Logaritmu

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Plantía:Ficha de función

En analís matemáticu, usualmente, el llogaritmu d'un númberu real positivu —nuna base de llogaritmu determinada— ye'l esponente al cual hai qu'alzar la base pa llograr dichu númberu. Por casu, el llogaritmu de 1000 en base 10 ye 3, porque 1000 ye igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 103 = 10×10×10.

De la mesma manera que la operación opuesta de la suma ye la resta y la de la multiplicación la división, el cálculu de llogaritmos ye la operación inversa a la exponenciación de la base del llogaritmu.

Pa representar la operación de llogaritmu nuna determinada base escríbese l'abreviatura log y como subíndice la base y dempués el númberu resultante del que deseyamos topar el llogaritmu. Por casu, 35=243 depués log3243=5. Cuando se sobrentiende la base, puede omitise.

Los llogaritmos fueron introducíos por John Napier a principios del sieglu XVII como un mediu de simplificación de los cálculos. Estos fueron prontamente adoptaos por científicos, inxenieros, banqueros y otros pa realizar operaciones fácil y rápido, usando regles de cálculu y tables de llogaritmos. Estos dispositivos basar nel fechu más importante — por identidaes logarítmiques — que'l llogaritmu d'un productu ye la suma de los llogaritmos de los factores:

La noción actual de los llogaritmos vien de Leonhard Euler, quien conectó estos cola función esponencial nel sieglu XVIII.

Definiciones[editar | editar la fonte]

Si los númberos a y b son positivos, b la base distinta a 1 y a 0. va dicise que'l llogaritmu d'a na base b ye h si cumplir que

, y se denota

  • Llogaritmu puede ser definíu de diverses maneres: como esponente, cuando se conocen la base d'una potencia y el valor d'esta; tal el casu si :, como resuelve la ecuación, dizse que -4 ye'l llogaritmu de 1/16 en base 2. O bien
.[1].

Esíxese que la base de llogaritmos seya un númberu positivu distintu de 1. Usualmente consideróse como base, 10: aniciando los llogaritmos decimales o vulgares. O bien la base, el númberu y: xenerando los llogaritmos naturales o neperianos.

  • Como una función real de variable real. Concretamente, considerando que la función esponencial ye una función creciente y continuo de dominiu ℝ y codominio ℝ+, pos tien función inversa de dominiu ℝ+, y codominio ℝ, que tamién ye creciente y continua pa base mayor que 1.[2]
  • Por integral definida


que se llee llogaritmu natural d'a, nesti casu la base de los llogaritmos ye'l númberu irracional trascendente y que ye la llende de

cuando n tiende a infinitu.[3]

Dáu un númberu real (argumentu x), la función llogaritmu asígna-y l'esponente n (o potencia) a la qu'un númberu fixu b (base) haber d'alzar pa llograr dichu argumentu. Ye la función inversa de b a la potencia n. Esta función escríbese como: n = logb x, lo que dexa llograr n.[4]


(esto lléese como: llogaritmu en base b de x ye igual a n; si y namái si b eleváu a la n da por resultancia a x)

Por que la definición seya válida, non toles bases y númberos son posibles. La base b tien que ser positiva y distinta de 1, depués b> 0 y b ≠ 1, x tien que ser un númberu positivu x > 0 y n puede ser cualquier númberu real (nR).[5]

Asina, na espresión 102 = 100, el llogaritmu de 100 en base 10 ye 2, y escríbese como log10 100 = 2.

Propiedaes xenerales[editar | editar la fonte]

Los llogaritmos, independientemente de la base escoyida, cumplen una serie de propiedaes comunes que los caractericen. Asina, llogaritmu de la so base ye siempres 1; logb b = 1 yá que b1 = b. El llogaritmu de 1 ye cero (independientemente de la base); logb 1=0 yá que b0 = 1.

