Movimientu brownianu

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Esta ye una simulación del movimientu browniano que realiza una partícula de polvu que topeta con un gran conxuntu de partícules de menor tamañu (molécules de gas) les cualos muévense con distintes velocidaes en direcciones aleatories.
Esta ye una simulación del movimientu browniano de 5 partícules (marielles) que topeten con un gran conxuntu de 800 partícules. Les partícules marielles dexen 5 rastros azules de movimientu aleatoriu y unu d'ellos tien un vector de velocidá coloráu
Translational motion.gif
Trés vistes distintos del movimientu browniano, con 32 pasos, 256 pasos y 2048 pasos marcaos con colores más claros progresivamente
Una simple realización d'un movimientu browniano tridimensional pa tiempos 0 ≤ t ≤ 2

El movimientu browniano ye'l movimientu aleatoriu que se repara nes partícules que se topen nun mediu fluyíu (líquidu o gas), como resultáu de choques contra les molécules de dichu fluyíu.[1]

Esti fenómenu de tresporte recibe'l so nome n'honor al escocés Robert Brown, biólogu y botánicu. En 1827, mientres miraba al traviés d'un microscopiu a les partícules atrapaes nos cuévanos dientro d'un granu de polen na agua, señaló que les partícules movíense al traviés del líquidu; pero nun foi capaz de determinar los mecanismos que provocaron esti movimientu. Los átomos y les molécules fueren teorizadas como componentes de la materia, y Albert Einstein publicó un artículu en 1905, consideráu por él como'l Annus Mirabilis ("añu maraviyosu", en llatín) onde esplicó con tou detalle cómo'l movimientu que Brown reparara yera la resultancia del polen siendo movíu por molécules d'agua individual. Esta esplicación sirvió como prueba convincente de qu'esisten los átomos y molécules, y foi verificáu esperimentalmente por Jean Perrin en 1908. Perrin foi galardonáu col Premiu Nobel de Física en 1926 pol so trabayu sobre la estructura discontinua de la materia (Einstein recibiera'l premiu cinco años antes polos sos servicios a la física teórica con especial mención al efeutu fotoeléctricu). La dirección de la fuerza de bombardéu atómicu ta camudando costantemente, y en distintos momentos, la partícula ye cutida más nun llau que n'otru, lo que lleva a la naturaleza aleatoria del movimientu.

El movimientu browniano atopar ente los procesos estocásticos más simples, y ye allegáu a otros dos procesos estocásticos más simples y complexos: el camín aleatoriu y el teorema de Donsker. Esta universalidá ta estrechamente rellacionada cola universalidá de la distribución normal. En dambos casos, de cutiu ye la conveniencia matemática, más qu'exactitú de los modelos, lo que lleva al usu de la distribución normal.

Tanto la espardimientu como la ósmosis basar nel movimientu browniano.

Historia[editar | editar la fonte]

Reproducíu del llibru de Jean Baptiste Perrin, -yos Atomes, trés rastros del movimientu de partícules coloidales de radiu 0.53 µm como se ve nel microscopiu, amuésense. Les posiciones socesives cada 30 segundos xunir por aciu segmentos de llinia recta (el tamañu de la malla ye de 3,2 µm).[2]

El poema científicu Sobre la Naturaleza de les coses, del romanu Lucrecio (60 a. C.), inclúi la notable descripción d'un movimientu browniano de partícules de polvu dende los versos 113 hasta'l 140. L'autor presentó esti fechu como prueba de la esistencia de los átomos:

Repara lo que socede cuando rayaes son almitíos dientro d'un edificiu y cómo refundia la lluz sobre los llugares escuros. Puedes ver l'ensame de pequenes partícules moviéndose nuna tremera de caminos... el so baille ye un niciu de movimientos subxacentes de materia escondíos de la nuesa vista... eso anicia'l movimientu de los átomos en sí mesmos (p.y., bonalmente). Entós los pequenos organismos que son esaniciaos del impulsu de los átomos son puestos en marcha por golpes invisibles y de la mesma en contra d'unos diminutos cañones. Asina, el movimientu de los átomos remanez gradualmente d'un nivel del sentíu, qu'estos cuerpos tán en movimientu como vemos na rayada, movíos por soplíos que paecen invisibles.

