Ecuaciones de Maxwell

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Los cuatro ecuaciones de Maxwell describen tolos fenómeno electromagnéticos, equí amuésase la inducción magnética per mediu d'una corriente eléctrica.

Les ecuaciones de Maxwell son un conxuntu de cuatro ecuaciones (originalmente 20 ecuaciones) que describen por completu los fenómeno electromagnéticos. La gran contribución de James Clerk Maxwell foi axuntar nestes ecuaciones llargos años de resultancies esperimentales, debíos a Coulomb, Gauss, Ampere, Faraday y otros, introduciendo los conceutos de campu y corriente de desplazamientu, y unificando los campos eléctricu y magnéticu nun solu conceutu: el campu electromagnético.[1]

Desenvolvimientu históricu de les ecuaciones de Maxwell[editar | editar la fonte]

Semeya de Maxwell.
Ver tamién: Electromagnetismu

Dende finales del sieglu XVIII diversos científicos formularon lleis cuantitatives que rellacionaben les interacciones ente los campos eléctricos, los campos magnéticos y les corrientes sobre conductores. Ente estes lleis tán la llei de Ampère, la llei de Faraday o la llei de Lenz. Maxwell llograría unificar toes estes lleis nuna descripción coherente del campu electromagnético.

Maxwell diose cuenta de que'l caltenimientu de la carga eléctrica paecía riquir introducir un términu adicional na llei de Ampère. Ello ye que anguaño considérase qu'unu de los aspeutos más importantes del trabayu de Maxwell nel electromagnetismu ye'l términu qu'introdució en dicha llei: la derivada temporal d'un campu eléctrico, conocida como corriente de desplazamientu. El trabayu que Maxwell publicó en 1865, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, modificaba la versión de la llei de Ampère colo que se predicía la esistencia d'ondes electromagnétiques arrobinándose, dependiendo del mediu material, a la velocidá de la lluz en dichu mediu. D'esta forma Maxwell identificó la lluz como una onda electromagnética, unificando asina la óptica col electromagnetismu.[2]

Quitando'l cambéu a la llei de Ampère, nenguna de les otres ecuaciones yera orixinal. Lo que fixo Maxwell foi reobtener diches ecuaciones a partir de modelos mecánicos ya hidrodinámicos usando'l so modelu de vórtices de llinies de fuerza de Faraday.

En 1884, Oliver Heaviside xuntu con Willard Gibbs arrexuntó estes ecuaciones y reformular na notación vectorial actual. Sicasí, ye importante conocer que al faer eso, Heaviside usó derivaes parciales temporales, distintes a les derivaes totales usaes por Maxwell, na ecuación (54). Ello provocó que se perdiera'l términu qu'apaecía na ecuación posterior del trabayu de Maxwell (númberu 77). Na actualidá, esti términu úsase como complementariu a estes ecuaciones y conozse como fuerza de Lorentz.

La hestoria ye entá confusa, por cuenta de que'l términu ecuaciones de Maxwell úsase tamién pa un conxuntu d'ocho ecuaciones na publicación de Maxwell de 1865, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, y esti tracamundiu deber a que seis de los ocho ecuaciones son escrites como tres ecuaciones pa cada exa de coordenaes, asina se puede unu confundir al atopar veinte ecuaciones con veinte incógnites. Los dos tipos d'ecuaciones son casi equivalentes, a pesar del términu esaniciáu por Heaviside nes actuales cuatro ecuaciones.

Detalle de les ecuaciones[editar | editar la fonte]

Llei de Gauss pal campu eléctrico[editar | editar la fonte]

Artículu principal: Llei de Gauss
Fluxu eléctrico d'una carga puntual nuna superficie zarrada.