Si'l númberu real a atópase dientro del intervalu 0 <  a < 1 entós logb a da un valor negativu o se diz que ye un llogaritmu negativu. Rescampla, yá que si llogaritmu de 1 ye cero, entós valores reales menores qu'unu van ser negativos por ser la función logarítmica puramente creciente y que'l so imaxe d'una función percorríu ye (-∞, +∞). Tamién usando la identidá logarítmica logb(x/y)=logb x - logb y; cuidao que a pertenez al intervalu 0 <  a < 1, el so inversu a-1 va ser mayor qu'unu, colo que logb(a)=logb(1/a-1) = logb 1 - logb(a-1)= -logb(a-1).

Los númberos negativos nun tienen llogaritmu nel cuerpu de los reales R, yá que sía'l que quier l'esponente n, va tenese siempres que bn va ser mayor que cero, bn > 0; arriendes d'ello, nun hai nengún valor real de n que pueda satisfaer bn = x cuando x seya menor que 0. Sicasí, esta torga puede salvase, ampliando'l dominiu de definición al cuerpu de los númberos complexos C, pudiendo calcular llogaritmos de númberos negativos usando'l llogaritmu complexu o recurriendo a la fórmula de Euler.

Les potencies consecutives d'una base formen una progresión xeométrica y la de los esponentes una progresión aritmética. Por casu, les potencies de 2 son 1,2,4,8,16,32,64,..., etc. y los sos esponentes van ser 0, 1, 2, 3, 4,..., etc. yá que 20 = 1, 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, y 24 = 16, etc. depués log2 1 = 0, log2 2 = 1, log2 4 = 2, log2 8 = 3 y log2 16 = 4, etc.

Propiedaes alxebraiques[editar | editar la fonte]

Artículu principal: Identidaes logarítmiques

Nesta parte destácase la capacidá operativa del usu de llogaritmos nel sentíu d'operaciones coligadas; por aciu llogaritmos, una operación convertir n'otra operación de menor nivel. Por casu, un productu de n factores amenorgar a una adición de n sumandos.Etc.

Verdaderamente, les siguientes proposiciones funcionen como identidaes pa los valores del so dominiu de definición. Sicasí, l'ésitu de la invención y usu de los llogaritmos, xustamente, anició en poder convertir productos en sumes; cocientes en restes; potencia en productu y raigañu de grau n nun cociente. Esti fechu dexa dicir que, nel so momentu, l'usu de llogaritmos produció un cambéu revolucionariu nos cálculos, emplegaos na astronomía, saléu y matemática financiera aplicada a la banca y los negocios colaterales. [6] Los llogaritmos caltienen ciertes identidaes aritmétiques bien útiles a la de realizar cálculos:

  • El llogaritmu d'un productu ye igual a la suma de los llogaritmos de los factores.
  • El llogaritmu d'un inversu multiplicativu ye l'inversu aditivu del llogaritmu:
  • El llogaritmu d'un cociente ye igual al llogaritmu del numberador menos el llogaritmu del denominador.
  • El llogaritmu d'una potencia ye igual al productu ente l'esponente y el llogaritmu de la base de la potencia.
  • El llogaritmu d'un raigañu ye igual al productu ente la inversa del índiz y el llogaritmu del aniciando.

En realidá la cuarta y quinta identidá son equivalentes, ensin más que faer:

Selección y cambéu de base[editar | editar la fonte]

Ente los llogaritmos más utilizaos atópase'l llogaritmu natural, que la so base ye y, base 10 (llogaritmu común), base 2 (llogaritmu binariu), o en base indefinida (llogaritmu indefiníu). La elección d'un determináu númberu como base de los llogaritmos nun ye crucial, yá que toos son proporcionales ente sigo. Ye útil la siguiente fórmula que define al llogaritmu de x en base b (suponiendo que b, x, y k son númberos reales positivos y que tanto b como k son distintos de 1):

na que k ye cualquier base válida. Si faemos k=x, vamos llograr:

Base potencia[editar | editar la fonte]

si

[7]

Por aciu desigualdaes[editar | editar la fonte]