Sobre la naturaleza de les coses, Lucrecio

Anque'l movimientu d'amiestu de partícules de polvu ye causáu principalmente poles corrientes d'aire, el rellumu y el traxín de les partícules ye, verdaderamente, productu de la dinámica browniana

Jan Ingenhousz describió'l movimientu irregular de partícules de carbón pulverizaes na superficie del alcohol en 1785. Sicasí, el descubrimientu del movimientu browniano atribúyese tradicionalmente al botánicu Robert Brown en 1827. Créese que Brown tuvo estudiando al microscopiu partícules de polen de la planta Clarkia pulchella llexando na agua. Dientro de les vacuoles de los granos de polen reparó diminutes partícules con movimientos nerviosos. Al repitir l'esperimentu con partícules de polvu, concluyó que'l movimientu nun se debía a que les partícules de polen tuvieren "vives", anque nun esplicó l'orixe del movimientu.

El primeru en describir matemáticamente el movimientu browniano foi Thorvald N. Thiele en 1880, nun documentu sobre'l métodu de los mínimos cuadraos. Foi siguíu independientemente por Louis Bachelier en 1900, na so tesis doctoral La teoría de la especulación, na que se presenta un analís estocástico d'acción y opción de mercaos. El modelu del movimientu browniano de les acciones de mercáu ye citáu frecuentemente, pero Benoit Mandelbrot refugó la so aplicación al movimientu de los precios de les acciones, en parte porque son discontinuos.[3]

Sicasí, foi l'estudiu independiente de Albert Einstein nel so artículu de 1905 (Über die von der molekularischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen / Sobre'l movimientu postuláu pola teoría cinética molecular del calor de pequenes partícules suspendíes nun líquidu estacionario) nel qu'amosó la solución a los físicos, como una forma indirecta de confirmar la esistencia d'átomos y molécules.

Nesa dómina la naturaleza atómica de la materia entá yera una idea revesosa. Einstein y Marian Smoluchowski deducieron que, si la teoría cinética de los fluyíos yera correcta, entós les molécules d'agua tendríen movimientos aleatorios. Poro, les partícules pequenes podríen recibir un númberu aleatoriu d'impactos, de fuerza aleatorio y de direcciones aleatories, en curtios periodos de tiempu. Esti bombardéu aleatoriu poles molécules del fluyíu podría ser abondu por que les partícules pequenes mover de la manera esacta que Brown describiera. Theodor Svedberg fixo importantes demostraciones del movimientu browniano en coloides, según Felix Ehrenhaft facer con partícules de plata na atmósfera terrestre. Jean Perrin tamién realizó esperimentos pa verificar los modelos matemáticos, y al publicar les sos resultancies finales púnxose fin a dos mil años de disputa sobre la realidá de les molécules y los átomos.

Teoría de Einstein[editar | editar la fonte]

Hai dos partes na teoría de Einstein: la primer parte consiste na formulación d'una ecuación d'espardimientu de partícules brownianas, nel que'l coeficiente d'espardimientu ta rellacionada col desplazamientu cuadrático mediu d'una partícula browniana, ente que la segunda parte rellaciona'l coeficiente d'espardimientu de les magnitúes físiques medibles.[4] D'esta manera Einstein foi capaz de determinar el tamañu de los átomos, y el númberu d'átomos qu'hai nun mol, o'l pesu molecular (en gramos), d'un gas.[5] Acordies con la llei de Avogadro, esti volume ye'l mesmu pa tolos gases ideales, que ye 22,414 llitros a temperatura y presión estándar. El númberu d'átomos conteníos nesti volume conozse como númberu de Avogadro, y la determinación d'esti númberu ye equivalente a la conocencia de la masa d'un átomu, cuidao que esta postrera llógrase estremando la masa d'un mol de gas pol númberu de Avogadro.

Les curves característiques en forma de campana del espardimientu de partícules brownianas. La distribución empieza como una función delta de Dirac, lo qu'indica que toles partícules atopar nel orixe con tiempu t = 0, y pol aumentu de los tiempos vuélvense cada vez más y más planos hasta que se convierte na distribución uniforme na llende de tiempu asintótico.

La primer parte del razonamientu de Einstein foi determinar cuántu viaxa una partícula browniana nun intervalu de tiempu dáu. Una partícula browniana sufre del orde de 1014 choques per segundu.[6] Esto llevó a considerar a Einstein el movimientu colectivu de les partícules brownianas.

