Fractal

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Na naturaleza tamién apaez la xeometría fractal, como nesti brécol romanesco.

Un fractal ye un oxetu xeométricu que la so estructura básica, estazada o aparentemente irregular, repitir a distintes escales.[1] El términu foi propuestu pol matemáticu Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del llatín fractus, que significa quebráu o quebráu. Munches estructures naturales son de tipu fractal. La propiedá matemática clave d'un oxetu genuinamente fractal ye que la so dimensión métrica fractal ye un númberu non enteru.

Magar el términu "fractal" ye recién, los oxetos güei denominaos fractales yeren bien conocíos en matemátiques dende principios del sieglu XX. Les maneres más comunes de determinar lo que güei denominamos dimensión fractal fueron establecíes a principios del sieglu XX nel senu de la teoría de la midida.

Introducción[editar | editar la fonte]

La definición de fractal desenvuelta nos años 1970 dio unidá a una serie d'exemplos, dalgunos de los cualos remontábense a un sieglu tras. A un oxetu xeométricu fractal atribúyense-y les siguientes carauterístiques:[2]

  • Ye demasiáu irregular pa ser descritu en términos xeométricos tradicionales.
  • Ye autosimilar, la so forma ye fecha de copies más pequeñes de la mesma figura.

Les copies son similares al tou: mesma forma pero distintu tamañu. Exemplos de autosimilaridad

  • Fractales naturales son oxetos naturales que pueden representase con bien bonu aproximamientu por aciu fractales matemáticos con autosimilaridad estadística. Los fractales atopaos na naturaleza estremar de los fractales matemáticos en que los naturales son averaos o estadísticos y el so autosimilaridad estiéndese solo a un rangu d'escales (por casu, a escala cercana a l'atómica la so estructura difier de la estructura macroscópica).
  • Conxuntu de Mandelbrot ye un fractal autosimilar, xeneráu pol conxuntu de puntos estables d'órbita acutada so ciertu tresformamientu iterativu non llineal.
  • Paisaxes fractales, esti tipu de fractales xeneraos computacionalmente pueden producir paisaxes realistes convincentes.
  • Fractales de pintures, utilizar pa realizar el procesu de decalcomanía.

Nun basta con una sola d'estes carauterístiques pa definir un fractal. Por casu, la recta real nun se considera un fractal, pos a pesar de ser un oxetu autosimilar escarez del restu de carauterístiques esixíes.

Un fractal natural ye un elementu de la naturaleza que puede ser descritu por aciu la xeometría fractal. Les nubes, los montes, el sistema circulatoriu, les llinies costeres[3] o los falopos de nieve son fractales naturales. Esta representación ye averada, pos les propiedaes atribuyíes a los oxetos fractales ideales, como'l detalle infinitu, tienen llendes nel mundu natural.

Los exemplos clásicos[editar | editar la fonte]

P'atopar los primeros exemplos de fractales tenemos de remontanos a finales del sieglu XIX: en 1872 apaeció la función de Weierstrass, que'l so grafo anguaño consideraríamos fractal, como exemplu de función continua pero non diferenciable en nengún puntu.

Socesivos pasos de la construcción de la Curva de Koch

Darréu apaecieron exemplos con propiedaes similares pero una definición más xeométrica. Dichos exemplos podíen construyise partiendo d'una figura inicial (grana), a la que s'aplicaben una serie de construcciones xeométriques sencielles. La serie de figures llograes averar a una figura llende que correspondía a lo que güei llamamos conxuntu fractal. Asina, en 1904, Helge von Koch definió una curva con propiedaes similares a la de Weierstrass: el falopu de nieve de Koch. En 1915, Waclaw Sierpinski construyó'l so triángulu y, un añu dempués, el so alfombra.

Construcción de la alfombra de Sierpinski:
Menger 0.PNG Menger 1.PNG Menger 2.PNG Menger 3.PNG Menger 4.PNG
Pasu 1 (grana) Pasu 2 Pasu 3 Pasu 4 Pasu 5

Estos conxuntos amosaben les llimitaciones del analís clásicu, pero yeren vistos como oxetos artificiales, una "galería de bisarmes", como los denominó Poincaré. Pocos matemáticos vieron la necesidá d'estudiar estos oxetos en sí mesmos.[4]

En 1919 surde una ferramienta básico na descripción y midida d'estos conxuntos: la dimensión de Hausdorff-Besicovitch.

Los conxuntos de Julia[editar | editar la fonte]

En negru, imaxe del Conxuntu de Mandelbrot superpuestu colos conxuntos de Julia rellenos representaos por dalgunos de los sos puntos (en colloráu los conxuntos de Julia conexos y n'azul los non conexos).

Estos conxuntos, frutu de los trabayos de Pierre Fatou y Gaston Julia nos años 1920, surden como resultáu de l'aplicación repitida de funciones holomorfas .