Plantía:Teorema
Plantía:Teorema


Plantía:Teorema

Plantía:Teorema [8]

  • Si a > 1 cumplir que log b + logb10 ≥ 2. Sicasí si 0<b<1, cabo la desigualdá log b + logb10 ≤ -2. [9]

Empleos[editar | editar la fonte]

El llogaritmu más llargamente utilizáu ye'l natural, yá que tien ensame d'aplicaciones en física, matemátiques, inxeniería y en ciencies polo xeneral. Tamién ye bastante utilizáu'l llogaritmu decimal, que s'indica como , en ciencies que faen usu de les matemátiques, como la química na midida de l'acidez (denominada pH) y en física en magnitúes como la midida de la lluminosidá (candela), de intensidá de soníu (dB), de la enerxía d'un terremotu (escala sismolóxica de Richter), etc. N'informática usa'l llogaritmu en base 2 la mayoría de vegaes.

Propiedaes analítiques[editar | editar la fonte]

Un estudiu más fondu de los llogaritmos rique'l conceutu de función. Un exemplu ye la función que produz la x-ésima potencia de b pa cualquier númberu real x, onde la base (o raigañu) b ye un númberu fixu. Esta función escríbese como


Función logarítmica[editar | editar la fonte]

Pa garantizar la definición de llogaritmos, ye necesariu demostrar que pa la ecuación esponencial


esiste una única solución x , asumiendo que y que b nun ye solución de la ecuación . Una demostración d'esti fechu rique del teorema del valor entemediu del cálculu elemental.[10] Esti teorema establez qu'una función continua que produz dos valores m y n tamién produz cualquier valor que s'atope ente m y n. Una función ye continua si esta nun salta», esto ye, si'l so gráficu puede ser escritu ensin llevantar el lápiz del papel.

Esta propiedá puede demostrase que se cumple pa la función Plantía:Nowrap beginf(x) = bxPlantía:Nowrap end. Cuidao que f toma arbitrariamente valores grandes positivos y valores pequeños positivos, cualquier númberu y > 0 que s'atopa ente f(x0) y f(x1) pa un fayadizu x0 y x1. Poro, el teorema del valor entemediu asegura que la ecuación f(x) = y tien una solución. Entá más, hai namái una solución pa esta ecuación, cuidao que la función f ye puramente creciente (pa b > 1), o puramente decreciente (pa 0 < b < 1).[11]

La única solución x ye'l llogaritmu de y na base b, logb(y). La función qu'asigna a cada y el so llogaritmu llámase función logaritmo o función logarítmica (o llogaritmu a seques).

Función inversa[editar | editar la fonte]

The graphs of two functions.
Gráficu de la función logarítmica logb(x) (azul) llograr por aciu reflexón del gráficu de la función bx (colorada) sobre la llinia diagonal (Plantía:Nowrap beginx = yPlantía:Nowrap end).

La fórmula pal llogaritmu d'una potencia diz en particular que pa cualquier númberu x, : En llinguaxe llanu, tomando la x-ésima potencia de b y depués el base-b llogaritmu vuelve llograse x. De manera contraria, dáu un númberu positivu y, la fórmula : diz que tomando primero'l llogaritmu y dempués exponenciando vuelve llograse y. Asina, los dos maneres posibles de combinar (o componer) llogaritmos y esponenciales vuelve dar el númberu orixinal. Poro, el llogaritmu en base b ye la función inversa de f(x) = bx.[12]

Les funciones inverses tán íntimamente rellacionaes coles funciones orixinales. Los sos Gráfica d'una función gráficos correspuéndense l'unu col otru por aciu l'intercambiu de les coordenaes x y y (o por reflexón sobre la llinia diagonal x = y), como s'amuesa na figura de la derecha: un puntu (t, o = bt) sobre'l gráficu de f apurre un puntu (o, t = logbo) sobre'l gráficu del llogaritmu y viceversa.