Consideró la medría na coordenada x de la partícula como una variable aleatoria (x ó , en virtú del tresformamientu de coordenaes que lleva l'orixe a la posición inicial de la partícula), con función de densidá de probabilidá . Amás, suponiendo caltenimientu del númberu de partícules, desenvolvió la densidá (númberu de partícules per unidá de volume) en serie de Taylor:

Na última espresión la primer integral ye 1 pola normalización de la probabilidá y la segunda integral (y toles de la mesma forma nes que tea alzada a un esponente impar) anular pola simetría de . Queda entós

De la comparanza de términos llógrase la siguiente relación:

Puede demostrase que cuando y tienden a 0 el cociente qu'hai na postrera integral tiende a una llende, lo que dexa definir el coeficiente d'espardimientu D :

La densidá de les partícules brownianas satisfai la ecuación d'espardimientu:

Suponiendo que N partícules empiecen dende l'orixe nel tiempu inicial t = 0, la ecuación d'espardimientu tien la solución

que ye una distribución normal de media y varianza . La varianza ye'l desplazamientu cuadrático mediu, . Al tomar el so raigañu cuadráu se oberva que'l desplazamientu d'una partícula browniana nun ye proporcional al tiempu trescurríu, sinón al raigañu cuadráu del tiempu.[7] Al faer esti tipu d'afirmaciones sobre una partícula a partir del comportamientu d'una coleutividá de partícules ta faciéndose un pequenu saltu conceptual que puede xustificase.[8]

La segunda parte de la teoría de Einstein referir a la constante d'espardimientu en cantidaes físicamente medibles, tales como la media al cuadráu de desplazamientu d'una partícula nun intervalu de tiempu dáu. Esta resultancia dexa la determinación esperimental del númberu de Avogadro y polo tanto'l tamañu de les molécules. Einstein analizó un equilibriu dinámicu que s'establez ente fuerces opuestes. La guapura del so argumentu ye que la resultancia final nun depende de que les fuerces tán arreyaes nel establecimientu del equilibriu dinámicu.

Nel so tratamientu orixinal, Einstein consideraba un esperimentu de presión osmótica, pero a la mesma conclusión puede llegase d'otra manera.

Consideremos, por casu, partícules en suspensión nun fluyíu mafosu nun campu gravitatorio. La gravedá tiende a faer que les partícules deposítense, ente que l'espardimientu actúa pa homogeneizarlos, conduciéndolos a rexones de menor concentración. So l'acción de la gravedá, una partícula adquier una velocidá descendente de v = μmg , onde M ye la masa de la partícula, g ye l'aceleración debida a la gravedá y μ ye la movilidá de la partícula nel fluyíu. George Stokes demostrara que la movilidá d'una partícula esférica con radiu R ye , onde η ye la mafa dinámica del fluyíu. Nun estáu d'equilibriu dinámicu, les partícules distribúyense d'alcuerdu a la distribución barométrica

Onde ρ-ρ0 ye la diferencia na densidá de les partícules separaes por un desnivel de h , kB ye la constante de Boltzmann (esto ye, la relación de la constante universal de los gases , R, col númberu de Avogadro, N ), y T ye la temperatura absoluto. Ye'l númberu de Avogadro lo que se va a determinar.

La distribución d'equilibriu pa les partícules de gamboge amuesa l'enclín de los gránulos a que se muevan a les rexones de menor concentración cuando se ven afectaos pola gravedá.

Establezse l'equilibriu dinámicu, porque cuanto más se tiren escontra baxo les partícules pola gravedá, mayor ye l'enclín a que les partícules migren a rexones de menor concentración. El fluxu ta dada poles lleis de Fick,

onde J = ρv. Aplicando la fórmula pa ρ, atopamos que

Nun estáu d'equilibriu dinámicu, esta velocidá tien de ser tamién igual a v = μmg . Nótese que dambes espresiones pa V son proporcionales a mg , reflexando cómo la derivación ye independiente del tipu de fuerces consideraes. Igualando estos dos espresiones derívase esta espresión pa la difusividad:

Equí la primer igualdá esprender de la primer parte de la teoría de Einstein, la tercera la igualdá esprender de la definición de la constante de Boltzmann como kB = R / N , y la cuarta igualdá deducir de la fórmula de Stokes pa la movilidá. Midiendo'l cuadráu mediu del desplazamientu mientres un intervalu de tiempu, xuntu cola constante universal de gas R , la temperatura T , la mafa η, y el radiu de la partícula r , el númberu de Avogadro N puede ser determináu.

El tipu d'equilibriu dinámicu propuestu por Einstein nun yera nuevu. Señalárase primeramente por J. J. Thomson[9] na so serie de conferencies na Universidá de Yale en mayu de 1903 cuando l'equilibriu dinámicu ente la velocidá xenerada por un gradiente de concentración dáu pola llei de Fick y la velocidá por cuenta de la variación de la presión parcial causaos cuando los iones poner en movimientu danos un métodu de determinación de la constante de Avogadro que ye independiente de cualquier hipótesis tocantes a la forma o tamañu de les molécules, o de la forma na qu'actúen unu sobre l'otru.[9]