La llei de Gauss esplica la relación ente'l fluxu del campu eléctrico y una superficie zarrada. Defínese como fluxu eléctrico () a la cantidá de fluyíu eléctricu que traviesa una superficie dada. Análogu al fluxu de la mecánica de fluyíos, esti fluyíu eléctricu nun tresporta materia, pero ayuda a analizar la cantidá de campu eléctrico () que pasa por una superficie S.[3] Matemáticamente esprésase como:

La llei diz que'l fluxu del campu eléctrico al traviés d'una superficie zarrada ye igual al cociente ente la carga (q) o la suma de les cargues qu'hai nel interior de la superficie y la permitividad eléctrica nel vacíu (), asina:[4][5]


La forma diferencial de la llei de Gauss, en forma local, afirma que pol teorema de Gauss-Ostrogradsky, la diverxencia del campu eléctrico ye proporcional a la densidá de carga eléctrica, esto ye,


onde ye la densidá de carga nel mediu interior a la superficie zarrada. Intuitivamente significa que'l campu Y diverxi o sale dende una carga , lo que se representa gráficamente como vectores que salen de la fonte que les xenera en toes direcciones. Por convención si'l valor de la espresión ye positivu entós los vectores salen, si ye negativu estos entren a la carga.

Pa casos xenerales tien d'introducise una cantidá llamada densidá de fluxu eléctrico () y la nuesa espresión llogra la forma:

Llei de Gauss pal campu magnético[editar | editar la fonte]

Artículu principal: Monopolo magnéticu
Les llinies de campu magnético empiecen y terminen nel mesmu llugar, polo que nun esiste un monopolo magnéticu.

Esperimentalmente llegóse a la resultancia de que los campos magnéticos, a diferencia de los eléctricos, nun empiecen y terminen en cargues distintes. Esta llei primordialmente indica que les línea de los campos magnéticos tienen de ser cerraes. N'otres palabres, dizse que sobre una superficie zarrada, sía como quier esta, nun vamos ser capaces de zarrar una fonte o sumidoriu de campu, esto espresa la inesistencia del monopolo magnéticu. Al zarrar un dipolo nuna superficie zarrada, nun sale nin entra fluxu magnético, polo tanto'l campu magnético nun diverxe, nun sale de la superficie. Entós la diverxencia ye cero.[6] Matemáticamente esto esprésase asina:[5]


onde ye la densidá de fluxu magnético, tamién llamada inducción magnética. Ye claro que la diverxencia sía cero porque nun salen nin entren vectores de campu sinón qu'esti fai caminos zarraos. El campu nun diverxe, ye dicir la diverxencia de B ye nula.

La so forma integral equivalente:


Como na forma integral del campu eléctrico, esta ecuación solo funciona si la integral ta definida nuna superficie zarrada.

Llei de Faraday-Lenz[editar | editar la fonte]

Artículu principal: Llei de Faraday

La llei de Faraday fálanos sobre la inducción electromagnética, la qu'anicia una fuerza electromotriz nun campu magnético. Ye habitual llamala llei de Faraday-Lenz n'honor a Heinrich Lenz una y bones el signu menos provien de la Llei de Lenz. Tamién se-y llama como llei de Faraday-Henry, por cuenta de que Joseph Henry afayó esta inducción de manera separada a Faraday pero casi simultáneamente.[7] Lo primero que se debe introducir ye la fuerza electromotriz (), si tenemos un campu magnético variable col tiempu, una fuerza electromotriz ye inducida en cualesquier circuitu eléctricu; y esta fuerza ye igual a menos la derivada temporal del fluxu magnético, asina:[8]

, como'l

campu magnético ye dependiente de la posición tenemos que'l fluxu magnético ye igual a:

.

Amás, el qu'esista fuerza electromotriz indica qu'esiste un campu eléctrico que se representa como:

colo que finalmente se llogra la espresión de la llei de Faraday:[5]

Lo qu'indica qu'un campu magnético que depende del tiempu implica la esistencia d'un campu eléctrico, del que la so circulación per un camín arbitrariu zarráu ye igual a menos la derivada temporal del fluxu magnético en cualquier superficie llindada pel camín zarráu.

El signu negativu esplica que'l sentíu de la corriente inducida ye tal qu'el so fluxu oponer a la causa que la produz, compensando asina la variación de fluxu magnético (Llei de Lenz).