Crecedera o decrecimiento de la función[editar | editar la fonte]

De resultes, logb(x) tiende a + infinitu (faise más grande que cualquier númberu dáu) si x avera a + infinitu, siempres que b seya mayor que 1. Nesi casu, logb(x) ye un función creciente. Pa b < 1, logb(x) tiende a menos infinitu en llugar d'a infinitu. Cuando x averar a cero, logb(x) tiende a menos infinitu pa b > 1 (a más infinitu cuando b < 1, respectivamente). Sía que non, y pa tou valor apropiáu de la base b, la gráfica de la función logarítmica curtia a la exa de les ascises nel puntu (1,0).

Derivada ya integral indefinida[editar | editar la fonte]

A graph of the logarithm function and a line touching it in one point.
El gráficu del llogaritmu natural (verde) y la so tanxente en x = 1.5 (negru)

Les propiedaes analítiques de les funciones pasen a les sos inverses.[10] Asina, como Plantía:Nowrap beginf(x) = bxPlantía:Nowrap end ye una función continua y diferenciable, tamién lo será logb(y). Toscamente falando, una función continua ye diferenciable si'l so gráficu nun tien «trazos apuntiaos». Entá más, como la derivada de f(x) evaluada en ln(b)bx poles propiedaes de la función esponencial, la riegla de la cadena implica que la derivada de logb(x) ye dada por[11][13]


Esto ye, la pindia de la tanxente que toca'l gráficu del llogaritmu en base-b nel puntu (x, logb(x)) ye igual a 1/(x ln(b)). En particular, la derivada de ln(x) ye 1/x, lo qu'implica que la integral indefinida de 1/x ye ln(x) + C.La derivada con un argumentu funcional xeneralizáu f(x) ye


El cociente del miembru derechu ye denomináu derivada logarítmica de f. Calcular f'(x) per mediu de la derivada de ln(f(x)) conozse como diferenciación logarítmica.[14] La integral indefinida del llogaritmu natural ln(x) ye:[15]


Fórmules rellacionaes, tales como integrales indefiníes de llogaritmos n'otres bases pueden ser llograes d'esta ecuación usando'l cambéu de bases.[16]

Representación integral del llogaritmu natural[editar | editar la fonte]

A hyperbola with part of the area underneath shaded in grey.
El llogaritmu natural de t ye la área avisiega sol gráficu de la función f(x) = 1/x (inversa de x).
Artículu principal: Llogaritmu natural

El llogaritmu natural de t concuerda cola integral de 1/x dx dende 1 a t:

N'otres palabres, ln(t) ye igual a la área ente la exa x y el gráficu de la función 1/x, percorríu dende Plantía:Nowrap beginx = 1Plantía:Nowrap end a Plantía:Nowrap beginx = tPlantía:Nowrap end (figura a la derecha). Esto ye una consecuencia del teorema fundamental del cálculu y del fechu de que la derivada de ln(x) seya 1/x. El miembru de la derecha d'esta ecuación puede sirvir con una definición pal llogaritmu natural. Les fórmules del productu y potencies de llogaritmu pueden ser llograes d'esta definición.[17] Por casu, la fórmula del productu Plantía:Nowrap beginln(el to) = ln(t) + ln(o)Plantía:Nowrap end deduzse como:

La igualdá (1) descompon la integral en dos partes, ente que la igualdá (2) ye un cambéu de variable (Plantía:Nowrap beginw = x/tPlantía:Nowrap end). Na ilustración de baxo, la descomposición correspuende a estremar la área nes partes azul y mariella. Reescalando la área azul de la esquierda verticalmente por aciu el factor t y contrayendo esta pol mesmu factor horizontalmente nun se camuda'l so tamañu. Moviéndola apropiadamente, la área de la gráfica afacer a la función Plantía:Nowrap beginf(x) = 1/xPlantía:Nowrap end de nuevu. Poro, la área azul del términu esquierdu, que ye la integral de f(x) dende t a el to ye la mesma que la de la integral dende 1 a o. Esto xustifica la igualdá (2) con otra demostración xeométrica más.