Una espresión idéntica a la fórmula de Einstein pal coeficiente d'espardimientu tamién foi atopada por Walther Nernst en 1888[10] na qu'espresó'l coeficiente d'espardimientu como la relación de la presión osmótica a la relación de la fuerza de resfregón y la velocidá a la que da llugar. El primeru oldear a la llei de Van't Hoff, ente que'l postreru foi dáu pola llei de Stokes. Él escribe pal coeficiente d'espardimientu , onde ye la presión osmótica y k ye la relación de la fuerza de resfregón cola mafa molecular qu'asume que ta dada pola fórmula de Stokes pa la mafa. Presentando la llei del gas ideal por unidá de volume de la presión osmótica, la fórmula vuélvese idéntica a la de Einstein.[11] L'usu de la llei de Stokes nel casu de Nernst, según en Einstein y Smoluchowski, nun ye puramente aplicable cuidao que nun s'aplica al casu en que'l radiu de la esfera ye menor en comparanza col percorríu llibre mediu.[12]

Nun primer momentu les predicciones de la fórmula de Einstein fueron aparentemente refutadas por una serie d'esperimentos por Svedberg ente 1906 y 1907, lo que provocó'l reemplazu del valor predichu de les partícules de 4 a 6 vegaes, y por Henri en 1908 qu'atopó cambeos 3 vegaes mayor que la fórmula que Einstein predixo.[13] pero les predicciones de Einstein finalmente fueron confirmaes gracies a una serie d'esperimentos llevaos a cabu por Chaudesaigues en 1908 y Perrin en 1909. La confirmación de la teoría de Einstein constituyó un progresu empíricu a la teoría cinética del calor. N'esencia, Einstein demostró que'l movimientu puede predicise directamente dende'l modelu cinéticu d'equilibriu térmicu. La importancia de la teoría anicia nel fechu de que se confirmó'l relatu de la teoría cinética de la segunda llei de la termodinámica, siendo esencialmente una llei estadística.[14]

Metáfora intuitiva del movimientu browniano[editar | editar la fonte]

Modelu del movimientu browniano de la trayectoria d'una partícula de color na agua.

Considere un gran balón de 10 metros de diámetru. Imaxine esti balón nun estadiu de fútbol o cualesquier otra área llena de xente. El balón ye tan grande que permanez percima del ensame. Les persones cuten el balón en distintos momentos y direcciones de manera dafechu aleatoria. Agora, considere una fuerza exercida mientres ciertu tiempu; podemos imaxinar 20 persones emburriando pa la derecha y 21 pa la esquierda y que cada persona ta exerciendo cantidaes de fuerza equivalente. Nesti casu les fuerces exercíes nel llau esquierdu y nel llau derechu nun tán permediaes, favoreciendo al llau esquierdu, polo que'l balón va movese llixeramente escontra la esquierda. Esta desproporción siempres esiste, y ye lo que causa'l movimientu aleatoriu. Si reparáramos la situación dende enriba, de cuenta que nun pudiéramos ver a les persones, veríamos el gran balón como un oxetu animáu por movimientos erráticos.

Agora volvamos a la partícula de polen de Brown nadando aleatoriamente na agua. Una molécula d'agua mide aprosimao de 01 a 0.2 nm, ente que la partícula de polen que Brown reparó yera d'un orde de micrometros (esto nun tien de ser confundíu cola partícula actual de polen la cual mide en redol a 100 micrometros). Con éses la partícula de polen puede ser considerada como un gran balón emburriáu costantemente poles molécules d'agua (l'ensame). El movimientu browniano de les partícules nun líquidu deber al desequilibriu instantáneu nes fuerces exercíes poles pequenu molécules líquides qu'arrodien la partícula (les cualos tán nun movimientu térmicu aleatoriu).

Teoría[editar | editar la fonte]

Modelo de Smoluchowski[editar | editar la fonte]

La teoría del movimientu browniano de Smoluchowski[15] empieza a partir de la mesma premisa que la de Einstein y deriva la mesma distribución de probabilidá ρ(x, t) pal desplazamientu d'una partícula browniana lo llargo de x nun tiempu t. Poro, llogra la mesma espresión pa la media al cuadráu: . Sicasí, cuando la rellaciona con una partícula de masa m que se mueve a una velocidá o, que ye resultáu d'una fuerza de resfregón gobernáu pola llei de Stokes, atopa :

onde μ ye'l coeficiente de mafa, y a ye'l radiu de la partícula. L'asociación de la enerxía cinética cola enerxía térmica RT/N, la espresión pal desplazamientu mediu al cuadráu ye 64/27 vegaes mayor que la dada por Einstein. La fracción 27/64 foi comentada por Arnold Sommerfeld na necroloxía de Smoluchowski: "El coeficiente numbéricu de Einstein, que s'estrema de Smoluchowski por 27/64 namái puede ser puestu en dulda."[16]

