cual les constantes tán representaes poles primeres lletres del alfabetu, a, b, c, … y les variables o incógnites poles postreres, x, y, z. Nesta dómina enúnciense problemes d'ecuaciones que solo fueron resueltos anguaño, dalgunos que solo apocayá se resolvieron; ente ellos tenemos el últimu teorema de Fermat, unu de los teoremas más famosos de la matemática, que nun foi demostráu hasta 1995 por Andrew Wiles y Richard Taylor.

Sieglos XVII-XVIII[editar | editar la fonte]

Nel sieglu XVII Newton y Leibniz publiquen los primeros métodos de resolvimientu de les ecuaciones diferenciales qu'apaecen nos problemes de la dinámica. Probablemente'l primer llibru sobre estes ecuaciones foi “Sobre les construcciones d'ecuaciones diferenciales de primer grau” de Gabriele Manfredi (1707). Mientres el sieglu XVIII matemáticos pernomaos como Leonhard Euler, Daniel Bernoulli, Joseph Lagrange y Pierre Simon Laplace publiquen resultaos sobre ecuaciones diferenciales ordinaries y ecuaciones en derivaes parciales.

Dómina moderna[editar | editar la fonte]

A pesar de tolos esfuerzos de les dómines anteriores, les ecuaciones alxebraiques de quintu grau y superiores aguantar a ser resueltes; solo consiguióse en casos particulares, pero nun s'atopaba una solución xeneral. A principios del sieglu XIX Niels Henrik Abel demostró qu'hai ecuaciones non resolubles; en particular amosó que nun esiste una fórmula xeneral pa resolver la ecuación de quintu grau; darréu Évariste Galois demostró, utilizando la so teoría de grupos, que lo mesmo puede afirmase de toa ecuación de grau igual o superior a cinco.

Mientres el sieglu XIX les ciencies físiques utilicen na so formulación ecuaciones diferenciales en derivaes parciales y/o ecuaciones integrales, como ye'l casu de la electrodinámica de James Clerk Maxwell, la mecánica hamiltoniana o la mecánica de fluyíos. L'usu habitual d'estes ecuaciones y de los métodos de solución lleva a la creación d'una nueva especialidá, la física matemática.

Yá nel sieglu XX la Física Matemática sigui ampliando'l so campu d'acción; Schrödinger, Pauli y Dirac formulen ecuaciones diferenciales con funciones complexes pa la mecánica cuántica. Einstein utiliza ecuaciones tensoriales pal so Relatividá Xeneral. Les ecuaciones diferenciales tienen tamién un ampliu campu d'aplicación en teoría económica.

Por cuenta de que la mayoría d'ecuaciones que se presenten na práctica son bien difíciles o inclusive imposibles de resolver analíticamente, ye habitual utilizar métodos numbéricos p'atopar raigaños averaos. El desenvolvimientu de la informática fai posible anguaño resolver en tiempos razonables ecuaciones de miles ya inclusive millones de variables usando algoritmos numbéricos.

Ver tamién[editar | editar la fonte]

Notes[editar | editar la fonte]

  1. Si en llugar d'una igualdá tratar d'una desigualdá ente dos expresiones matemátiques, va denominase inecuación.
  2. N'ocasiones, dalgunu de los datos de la ecuación puede nun tener valor únicu, y aun así siguir siendo conocíu, yá seya por formar parte d'un conxuntu finito de valores (por casu una tabla) o por tratase d'un datu d'entrada a elección. Dichu valor, qu'anque siendo variable nun ye una incógnita sinón un datu, va poder eventualmente apaecer formando parte de la solución. Asina entós, de la mesma que x = 3π podría ser una solución posible pa una ecuación (onde π ye un númberu) tamién podría selo x = 3h onde h ye'l datu variable.
  3. Les identidaes nun son consideraes ecuaciones, yá que nelles non cabo'l conceutu de solución.
  4. La xeneralización d'esta esplicación rique conocer el conceutu de operación inversa o simétrica, y puede causar tracamundiu n'estudiantes con dificultá pa topala. Por casu, nun rescampla qu'a partir de la igualdá 3x = y pueda estenase la x como x = log3y.

Referencies[editar | editar la fonte]

  1. Variable complexa con aplicaciones, 2ª, Iberoamérica, 88. ISBN 968-7270-35-7.
  2. Álgebra y xeometría analítica, 2ª, Bonos Enrites: Nigar, 2.
  3. Manual de matemática (1985) Tsipkin, Editorial Mir, Moscú; traducción de Shapovalova; pg. 150.
  4. Un mizcu de la hestoria de la álxebra, Rede Escolar, México, 2008.

Enllaces esternos[editar | editar la fonte]



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