The hyperbola depicted twice. The area underneath is split into different parts.
Una demostración visual de la fórmula del productu del llogaritmu natural.

La fórmula de la potencia Plantía:Nowrap beginln(tr) = r ln(t)Plantía:Nowrap end puede ser llograda de manera similar:

La segunda igualdá usa los cambeos de variable (integración per sustitución), Plantía:Nowrap beginw := x1/rPlantía:Nowrap end.

La suma sobre los inversos de los númberos naturales, : ye llamada serie harmónica. Ta estrechamente venceyada al llogaritmu natural: cuando n tiende a infinitu, la diferencia, : converxi (i.y., avérase arbitrariamente cerca) a un númberu conocíu como constante de Euler-Mascheroni. Esta relación ayuda a analizar el rendimientu d'algoritmos, como quicksort.[18]

Trescendencia del llogaritmu[editar | editar la fonte]

El llogaritmu ye un exemplu de función trascendente y dende un puntu de vista teóricu, el teorema de Gelfond-Schneider afirma que los llogaritmos suelen tomar valores «difíciles» . La declaración formal basar na noción de númberos alxebraicos, qu'inclúi a tolos númberos racionales, pero tamién númberos tales como el raigañu cuadráu de 2 o : Númberos complexos que nun son alxebraicos son llamaos trescendentes;[19] por casu, π y y son dos d'esos númberos. Casi tolos númberos complexos son trascendentes. Usando estes nociones, el teorema de Gelfond–Scheider declara que daos dos númberos alxebraicos a y b, logb(a) ye, o un númberu trascendente, o un númberu racional p / q (y nesi casu aq = bp, de manera que, de mano, a y b taben estrechamente rellacionaos).[20]

Cálculu[editar | editar la fonte]

Los llogaritmos son fáciles de calcular en dellos casos, tales como Plantía:Nowrap beginlog10(1,000) = 3Plantía:Nowrap end. Polo xeneral, los llogaritmos pueden ser calculaos usando series de potencies o la media aritméticu-xeométrica, o ser llograos d'una tabla de llogaritmos precalculada qu'apurre una precisión fita.[21][22] El métodu de Newton, un métodu iterativu pa resolver ecuaciones aprosimao, pue ser usáu tamién pa calcular el llogaritmu, porque la so función inversa, la función esponencial, pue ser calculada eficientemente.[23] Usando tables de referencies, métodos como CORDIC pueden ser usaos pa calcular logaritmo si la úniques operaciones disponibles son la adición y el desplazamientu de bits.[24][25] Entá más, el algoritmu del llogaritmu binariu calcula lb(x) recursivamente basáu na repetición cuadrática de x, aprovechando la relación

Serie de potencies[editar | editar la fonte]

Serie de Taylor
An animation showing increasingly good approximations of the logarithm graph.
Serie de Taylor de  ln(z) at z = 1. L'animación amuesa les primeres  10 aproximamientos xuntu colos aproximamientos 99 y 100.

Pa cualquier númberu real z que satisfaiga 0 < z < 2, la siguiente serie de potencies cumplir:[nb 1][26]

Esta ye una manera rápida de dicir que ln(z) pue ser averáu a un valor más y más precisu por aciu les siguientes espresiones:

Por casu, con z = 1.5 el tercer aproximamientu llogra 0.4167, que ye alredor de 0.011 mayor que ln(1.5) = 0.405465. Esta serie avera ln(z) con precisión arbitraria, siempres que'l númberu de sumandos seya lo suficientemente grande. En cálculu elemental, ln(z) ye por tanto, el llende de la serie. Esta ye la serie de Taylor del llogaritmu natural en Plantía:Nowrap beginz = 1Plantía:Nowrap end. La serie de Taylor de ln z apurre un particular aproximamientu útil de ln(1+z) cuando z ye pequeñu, |z| << 1, cuidao que

Por casu, con z = 0.1 el primer orde d'aproximamientu da ln(1.1) ≈ 0.1, que ye menor del 5% del valor correctu 0.0953.