Smoluchowski[17] intenta responder a la entruga de por qué una partícula browniana ten de ser movida polos bombardeos de partícules más pequenes cuando les probabilidaes de cutir palantre o escontra tras son iguales. Col fin de faelo, utiliza, ensin sabelo, el teorema de votación, demostráu per primer vegada por William Allen Whitworth en 1878.[18] El teorema de la votación establez que si un candidatu A puntúa m votos y el candidatu B puntúa n-M la probabilidá a lo llargo del recuentu de qu'A tenga más votos que B ye

nun importa qué grande pueda ser el númberu total de votos n. N'otres palabres, si un candidatu tien una ventaya sobre l'otru candidatu, va tender a caltener esa ventaya a pesar de que nun haya nada a favor de nengún candidatu nuna votación.

Si la probabilidá de 'm' 'ganancies' y n - M perdes sigue un distribución binomial,

coles mesmes probabilidaes de 1/2, a priori, la ganancia media total ye

Si n ye lo suficientemente grande por que el aproximamientu de Stirling pueda ser utilizada de la forma :.


entós la ganancia total que se preve va ser

amosando qu'aumenta como'l raigañu cuadráu de la población total.

Supongamos qu'una partícula browniana de masa M ta arrodiada de partícules más llixeres de masa m, que viaxen a una velocidá o. De siguío, razona Smoluchowski, en cualquier choque ente partícules qu'arrodien a les brownianas y estes, la velocidá de tresmisión d'esti postreru va ser mu/M. Esta relación ye del orde de 10−7 cm/s. Pero tamién tenemos que tener en cuenta que nun gas va haber más de 1016 choques per segundu, y entá más nun líquidu, onde s'envaloren 1020 choques per segundu. Dalgunes d'estos choques van tender a acelerar la partícula browniana; otres a desacelerarla. Si hai un escesu mediu d'un tipu de choque o otru que sía del orde de 108 a 1010 choques per segundu, entós la velocidá de la partícula browniana pue tar en cualquier llugar ente 10 y 1000 cm/s. Poro, a pesar de qu'esisten probabilidaes iguales de que se favoreza'l movimientu palantre y escontra tras, va haber un enclín netu nos choques pa caltener la partícula en movimientu browniano, al igual que prediz el teorema de la votación.

Estos ordes de magnitú nun son esactos porque nun tienen en cuenta la velocidá de la partícula browniana, O , que depende de los choques que tienden a acelerar y desacelerar la mesma. Cuanto mayor sía O, mayores van ser los choques que van retardar la partícula, de manera que la velocidá d'una partícula browniana nunca puede aumentar ensin una llende. Podría asoceder un procesu d'esti tipu, que sería equivalente a un movimientu perpetuu del segundu tipu. Y cuidao que la equipartición de la enerxía aplícase, la enerxía cinética de la partícula browniana, , va ser igual, en promediu, a la enerxía cinética del fluyíu qu'arrodia a la partícula, ..

En 1906, Smoluchowski publicó un modelu unidimensional pa describir una partícula sometida al movimientu browniano.[19] El modelu asume choques con M m onde M ye la masa de la partícula de prueba y m la masa d'una de les partícules individuales que componen el fluyíu. Suponse que los choques de partícules llindar a una dimensión y que ye igualmente probable que la partícula pueda ser cutida dende la esquierda como dende la derecha. Suponse tamién que cada choque siempres imparte la mesma magnitú de ΔV . Si NR ye'l númberu de choques pola derecha, y NL pola esquierda, entós dempués de N choques, la velocidá de la partícula camudaría por ΔV(2NRN). La multiplicidá ta dada, entós, por:

y el númberu total d'estaos posibles ta dáu por 2N. Poro, la probabilidá de qu'una partícula sía cutida pola derecha NR vegaes ye

Como resultáu de la so simplicidá, el modelu unidimensional de Smoluchowski puede describir solamente cualitativamente el movimientu browniano. Pa una partícula real sometida al movimientu browniano nun fluyíu, munchos de los supuestos non pueden faese. Por casu, el supuestu de qu'en promediu se produz un númberu igual de choques dende la derecha como dende la esquierda se desmorona una vegada que la partícula ta en movimientu. Amás, habría una distribución de posibles ΔV distintos en llugar de namái unu nuna situación real.

Modeláu con ecuaciones diferenciales[editar | editar la fonte]

Les ecuaciones que rixen el movimientu browniano rellacionen de forma llixeramente distinta a caúna de los dos definiciones de movimientu browniano indicaes de primeres d'esti artículu.