La forma diferencial local d'esta ecuación ye:


Esto ye, el rotacional del campu eléctrico ye la derivada de la inducción magnética con respectu al tiempu.

Interprétase como sigue: si esiste una variación de campu magnético B entós este provoca un campu eléctrico Y o bien la esistencia d'un campu magnético non estacionariu nel espaciu llibre provoca circulaciones del vector Y a lo llargo de llinies zarraes. En presencia de cargues llibres, como los electrones, el campu Y puede mover les cargues y producir una corriente eléctrica. Esta ecuación rellaciona los campos eléctrico y magnético, y tien otres aplicaciones práctiques como los motores eléctricos y los xeneradores eléctricos y esplica el so funcionamientu. Más precisamente, demuestra qu'un voltaxe puede ser xeneráu variando'l fluxu magnético que traviesa una superficie dada.

Llei de Ampère xeneralizada[editar | editar la fonte]

Artículu principal: Llei de Ampère xeneralizada

Ampère formuló una relación pa un campu magnético inmóvil y una corriente eléctrica que nun varia nel tiempu. La llei de Ampère diznos que la circulación nun campu magnético () a lo llargo d'una curva zarrada C ye igual a la densidá de corriente () sobre la superficie zarrada na curva C, matemáticamente asina:[5]

onde ye la permeabilidá magnética nel vacíu.

Pero cuando esta relación considerar con campos que sí varien al traviés del tiempu llega a cálculos erróneos, como'l de violar la caltenimientu de la carga.[9] Maxwell corrixó esta ecuación pa llograr afaela a campos non estacionarios y darréu pudo ser comprobada esperimentalmente por Heinrich Rudolf Hertz.

Maxwell reformuló esta llei asina:[5]

Nel casu específicu estacionariu esta relación correspuende a la llei de Ampère, amás confirma qu'un campu eléctrico que varia col tiempu produz un campu magnético y amás ye consecuente col principiu de caltenimientu de la carga.[9]

En forma diferencial, esta ecuación toma la forma:

En forma senciella esta ecuación esplica que si se tien un conductor, un alambre rectu que tien una densidá de corriente J, esta provoca l'apaición d'un campu magnético B rotacional alredor del alambre y que'l rotor de B apunta nel mesmu sentíu que J.

En medios materiales[editar | editar la fonte]

Pal casu de que les cargues tean en medios materiales, y asumiendo qu'estos son llineales, homoxéneos, isótropos y non dispersivos, podemos atopar una relación ente los vectores intensidá eléctrica y inducción magnética al traviés de dos parámetros conocíos como permitividad eléctrica y la permeabilidá magnética:[10]

Pero estos valores tamién dependen del mediu material, polo que se diz qu'un mediu ye llineal cuando la relación ente Y/D y B/H ye llineal. Si esta relación ye llineal, matemáticamente puede dicise que y tán representaes por una matriz 3x3. Si un mediu ye isótropo ye porque esta matriz pudo ser diagonalizada y consecuentemente ye equivalente a una función ; si nesta diagonal unu de los elementos ye distintu al otru dizse que ye un mediu anisótropo. Estos elementos tamién son llamaos constantes dieléctriques y, cuando estes constantes nun dependen de la so posición, el mediu ye homoxéneu.[11]

Los valores de y en medios llineales nun dependen de les intensidaes del campu. Per otru llau, la permitividad y la permeabilidá son esguilares cuando les cargues tán en medios homoxéneos y isótropos. Los medios heterogéneos y isótropos dependen de les coordenaes de cada puntu polo que los valores, esguilares, van depender de la posición. Los medios anisótropos son tensores.[10] Finalmente, nel vacíu tantu como son cero porque suponemos que nun hai fontes.

