Función compuesta

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g  f, ye l'aplicación resultante de l'aplicación socesiva de f y de g. Nel exemplu, (g  f)(a)=@.

En álxebra astracta, una función compuesta ye una función formada pola composición o aplicación socesiva d'otros dos funciones. Pa ello, aplícase sobre l'argumentu la función más próxima al mesmu, y a la resultancia del cálculu anterior aplícase-y finalmente la función restante.

Usando la notación matemática, la función compuesta gf: XZ espresa que (gf)(x) = g[f(x)] pa tou x perteneciente a X.

A gf llámase-y composición de f y g, o f compuesta con g. Nótese que se noma nun siguiendo l'orde d'escritura, sinón l'orde en que s'apliquen les funciones al so argumentu.

Definición[editar | editar la fonte]

De manera formal, daes dos funciones:

y :

onde la imaxe de f ta contenida nel dominio de g, defínese la función composición de f y g. (nótese que les funciones nomar nel orde d'aplicación a la variable, non nel orde socesivu de representación):

A tolos elementos de X acomúñase-y un elementu de Z según: .

Tamién puede representase de manera gráfica usando la categoría de conxuntos, por aciu un diagrama conmutativu: centráu

Propiedaes[editar | editar la fonte]

  • La composición de funciones ye asociativa, esto ye:


  • La composición de funciones polo xeneral nun ye conmutativa, esto ye:


Por casu, daes les funciones numbériques f(x)=x+1 y g(x)=x², entós f(g(x))=x²+1, en cuantes que g(f(x))=(x+1)².
  • L'elementu neutru asociáu a la composición de funciones ye f(x)=x.
  • Colos trés propiedaes anteriores: asociativa, non conmutativa y elementu neutru, les funciones reales de variable real constitúin un monoide pa la operación interna de composición de funciones.
  • Amás, la inversa de la composición de dos funciones ye:


Exemplu[editar | editar la fonte]

Sían les funciones:

Fallu al revisar la fórmula (función '\ensin' desconocida): {\displaystyle g(x) = \ensin(x) \,}

La función compuesta de g y de f qu'espresamos:

Fallu al revisar la fórmula (función '\ensin' desconocida): {\displaystyle (g \circ f)(x) = g(f(x)) = g((x^2)) = \ensin(x^2) \,}

La interpretación de (fg) aplicada a la variable x significa que primero tenemos qu'aplicar g a x, colo que llograríamos un valor de camín

Fallu al revisar la fórmula (función '\ensin' desconocida): {\displaystyle z = g(x)=\ensin(x) \, }

y dempués aplicamos f a z pa llograr

Fallu al revisar la fórmula (función '\ensin' desconocida): {\displaystyle y = f(z) = z^2 = \ensin^2(x) \, }

Función bien definida[editar | editar la fonte]

La función compuesta ta bien definida porque cumple colos dos condiciones d'esistencia y unicidá, mesmes de toa función:

  1. Condición d'esistencia: dáu x, conocemos (x, f(x)), yá que conocemos la función f, y dáu cualquier elementu y de B conocemos tamién (y, g(y)), yá que conocemos la función g. Por tanto, (x, g( f(x)) ) ta definíu pa tou x, y asina (gf) cumple la condición d'esistencia.
  2. Condición d'unicidá: como f y g son funciones bien definíes, pa cada x el valor de f(x) ye únicu, y pa cada f(x) tamién lo ye'l de g( f(x)).

Enllaces esternos[editar | editar la fonte]


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