Matemátiques[editar | editar la fonte]

Artículu principal: Procesu de Wiener
Un exemplu animáu del movimientu browniano asociáu al camín aleatoriu nun toru. Na esguilada llende, el camín aleatoriu averar al procesu de Wiener según el teorema de Donkster.

En matemátiques, el movimientu browniano ye descritu pol procesu de Wiener; un procesu estocástico de tiempu continuu nomáu n'honor a Norbert Wiener. Ye unu de los procesos más conocíos de Lévy (procesos estocásticos càdlàg con medríes independientes estacionarios) y asocede con frecuencia en matemátiques pures y aplicaes, la economía y la física.

El procesu de Wiener Wt ta caracterizáu por cuatro fechos:

  1. W0 = 0
  2. Wt ye casi seguro continuu.
  3. Wt tien una medría independiente.
  4. (pa ).

denota la distribución normal col valor esperáu μ y la varianza σ2. Que la condición tenga medríes independientes significa que si entós y son valores independientes aleatorios.

Una caracterización alternativa del procesu de Wiener ye la llamada caracterización de Lévy, qu'indica que ye casi seguro que'l procesu de Wiener tea un una martingala continua con W0 = 0 y variación cuadrática .

Una tercer caracterización ye que'l procesu de Wiener tien una representación espectral como una serie de senos que los sos coeficientes son valores aleatorios independientes. Esta representación puede llograse usando'l teorema de Karhunen-Loève.

El procesu de Wiener puede ser construyíu como la esguilada llende del camín aleatoriu, o d'otros procesos estocásticos en tiempu discretu con medríes independientes estacionarios. Esto conozse como'l teorema de Donsker. Al igual que'l camín aleatoriu, el procesu de Wiener ye recurrente nuna o dos dimensiones (lo que significa que se vuelve casi con seguridá a cualesquier redolada fixu del orixe infinites vegaes) ente que nun ye recurrente na tercer dimensión nin en mayores. A diferencia del camín aleatoriu, ye una esguila invariante.

La evolución temporal de la posición de la partícula browniana en sí puede describise aprosimao pola ecuación de Langevin, una ecuación qu'implica un campu de fuerza aleatorio que representa l'efeutu de les fluctuaciones térmiques del disolvente sobre la partícula browniana. N'escales de tiempu llargues, el movimientu browniano matemáticu ta bien descritu por una ecuación de Langevin. En pequenes escales de tiempu, los efectos de la inercia son frecuentes na ecuación de Langevin. Sicasí, el movimientu browniano matemáticu ta exentu de tales efectos inerciales. Tenga en cuenta que los efectos inerciales tienen que ser consideraos na ecuación de Langevin, de lo contrario la ecuación convertir en singular. De manera que la simple eliminación de la inercia d'esta ecuación nun produciría una descripción esacta, sinón más bien un comportamientu singular nel que la partícula nun se mueve n'absolutu.

La esposición matemática d'esta definición correspuende a la ecuación que gobierna la evolución temporal de la función probabilística de densidá acomuñada cola ecuación d'espardimientu d'una partícula browniana, y en definitiva ye una ecuación diferencial parcial.

Otres maneres de consiguir el so modelu matemáticu consideren un movimientu browniano como un procesu de Gauss central con una función covariante pa toa . La resultancia d'un procesu estocástico atribúyese-y a Norbert Wiener, quedó demostráu na teoría de probabilidá, esistente dende 1923, y conozse col nome de procesu de Wiener. Munchos detalles importantes apaecen nes sos publicaciones.

Hai munches posibilidaes de construyir un movimientu browniano:

  • La construcción astracta per mediu d'esquemes de Kolmogórov, onde'l problema vien col aumentu (o camín creciente).
  • La construcción de Lèvy-Ciesielski: induzse esti movimientu con ayuda d'un sistema de Haar de a una base de Schauder, y constrúyese como un procesu estocástico con curva creciente.
  • Sía , , … independiente, distribuyida hermano y con distribución normal . Depués:


ye un movimientu browniano.

Esti fenómenu ta bien rellacionáu tamién cola simulación de la cotización de les acciones.

Física[editar | editar la fonte]

La ecuación d'espardimientu ufierta un aproximamientu de la evolución temporal de la función de densidá de probabilidá acomuñada a la posición de la partícula que va so un movimientu browniano na definición física. L'aproximamientu ye válida n'escales de tiempu curties.

El desplazamientu d'una partícula sometida a un movimientu browniano llógrase resolviendo la ecuación d'espardimientu en condiciones fayadices y llogrando la media cuadrática de la solución. Esto demuestra que'l desplazamientu varia como'l raigañu cuadráu del tiempu (non linealmente), lo qu'esplica por qué les resultancies esperimentales anteriores relativos a la velocidá de les partícules brownianas dieron resultaos ensin sentíu. Una dependencia llineal envernada ta mal asumida.