Na siguiente tabla atopamos les ecuaciones como se les fórmula nel casu xeneral y na materia.[12]

Nel vacíu -----

Ecuaciones de Maxwell[editar | editar la fonte]

Les ecuaciones de Maxwell como agora conocer son los cuatro citaes enantes y a manera de resume pueden atopase na siguiente tabla:

Nome Forma diferencial Forma integral
Llei de Gauss:
Llei de Gauss pal campu magnético:
Llei de Faraday:
Llei de Ampère xeneralizada:

Estos cuatro ecuaciones xuntu cola fuerza de Lorentz son les qu'espliquen cualquier tipu de fenómenu electromagnéticu. Una fortaleza de les ecuaciones de Maxwell ye que permanecen invariantes en cualquier sistema d'unidaes, salvu de pequenes esceiciones, y que son compatibles cola relatividá especial y xeneral. Amás Maxwell afayó que la cantidá yera a cencielles la velocidá de la lluz nel vacíu, polo que la lluz ye una forma de radiación electromagnético. Los valores aceptaos anguaño pa la velocidá de la lluz, la permitividad y la permeabilidá magnética resumir na siguiente tabla:

Símbolu Nome Valor numbéricu Unidá de midida SI Tipu

definíu

Permitividad del vacíu faradios por metro deriváu
Permeabilidá magnética henrios por metro definíu


Potencial esguilar y potencial vector[editar | editar la fonte]

Artículu principal: Potencial vector magnéticu

De resultes matemática de les ecuaciones de Maxwell y amás coles mires de simplificar los sos cálculos introduciéronse los conceutos de potencial vector () y potencial esguilar (). Esti potencial vector nun ye únicu y nun tien significáu físicu claru pero sábese qu'un elementu infinitesimal de corriente da llugar a una contribución paralela a la corriente.[13] Esti potencial llógrase de resultes de la llei de Gauss pal fluxu magnético, yá que se conoz que si la diverxencia d'un vector ye cero, esi vector de resultes define a un rotacional, asina:[14]

A partir d'esti potencial vector y de la llei de Faraday puede definise un potencial esguilar asina:[12]

onde'l signu menos () ye por convención. Estos potenciales son importantes porque tienen una simetría gauge que nos da cierta llibertá a la d'escoyelos.[12] El campu eléctrico en función de los potenciales:

Topamos que cola introducción d'estes cantidaes les ecuaciones de Maxwell queden amenorgaes solo a dos, cuidao que, la llei de Gauss pal campu magnético y la llei de Faraday queden satisfeches por definición. Asina la llei de Gauss pal campu eléctrico escrita en términos de los potenciales:

y la llei de ampère xeneralizada

Nótese que se pasó d'un conxuntu de cuatro ecuaciones diferenciales parciales de primer orde a solu dos ecuaciones diferenciales parciales pero de segundu orde. Sicasí, estes ecuaciones pueden simplificase con ayuda d'una fayadiza eleición del gauge.

Consecuencies físiques de les ecuaciones[editar | editar la fonte]

Principiu de caltenimientu de la carga[editar | editar la fonte]

Artículu principal: Carga eléctrica

Les ecuaciones de Maxwell lleven implícites el principiu de caltenimientu de la carga. El principiu afirma que la carga eléctrica nun se crea nin se destrúi, nin global nin localmente, sinón que namái se tresfier; y que si nuna superficie zarrada ta menguando la carga contenida nel so interior, tien d'haber un fluxu de corriente netu escontra l'esterior del sistema. Ye dicir la densidá de carga y la densidá de corriente satisfaen una ecuación de continuidá.

A partir de la forma diferencial de la llei de Ampère tiense:

que al reemplazar la llei de Gauss y tomar en cuenta que (pa cualquier vector ), llógrase:

o bien en forma integral:

Ecuaciones orixinales de Maxwell[editar | editar la fonte]

Nel capítulu III de A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, tituláu "Ecuaciones xenerales del campu electromagnético", Maxwell formuló ocho ecuaciones que nomó de l'A a la H.[15] Estes ecuaciones aportaron a conocíes como "les ecuaciones de Maxwell", pero agora esti epítetu recibir les ecuaciones qu'arrexuntó Heaviside. La versión de Heaviside de les ecuaciones de Maxwell realmente contién solo una ecuación de los ocho orixinales, la llei de Gauss que nel conxuntu d'ocho sería la ecuación G. Amás Heaviside fundió la ecuación A de Maxwell de la corriente total cola llei circuital de Ampère que nel trabayu de Maxwell yera la ecuación C. Esta fusión, que Maxwell por sigo mesmu publicó nel so trabayu On Physical Lines of Force de 1861 modifica la llei circuital de Ampère pa incluyir la corriente de desplazamientu de Maxwell.