Analicemos el casu particular de funciones polinómicas de grau mayor qu'unu. Al aplicar socesives vegaes una función polinómica ye bien posible que'l resultáu tienda a . Al conxuntu de valores de que nun escapen al infinitu por aciu esta operación denominar conxuntu de Julia relleno, y a la so frontera, a cencielles conxuntu de Julia.

Estos conxuntos representar por aciu un algoritmu de tiempu d'escape, en que cada pixel se colorea según el númberu de iteraciones necesaries pa escapar. Suel usase un color especial, de cutiu el negru, pa representar los puntos que nun escaparon tres un númberu grande y prefijado de iteraciones.

Exemplos de conxuntos de Julia pa

Families de fractales: el conxuntu de Mandelbrot[editar | editar la fonte]

La familia de conxuntos de Julia , acomuñaes a la reiteración de funciones de la forma presenta conxuntos d'una variedá sorprendente.

Dicha familia va tener especial relevancia al quedar parametrizada nun mapa de fractales, popularizáu nos años 1980, llamáu conxuntu de Mandelbrot. Esti conxuntu M representa un mapa en que cada pixel, correspondiente a un valor del parámetru , se colorea de cuenta que reflexe una propiedá básica del conxuntu de Julia acomuñáu a . En concretu, si'l conxuntu de Julia acomuñáu a ye conexu.

Iterando funciones de forma alternativa xenérense los fractales trémboles.

El métodu de Mandelbrot: distintos fractales iterando potencies de Z[editar | editar la fonte]

De siguío amuésase una serie de fractales de les distintes potencies de Z = Zm + C , según el métodu de Mandelbrot. Tolos puntos del planu complexu C=(Cx,iCy) son iterados por adición a la función correspondiente. Toles iteraciones parten de los puntos x=0 iy=0. Cuando la iteración converxe se colorea de mariellu pálido. La diverxencia a infinitu ye coloriada por aciu un patrón cromáticu dende'l negru al azul. El fractal deriváu de la función Z = Z² + C denominar conxuntu de Mandelbrot.

Exemplos de fractales del tipu Mandelbrot Z = Zm + C

Exemplos de fractales del tipu Mandelbrot Z = Zm + 1/C

Más fractales según el métodu de Mandelbrot.

El métodu de Julia: distintos fractales iterando potencies de Z[editar | editar la fonte]

De siguío amuésase una serie de fractales de les distintes potencies de Z = Zm + C, según el métodu de Julia, pol matemáticu francés Gaston Julia.

Tolos puntos del planu complexu Z=(x,iy) son iterados na función correspondiente. A toles iteraciones añedir una constante arbitraria (Cx,iCy) de cuenta que la eleición de la constante "grana" determina de forma unívoca la forma y el color del fractal, una vegada foi definíu'l patrón cromáticu. Nos exemplos amosaos de siguío escoyóse una constante tal que solo produz diverxencia, y haise coloriáu col algoritmu de la velocidá d'escape.

Exemplos de fractales del tipu Julia Z = Zm + C


Exemplos de fractales de tipo Julia, de la función esponencial: Z = Zm + C

Exemplos de fractales del tipu Julia de funciones complexes.

El métodu de Newton[editar | editar la fonte]

El métodu de Newton intenta atopar por iteración los raigaños de la función F(Z)-1 = 0.

Se itera la función F(Z) con cada puntu del planu complexu (x + iy), siendo Z=(x1 + iy1) hasta la converxencia de x1 i y1, según la siguiente fórmula: Zn+1 = Zn - F(Zn) / F'(Zn), onde F'(Z) ye la derivada. Haise coloriáu col algoritmu de la velocidá de converxencia, conceptualmente idénticu al de la velocidá d'escape, y presenta semeyances col métodu de Julia.

Exemplos de fractales de tipu Newton, de delles funciones de variable complexa:


Carauterístiques d'un fractal[editar | editar la fonte]

Autosimilitud[editar | editar la fonte]

Según B. Mandelbrot, un oxetu ye autosimilar o autosemejante si los sos partes tienen la mesma forma o estructura qu'el tou, anque pueden presentase a distinta escala y pueden tar llixeramente deformadas.[5]

Los fractales pueden presentar tres tipos de autosimilitud:

  • Autosimilitud esacta. este ye'l tipu más restrictivu de autosimilitud: esixe qu'el fractal paeza idénticu a distintes escales. De cutiu atópase en fractales definíos por sistemes de funciones iteradas (IFS).
Cuasiautosimilitud nel conxuntu de Mandelbrot: al variar la escala llogramos copies del conxuntu con pequeñes diferencies.
  • Cuasiautosimilitud: esixe qu'el fractal paeza aprosimao idénticu a distintes escales. Los fractales d'esti tipu contienen copies menores y aburuyaes de sigo mesmos. Matemáticamente D. Sullivan definió'l conceutu de conxuntu cuasiauto-similar a partir del conceutu de cuasi-isometría. Los fractales definíos por relación de recurrencia son de normal d'esti tipu.
  • Autosimilitud estadística. Ye'l tipu más débil de autosimilitud: esíxese qu'el fractal tenga midíes numbériques o estadístiques que se caltengan col cambéu d'escala. Los fractales aleatorios son exemplos de fractales d'esti tipu.