Sicasí, a escales de tiempu bien curties, el movimientu d'una partícula ta apoderada pola so inercia, y el so desplazamientu va ser dependiente linealmente en tiempu: Δx = vΔt. Asina que la velocidá instantánea del movimientu browniano puede midise como v = Δx/Δt, cuando Δt << τ, onde τ ye'l tiempu de relaxación. En 2010, la velocidá instantánea d'una partícula browniana (una microesfera de vidriu atrapada nel aire con una pinza óptica) midióse correchamente.[20] Los datos de la velocidá verificaron la distribución de velocidá de Maxwell-Boltzmann, y el teorema de equipartición pa una partícula browniana.

El movimientu browniano pue ser modeláu per un camín aleatoriu.[21] Los caminos aleatorios en medios porosos son anómalos.[22]

En casos xenerales, el movimientu browniano nun ye un procesu aleatoriu de Markov y descríbese poles ecuaciones integrales estocásticas.[23]

Caracterización de Lévy[editar | editar la fonte]

El matemáticu francés Paul Lévy propunxo'l siguiente teorema, onde la condición necesaria y suficiente pa un Rn continuu, evaluáu nun procesu estocástico X pa ser realmente n, dimensiona un movimientu browniano. Polo tanto la condición de Lévy puede utilizase realmente como una definición alternativa de movimientu browniano.

Sía X = (X1, ..., Xn) sía un procesu estocástico continuu nun espaciu probabilístico (Ω, Σ, P) tomando valores en Rn. Tenemos la siguiente equivalencia:

  1. X ye un movimientu browniano con al respective de P, por casu, la llei de X con al respective de P ye la mesma que la d'un movimientu browniano ndimensional; por casu, la midida d'emburrie X(P) ye una midida clásica de Wiener de C0([0, +∞); Rn).
  2. tanto ##

X ye una martingala con al respective de P, y ## pa tou 1 ≤ ij ≤ n, Xi(t)Xj(t) −δijt ye una martingala con al respective de P, onde δij denota una delta de Kronecker.

Variedá de Riemann[editar | editar la fonte]

Movimientu browniano nuna esfera bidimensional

El xenerador infinitesimal (y, poro, el xenerador característicu) d'un movimientu browniano en Rn puede calculase fácilmente en ½Δ, onde Δ denota un operador laplaciano. Esta observación ye útil al definir un movimientu browniano nuna variedá de Riemann mdimensional (Mg): un movimientu browniano M defínese como un espardimientu en M que'l so operador característicu en coordenaes locales xi, 1 ≤ i ≤ m, ta dáu por ½ΔLB, onde ΔLB ye'l operador de Laplace-Beltrami dáu nes coordenaes por ecuación| ||left}} onde [gij] = [gij]−1 nel sentíu d'una matriz cuadrada inversa.

El movimientu gravitacional[editar | editar la fonte]

En dinámica estelar, un cuerpu masivu (estrella, furacu negru, etc.) puede esperimentar el movimientu browniano yá que respuende a les fuerces gravitacionales de les estrelles d'alredor.[24] La velocidá media cuadrática V del oxetu masivu, de masa M, ta rellacionada cola velocidá media cuadrática del fondu d'estrelles por

onde ye la masa del fondu estelar. La fuerza gravitacional del oxetu masivu fai que les estrelles cercanes muévanse más rápidu de como lo fadríen, aumentando tantu como V.[24] La velocidá browniana de Sgr A*, el furacu negru supermasivo del centru de la Vía Láctea, llograr d'esta fórmula, resultando menor a 1 km s−1.[25]

La salida estrecha[editar | editar la fonte]

El problema de la salida estrecha ye un problema omnipresente na bioloxía, biofísica y bioloxía celular que tien la siguiente formulación: una partícula browniana (ion, molécula, o proteína) llindar a un dominiu acutáu (un compartimientu o una célula) por una llende que reflexa, sacante una pequena ventana al traviés de la que puede escapar. El problema d'escape estrechu ye'l de calcular el tiempu mediu d'escape. Esti tiempu diverxe tantu como la ventana contráise, amenorgando asina al cálculu a un problema de perturbaciones singulares.