Series más eficientes

Otra serie ta basada na función argumentu de tanxente hiperbólica:

pa cualquier númberu real z > 0.[nb 2][26] Usando la notación sumatorio esta tamién puede ser escrita como : Esta serie puede llograse de la serie de Taylor anterior. Converxe más rápidu que la serie de Taylor, especialmente si z ye cercanu a 1. Por casu, pa Plantía:Nowrap beginz = 1.5Plantía:Nowrap end, los trés primeros términos de la segunda serie averen ln(1.5) con un erru de la redolada de 3×10−6. La rápida converxencia pa z cercanu a 1 pue ser tomada como una ventaya de la siguiente manera.: da un aproximamientu de baxa exactitú y ≈ ln(z) y calculando

el llogaritmu de z ye:

Cuando meyor ye l'aproximamientu inicial y, más cerca ta A de 1, asina que'l so llogaritmu puede ser calculáu eficientemente. A puede ser calculáu usando la serie esponencial, que converxe rápido siempres que y nun seya demasiáu grande. Calculando'l llogaritmu d'un z mayor, pue ser amenorgáu a valores más pequeños que z por aciu la escritura z = a · 10b, asina que ln(z) = ln(a) + b · ln(10).

Un métodu íntimamente rellacionáu pue ser utilizáu pa calcular el llogaritmu d'enteros. De la serie anterior, deduzse que:

Si'l llogaritmu d'un enteru grande n ye conocíu, entós esta serie llogra una rápida serie converxente pa log(n+1).

Aproximamientu por aciu media aritméticu-xeométrica[editar | editar la fonte]

La media aritméticu-xeométrica da aproximamientos con gran precisión del llogaritmu natural. ln(x) ye averáu con una precisión de 2p (o p bits precisos) por aciu la siguiente fórmula (dada por Carl Friedrich Gauss):[27][28]

Equí M denota la media aritméticu-xeométrica. Puede llograse por aciu el cálculu repitíu de la media (media aritmética) y del raigañu cuadráu del productu de dos númberos (media xeométrica). Entá más, m ye escoyíu tal que

Dambes, media aritméticu-xeométrica y les constantes π y ln(2) pueden ser calculaes por aciu series converxentes bien rápides.

Estensiones[editar | editar la fonte]

Ye posible estender el conceutu de llogaritmu más allá de los reales positivos.

Númberos reales[editar | editar la fonte]

Para enteros b y x, el númberu ye irracional (nun puede representase como'l cociente de dos enteros) si b o x tienen un factor primu que l'otru nun tien.

El llogaritmu natural d'un númberu real positivu ta bien definíu y ye un númberu real. Sicasí, xeneralizar el llogaritmu natural a númberos reales negativos solo puede faese introduciendo númberos complexos.

Sicasí, al igual qu'asocede'l llogaritmu de númberos complexos la elección de llogaritmu d'un númberu negativu nun ye única, anque la elección fecha ye la más frecuentemente usada pa estender el llogaritmu a númberos reales negativos.

Númberos complexos[editar | editar la fonte]

Artículu principal: Llogaritmu complexu
Principal caña del llogaritmu complexu, Log(z).

El llogaritmu natural d'un númberu complexu z ye otru númberu complexu b = ln(z) que seya solución de la ecuación:

(*)

La ecuación anterior nun tien solución única. Ello ye que tien un númberu infinitu de soluciones, anque toes elles son fáciles d'atopar. Dáu un númberu complexu z escritu en forma polar, una solución posible de la ecuación Plantía:Eqnref ye b0:

Puede comprobase qu'esta nun ye la única solución, sinón que pa cualquier valor resulta que'l númberu complexu bk, definíu de siguío, tamién ye solución:

De fechu cada valor particular de k define una superficie de Riemann.