Dimensión fractal y dimensión de Hausdorff-Besicovitch[editar | editar la fonte]

Ente los fractales podemos atopar exemplos como curves qu'enllenen tol planu. Nesi casu, la dimensión topolóxica de la curva, que ye unu, nun nos informa sobre la forma en qu'esta ocupa l'espaciu ambiente. De manera xeneral, podríamos preguntar cómo densamente un conxuntu ocupa l'espaciu métricu que lu contién. Los númberos que nos informen oxetivamente d'esti tipu de cuestiones son:

  • La dimensión fractal. Les fórmules que la definen tienen que ver col recuentu de les boles necesaries p'anubrir el conxuntu o col de caxes d'una cuadrícula que contienen parte del conxuntu, cuando les dimensiones d'unes y otres tienden a cero. Podemos midir la dimensión fractal d'oxetos reales: llinies de la mariña (1.2), nubes, árboles, etc, Con estes midíes podemos comparar oxetos del mundu real con fractales xeneraos por algoritmos matemáticos.
  • La dimensión de Hausdorff-Besicovitch. Tien una definición más complexa que la de dimensión fractal. La so definición nun suel usase pa comparar conxuntos del mundu real.
Autosimilitud estadística d'un fractal xeneráu pol procesu de agregamientu llindáu por espardimientu.

Definición por algoritmos recursivos[editar | editar la fonte]

Podemos destacar trés técniques comunes pa xenerar fractales:

Aspeutos matemáticos[editar | editar la fonte]

Intentos de definición rigorosa[editar | editar la fonte]

El conceutu de fractal nun dispon nel añu 2008 d'una definición matemática precisa y d'aceptación xeneral. Intentos parciales de dar una definición fueron realizaos por:

  • B. Mandelbrot, qu'en 1982 definió fractal como un conxuntu que la so dimensión de Hausdorff-Besicovitch ye puramente mayor que la so dimensión topolóxica. Él mesmu reconoció que la so definición nun yera lo suficientemente xeneral.
  • D. Sullivan, que definió matemáticamente una de les categoríes de fractales cola so definición de conxuntu cuasiautosimilar que faía usu del conceutu de cuasi-isometría.

Dimensión fractal[editar | editar la fonte]

Artículu principal: Dimensión fractal

Puede definise en términos del mínimu númberu de boles de radiu necesaries p'anubrir el conxuntu, como la llende:

O en función del recuentu del númberu de caxes d'una cuadrícula d'anchor que intersecan al conxuntu:

Demuéstrase que dambes definiciones son equivalentes, y que son invariantes so isometrías.[6]

Dimensión de Hausdorff-Besicovitch[editar | editar la fonte]

D'una definición más complexa, la dimensión de Hausdorff-Besicovitch apúrrenos un númberu , tamién invariante so isometrías, que la so relación cola dimensión fractal ye la siguiente:

Esto dexa estremar en dellos casos ente conxuntos cola mesma dimensión fractal.

Dimensión de fractales producíos por un IFS[editar | editar la fonte]

Un sistema iterativu de funciones (IFS) ye un conxuntu de funciones contractivas definíes sobre un subconxuntu de . Cuando nun hai solapamiento ente les imáxenes de cada función, demuéstrase que y que dambes pueden calculase como solución de la ecuación:


onde ci designa'l factor de contraición de cada aplicación contractiva del IFS.

Aplicaciones[editar | editar la fonte]

Utilizáronse técniques de fractales na compresión de datos y en diverses disciplines científiques.

Compresión d'imáxenes[editar | editar la fonte]

Fractal fern explained.png

Estruyir la imaxe d'un oxetu autosemejante como'l felechu de la figura nun ye difícil: faciendo usu del teorema del colax, tenemos d'atopar un IFS, conxuntu de tresformamientos que lleva la figura completa (en negru) en caúna de los sos partes autosemejantes (colloráu, azul celeste y azul marino). La información sobre la imaxe va quedar codificada nel IFS, y l'aplicación repitida de diches tresformamientos dexa llograr la imaxe procesada en cuestión.