Los ocho ecuaciones orixinales de Maxwell pueden ser escrites en forma vectorial asina:

Denominación Nome Ecuación

Llei de corrientes totales

B Definición de vector potencial magnéticu
C Llei circuital de Ampère
D Fuerza de Lorentz

Ecuación d'eletricidá elástica |

F Llei de Ohm
G Llei de Gauss
H Ecuación de continuidá de carga

onde: ye'l vector intensidá de campu magnético (llamáu por Maxwell como intensidá magnética); ye la densidá de corriente eléctrica y ye la corriente total incluyida la corriente de desplazamientu; ye'l campu desplazamientu (desplazamientu eléctricu); ye la densidá de carga llibre (cantidá llibre d'eletricidá); ye'l vector potencial magnéticu (impulsu magnéticu); ye'l campu eléctrico (fuerza electromotriz [nun confundir cola actual definición de fuerza electromotriz]); ye'l potencial eléctricu y ye la conductividá eléctrica (resistencia específica, agora solo resistencia).

Maxwell nun consideró a los medios materiales polo xeneral, esta formulación inicial usa la permitividad y la permeabilidá en medios llineales, isótropos y non esvalixaos, a pesar que tamién se les puede usar en medios anisótropos.

Maxwell incluyó'l términu na espresión de la fuerza electromotriz de la ecuación D, que correspuende a la fuerza magnético por unidá de carga nun conductor que se mueve a una velocidá . Esto significa que la ecuación D ye otra formulación de la fuerza de Lorentz. Esta ecuación primero apaeció como la ecuación 77 de la publicación On Physical Lines of Force de Maxwell, anterior a la publicación de Lorentz. Na actualidá esta fuerza de Lorentz nun forma parte de les ecuaciones de Maxwell pero considerar una ecuación adicional fundamental nel electromagnetismu.

Espresión de les ecuaciones en relatividá[editar | editar la fonte]

Na relatividá especial, les ecuaciones de Maxwell nel vacíu escribir por aciu unes relaciones xeométriques, que tomen la mesma forma en cualesquier sistema de referencia inercial. Estes ecuaciones tán escrites en términos de cuadrivectores y tensores contravariantes, que son oxetos xeométricos definíos en M4. Estos oxetos rellacionar por aciu formes diferenciales en relaciones xeométriques que al espresales en componentes de los sistemes coordenaos Lorentz apurren les ecuaciones pal campu electromagnético.

La cuadricorriente ta descrita por una 1-forma y lleva la información sobre la distribución de cargues y corrientes. Los sos componentes son:


Que tien de cumplir la siguiente relación xeométrica por que se cumpla la ecuación de continuidá.


Escritu en componentes de los sistemes coordenaos Lorentz queda:


Pa poner en correspondencia objeto del mesmu rangu, utilízase'l operador de Laplace-Beltrami o laplaciana definida como:


Podemos poner en correspondencia'l cuadrivector densidá de corriente con otru oxetu del mesmu rangu como ye'l cuadripotencial, que lleva la información del potencial eléctricu y el potencial vector magnéticu.


O escritu en coordenaes Lorentz llogramos que:

Espresión que reproduz les ecuaciones d'onda pa los potenciales electromagnéticos.

La 1-forma A lleva la información sobre los potenciales d'el observadores inerciales siendo los sos componentes:

Pa llograr l'oxetu xeométricu que contién los campos, tenemos que xubir el rangu d'A por aciu l'operador diferencial esterior llogrando la 2-forma F campu electromagnético. En forma xeométrica podemos escribir:

Qu'espresáu pa un sistema inercial Lorentz tenemos que:

Colo que llogramos el tensor de campu electromagnético.