Llogaritmu en base imaxinaria[editar | editar la fonte]

Artículu principal: Llogaritmu en base imaxinaria

Un llogaritmu en base imaxinaria ye un llogaritmu que tien como base i (la unidá imaxinaria). Esti tipu de llogaritmos puede resolvese fácilmente cola fórmula:


Ónde z ye cualesquier númberu complexu sacante 0. Sicasí, hai de solliñar que la fórmula anterior solo ye una de les posibles soluciones yá que la ecuación:


almite non solo la solución dada enantes sinón que cualesquier x de la forma:


tamién ye solución.

Matrices[editar | editar la fonte]

Artículu principal: Llogaritmu d'una matriz

Una matriz B ye llogaritmu d'una matriz dada A si la exponenciación de B ye A:


A diferencia de la exponenciación de matrices, el llogaritmu d'una matriz real puede nun tar definíu siempres. Nel casu d'una matriz diagonalizable ye necesariu que llogaritmu tea definíu pa toos y cada unu de los autovalores o valores propios de la matriz. Nesi casu'l llogaritmu de la matriz ta definíu y ye llogaritmu d'una matriz con autovalores positivos ye otra matriz real. Si'l 0 ye un autovalor de la matriz, entós el so llogaritmu nun ta definíu.

Si'l llogaritmu ta definíu sobre'l espectru o conxuntu de autovalores y estos inclúin dalgún númberu negativu, aun así ye posible definir una matriz llogaritmu (en forma similar a como se definen los llogaritmos de númberos negativos o complexos), anque nun resulta única.

Nel casu d'una matriz non diagonalizable, esti procesu ye más complicáu, yá que rique atopar primero'l so forma canónica de Jordan.

Llogaritmu discretu[editar | editar la fonte]

Artículu principal: Llogaritmu discretu

Los llogaritmos discretos son los análogos en teoría de grupos de los llogaritmos ordinarios. En particular, un llogaritmu ordinariu loga(b) ye una solución de la ecuación ax = b sobre númberos reales o númberos complexos. De manera similar, si g y h son elementos d'un grupu cíclicu finito G, entós una solución x de la ecuación gx = h ye llamada llogaritmu discretu na base g de h nel grupu G.

Si (G,·) ye un grupu cíclicu finito d'orde n, onde · ye l'operador multiplicación, si escueye un Conxuntu xenerador d'un grupu xenerador g de G, entós cada elementu h de G puede ser escritu como h = gk pa dalgún enteru k, de manera que la función

asigna a cada h la clase d'equivalencia módulo n de k, esto ye, tolos k que cumplan que h ≡ gk mod n.

Esti llogaritmu tien aplicaciones en criptografía, cuantimás nel métodu d'intercambiu de claves de Diffie-Hellman o nel sistema de ElGamal.

Hestoria[editar | editar la fonte]

John Napier (Neper), foi'l primeru que definió y desenvolvió los llogaritmos.

El métodu de cálculu por aciu llogaritmos foi propuestu per primer vegada, públicamente, por John Napier (latinizado Neperus) en 1614, nel so llibru tituláu Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Joost Bürgi, un matemáticu y reloxeru suizu al serviciu del duque de Hesse-Kassel, concibió per primer vegada los llogaritmos; sicasí, publicó'l so descubrimientu cuatro años dempués que Napier. La inicial resistencia al usu de llogaritmos foi camudada por Kepler, pol entusiasta sofitu de la so publicación y l'impecable y clara esplicación de cómo funcionaben.

Esti métodu contribuyó a la meyora de la ciencia, y especialmente de la astronomía, facilitando'l resolvimientu de cálculos bien complexos. Los llogaritmos fueron utilizaos davezu en xeodesia, saléu marítimu y otres cañes de la matemática aplicada, enantes de la llegada d'el calculadores y computadores. Amás de la utilidá nel cálculu, los llogaritmos tamién ocuparon un importante llugar nes matemátiques más avanzaes; el llogaritmu natural presenta una solución pal problema de la cuadradura d'un sector hiperbólicu escurríu por Gregoire de Saint-Vincent en 1647.