Pero l'enfoque anterior plantega problemes con munches imáxenes reales: nun esperamos, por casu, que la imaxe d'un gatu presente pequeños gatinos aburuyaos sobre sí mesmu. P'arreglalo, en 1989 Arnaud Jacquin creó l'esquema de sistemes de funciones iteradas particionadas: nél subdivídese la imaxe por aciu una partición y pa cada rexón resultante búscase otra rexón similar a la primera so los tresformamientos apropiaos.[7]

L'esquema resultante ye un sistema de compresión con perdes, de tiempu asimétricu. Lamentablemente entá se tarda enforma n'atopar los tresformamientos que definen la imaxe. Sicasí, una vegada atopaes, la descodificación ye bien rápida. La compresión, anque dependa de munchos factores, sueli ser equiparable a la compresión JPEG, colo cual el factor tiempu resulta determinante pa decantase por unu o otru sistema.

Modeláu de formes naturales[editar | editar la fonte]

Fracción d'un fractal Mandelbrot.

Les formes fractales, les formes na que les partes asemeyar al tou, tán presentes na materia biolóxico, xuntu coles simetríes (les formes básiques que solo precisen la metá d'información xenética) y les espirales (les formes de crecedera y desenvolvimientu de la forma básica escontra la ocupación d'un mayor espaciu), como les formes más sofisticaes nel desenvolvimientu evolutivu de la materia biolóxico en cuantes que se presenten en procesos nos que se producen saltos cualitativos nes formes biolóxiques, ye dicir faen posible catástrofes (fechos estraordinarios) que dan llugar a nueves realidaes más complexes, como les fueyes que presenten una morfoloxía similar a la pequeña caña de la que formen parte que, de la mesma, presenten una forma similar a la caña, que de la mesma ye similar a la forma del árbol, y sicasí cualitativamente nun ye lo mesmo una fueya (forma biolóxica simple), qu'una caña o un árbol (forma biolóxica complexa).

Sistemes dinámicos[editar | editar la fonte]

Un atractor estrañu: el atractor de Lorenz.

Pero amás les formes fractales non solo preséntense nes formes espaciales de los oxetos sinón que se reparen na mesma dinámica evolutiva de los sistemes complexos (ver teoría del caos). Dinámica que consta de ciclos (nos que partiendo d'una realidá establecida simple acaben na creación d'una nueva realidá más complexa) que de la mesma formen parte de ciclos más complexos los cualos formen parte del desenvolvimientu de la dinámica d'otru gran ciclu. Les evoluciones dinámiques de toos estos ciclos presenten les semeyances propies de los sistemes caóticos.

En manifestaciones artístiques[editar | editar la fonte]

Imaxe xenerada col programa Apophysis.

La música puede contener formes fractales. Delles obres clásiques de Beethoven, Bach y Mozart son exemplos representativos según reveló un estudiu.[ensin referencies] El métodu que siguieron esti compositores, yá sía de manera intencional o non, pa integrar fractales y matemátiques yera por aciu una analoxía ente una dimensión fractal y el númberu y la disposición de les distintes notes d'una obra o pieza.[ensin referencies]

Úsense tantu na composición harmónico y rítmico d'una melodía como na síntesis de soníos. Esto debe al usu de lo qu'en composición se llamen "micromodos", o pequeños grupos de trés notes, a partir de los cualos unu puede trabayalos de manera horizontal (melódica), o vertical (harmónica). De la mesma, el ritmu puede ser trabayáu en socesiones temporales específiques, que son determinaes por socesión de fractales.

Per otra parte, les litografíes del artista holandés Maurits Cornelis Escher (1898-1972) desenvolvieron con frecuencia estructures matemátiques complexes y avanzaes.

Con programes informáticos como Apophysis, Sterling o Ultra Fractal pueden faese imáxenes con técniques diverses; camudando parámetros, xeometría de triángulos o con tresformamientos aleatorios.

Ver tamién[editar | editar la fonte]

Referencies[editar | editar la fonte]

  1. Benoît Mandelbrot, La Xeometría Fractal de la Naturaleza, Tusquets, ISBN 84-8310-549-7
  2. Falconer, Kenneth. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. John Wiley & Sons, Ltd., XXV. ISBN 0-470-84862-6.
  3. ¿Cuántu mide la mariña de Gran Bretaña?
  4. Stewart, Ian. D'equí al infinitu. Crítica, Grijalbo Mondadori, S.A., 1998. ISBN 84-7423-853-6.
  5. B. Mandelbrot. Los oxetos fractales. Forma, azar y dimensión. Tusquets Editores, S.A., 1993. ISBN 978-84-7223-458-1
  6. Barnsley, M. Fractals everywhere.Academic Press Inc, 1988. ISBN 0-12-079062-9. (Cap 5)
  7. Jacquin, A.Y.;Image coding based on a fractal theory of iterated contractive image transformations. Image Processing, IEEE Transactions on Volume 1, Issue 1, Jan. 1992 Page(s):18 - 30

Enllaces esternos[editar | editar la fonte]

Arte fractal
Tutoriales
Llibros con llicencia CC
Software
Videos


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