El movimientu browniano na lliteratura[editar | editar la fonte]

El siguiente fragmentu ye del capítulu 34 de la novela Rayuela, de Julio Cortázar:

Maga, vamos componiendo una figura absurda, dibuxamos colos nuesos movimientos una figura idéntica a la que dibuxen les mosques cuando vuelen nuna pieza, d'equí p'allá, sópito dan media vuelta, d'allá pa equí, eso ye lo que se llama movimientu brownoideo, ¿agora entendés?, un ángulu rectu, una llinia que xube, d'equí p'allá, del fondu al frente, escontra riba, escontra baxo, espasmódicamente, frenando en secu y arrincando nel mesmu intre n'otra dirección, y tou eso va texendo un dibuxu, una figura, daqué inesistente como vos y como yo, como los dos puntos perdíos en París que van d'equí p'allá, d'allá pa equí, faciendo'l so dibuxu, danciando pa naide, nin siquier pa ellos mesmos, una interminable figura ensin sentíu.

Otra novela na qu'apaez el movimientu browniano ye Un viaxe allucinante, de Isaac Asimov, novela na qu'un equipu de científicos son miniaturizados a escala bacteriana y son introducíos na riega sanguínea d'un paciente nun submarín, detallándose los alcuentros con distintos elementos como célules, bacteries o virus, peripecia na que sufren los efectos de dichu movimientu.

Ver tamién[editar | editar la fonte]

Referencies[editar | editar la fonte]

  1. Feynman, Richard (1970). The Feynman Lectures on Physics Vol I. Addison Wesley Longman.
  2. Perrin, 1914, p. 115
  3. Mandelbrot, B. (2004). The (Los mios)behavior of Markets: A Fractal View of Risk, Ruin, and Reward. Basic Books.
  4. Einstein, Albert (1956). «Investigations on the Theory of the Brownian Movement» (PDF). Dover Publications. Consultáu'l 25 d'avientu de 2013.
  5. «The Collected Papers of: Albert Einstein, Volume 2, The Swiss Years: Writings, 1900–1909» (PDF). Princeton University Press (1989). Consultáu'l 25 d'avientu de 2013.
  6. «The Brownian Movement». The Feynman Lectures 1 (1):  pp. 41. 1964. http://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_41.html. 
  7. A. Einstein, Investigations of the Theory of Brownian Movement (Dover, 1956).
  8. Lavenda, Bernard H. (1985). Nonequilibrium Statistical Thermodynamics. John Wiley & Sons Inc..
  9. 9,0 9,1 "Electricity and Matter" (Yale University Press, New Haven, 1904), pp 80–83
  10. «Zur Kinetik der in Lösung befindlichen Körper» (en de). Z. Phys. Chem. 9:  pp. 613–637. 1888. 
  11. Leveugle, J. (2004). La Relativite', Poincaré' et Einstein, Planck, Hilbert Paris: L'Harmattan p. 181.
  12. Townsend, J.Y.S. (1915). Electricity in Gases. Oxford: Clarendon Press. p. 254.
  13. See P. Clark 1976, p. 97
  14. See P. Clark 1976 for this whole paragraph
  15. Smoluchowski, M. (1906). O średniej drodze cząsteczek gazu i o związku jej z teoryą dyfuzyi (Sur -y chemin moyen parcouru par -yos molécules d'un gaz et sur son rapport avec la théorie de la diffusion) Mémoire présenté par M. Lad. Natanson, m. t.. Plantía:Link note
  16. «Zum Andenken an Marian von Smoluchowski [In Memory of Marian von Smoluchowski]» (en de). Physikalische Zeitschrift 18 (22):  pp. 533–539. 15 de payares de 1917.  at p. 535
  17. Smoluchowski, M. (1906). Zarys teoryi kinetycznej ruchu Brownai roztworów mętnych. (Essai d'xune théorie cinétique du mouvement Brownien et deas milieux troubles). Mémoire présenté par M. Lad. Natanson m. t.. Plantía:Link note
  18. Choice and Chance. Hafner Pub. Co.. 1965. 
  19. «Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen». Annalen der Physik 326 (14):  pp. 756–780. 1906. doi:10.1002/andp.19063261405. Bibcode1906AnP...326..756V. 
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  21. Weiss, G. H. (1994). Aspects and applications of the random walk. North Holland.
  22. (2000) Diffusion and reaction in disordered systems. Cambridge University Press.
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  24. 24,0 24,1 Merritt, David (2013). Dynamics and Evolution of Galactic Nuclei. Princeton University Press.
  25. «The Proper Motion of Sagittarius A*. II. The Mass of Sagittarius A*». The Astrophysical Journal 616 (2):  pp. 872–884. December 2004. doi:10.1086/424960. Bibcode2004ApJ...616..872R. 

Bibliografía[editar | editar la fonte]

Enllaces esternos[editar | editar la fonte]

Plantía:Authority control






Movimiento browniano