Napier nun usó una base tal como agora entiéndese pero, los sos llogaritmos, como factor d'escala, funcionaben de manera eficaz con base 1/y. Pa los propósitos de interpolación y facilidá de cálculu, yeren útiles pa topar la relación r nuna serie xeométrica tendente a 1. Napier escoyó r = 1 - 10−7 = 0,999999 (Bürgi escoyó r = 1 + 10−4 = 1,0001). Los llogaritmos orixinales de Napier nun teníen log 1 = 0, sinón log 107 = 0. Asina, si N ye un númberu y L ye'l llogaritmu, Napier calcula: N = 107(1 − 10−7)L. Onde (1 − 10−7)107 ye aprosimao 1/y, faciendo L/107 equivalente a log1/y N/107. Vease llogaritmu neperianu.

Primeramente, Napier llamó «númberos artificiales» a los llogaritmos y «númberos naturales» a los antilogaritmos. Más tarde, Napier usa la palabra llogaritmu nel sentíu d'un númberu qu'indica una proporción: λόγος (logos) el sentíu de proporción, y ἀριθμός (arithmos) significáu númberu, y defínese, lliteralmente, como «un númberu qu'indica una relación o proporción». Referir a la proposición que foi fecha por Napier na so «teorema fundamental», qu'establez que la diferencia de dos llogaritmos determina la relación de los númberos a los cualos correspuenden, de manera que una progresión aritmética de llogaritmos correspuende a una progresión xeométrica de númberos. El términu antilogaritmu foi introducíu a finales de sieglu xvii y, anque nunca s'utilizó llargamente en matemátiques, perduró en munches tables, hasta que cayó en desusu.

Aplicaciones[editar | editar la fonte]

Tantu los llogaritmos naturales, como los llogaritmos en base 10 son ferramientes imprescindibles na midida de les magnitúes que les sos midíes son bien grandes. Por casu, los terremotos tienen que ser midíos con llogaritmos dáu a la so amplia enerxía desprendida; la cual provoca tales catástrofes. Pa midir la magnitú de los terremotos, creóse la Escala de Richter, que establez unos determinaos valores según la cantidá d'enerxía que lliberen, esto ye, midiendo l'amplitú de les ondes sísmiques en superficie. Richter definió la magnitú(M), utilizando'l llogaritmu por aciu la siguiente fórmula:

M = logA + C

Tamién pueden usase los llogaritmos pa midir la intensidá del rellumu de les estrelles. Por casu Siriu, que ye la estrella más brillosa, tien una magnitú de -1,6. Sicasí, la estrella polar, relluma con una magnitú de 2,1. Esto significa que Siriu, vistu dende la Tierra, relluma unes 30 vegaes más aprosimao.

Vixencia[editar | editar la fonte]

El conceutu de llogaritmu caltiense vixente pol so venceyu cola integral definida so una hiperbólica xy = 1; na solución d'ecuaciones esponenciales y logarítmiques, na simplificación de derivaes y pol so trezu a y [29]

Ecuaciones logarítmiques[editar | editar la fonte]

Llámase ecuación logarítmica aquella cola incógnita sol signu de llogaritmu.

Exemplos:

onde lg significa llogaritmu en base 10.

Casos resueltos[editar | editar la fonte]

Ver tamién[editar | editar la fonte]

Notes[editar | editar la fonte]

  1. La mesma serie cumplir pal valor principal del llogaritmu complexu pa númberos complexos z que satisfaen que |z − 1| < 1.
  2. La mesma serie cumplir pal valor principal del llogaritmu complexu pa númberos complexos z con parte real positiva.

Referencies[editar | editar la fonte]

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  9. Puede comprobar por aciu una calculadora
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Bibliografía[editar | editar la fonte]

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  • Doctor Honoris Causa Ritu Rizquez, University of Boston, J.. Aritmética razonada.
  • Matemátiques.
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  • La Biblia de les Matemátiques.

Enllaces esternos[editar | editar la fonte]




Logaritmo