Primer par d'ecuaciones de Maxwell[editar | editar la fonte]

Les siguientes espresiones amiesten los campos coles fontes, rellacionamos la cuadricorriente col tensor campu electromagnético por aciu la forma xeométrica:

O bien en coordenaes Lorentz:

Llogru de les ecuaciones[editar | editar la fonte]

Pa un observable en S partiendo d'espresión en coordenaes Lorentz podemos llograr:

  • Pa tenemos que: , entós:

Por tantu:

  • Pa podemos llograr de la mesma forma que:

Segundu par d'ecuaciones de Maxwell[editar | editar la fonte]

Correspuenden a les ecuaciones homoxénees. Escrites en forma xeométrica tenemos que:

Que correspuende cola espresión nos sistemes coordenaos Lorentz:

Onde'l tensor ye'l tensor dual de F. Llograr por aciu el operador de Hodge.

Llogru de les ecuaciones[editar | editar la fonte]

  • Pa :

Por tantu:

  • Pa llógrase la ecuación vectorial:

La propiedá reproduz les ecuaciones de Maxwell internes, que puede espresase como , que puede escribise nos sistemes coordenaos Lorentz como:

Podemos resumir el conxuntu d'espresiones que rellacionen los oxetos que describen el campu electromagnético na siguiente tabla. La primer columna son les relaciones xeométriques, independientes de cualquier observador; la segunda columna son les ecuaciones descrites por aciu un sistema coordenáu Lorentz; y la tercera ye la descripción de la relación y la llei que cumple.

Forma xeométrica Covariante Lorentz Descripción
Condición/gauge de Lorenz (*)
Definición de Campos Electromagnéticos
Ecuaciones d'Ondes
Ecuaciones de Maxwell
}

(*) Esiste un tracamundiu habitual tocantes a la nomenclatura d'esti gauge. Les primeres ecuaciones nes qu'apaez tal condición (1867) deber a Ludvig V. Lorenz, non al muncho más conocíu Hendrik A. Lorentz. (Vease: J.D. Jackson: Classical Electrodynamics, 3rd edition p.294)

Finalmente'l cuadrigradiente defínese asina:

Los índices repitíos sumir d'alcuerdu al conveniu de sumación de Einstein. Acordies con el cálculu tensorial, los índices pueden xubise o baxase per mediu de la matriz fundamental g.

El primera tensor ye una espresión de dos ecuaciones de Maxwell, la llei de Gauss y la llei de Ampère xeneralizada; la segunda ecuación ye consecuentemente una espresión de les otres dos lleis.

Suxurióse que'l componente de la fuerza de Lorentz puede derivase de la llei de Coulomb y por eso la relatividá especial asume la invarianza de la carga eléctrica.[16][17]

Espresión de les ecuaciones pa una frecuencia constante[editar | editar la fonte]

Nes ecuaciones de Maxwell, los campos vectoriales nun son solo funciones de la posición, polo xeneral son funciones de la posición y del tiempu, como por casu . Pal resolvimientu d'estes ecuaciones en derivaes parciales, les variables posicionales atopar cola variable temporal. Na práctica, el resolvimientu de diches ecuaciones pueden contener una solución harmónica (sinusoidal).

Con ayuda de la notación complexa puede evitase la dependencia temporal de les resultancies harmóniques, esaniciando asina'l factor complexu de la espresión . Gran parte de los resolvimientos de les ecuaciones de Maxwell tomen amplitúes complexes, amás de nun ser solo función de la posición. En llugar de la derivación parcial nel tiempu tiense la multiplicación del factor imaxinariu , onde ye la frecuencia angular.

Na forma complexa, les ecuaciones de Maxwell tomen la siguiente forma:[10]

Ver tamién[editar | editar la fonte]

Referencies[editar | editar la fonte]

  1. «Ecuaciones de Maxwell». Archiváu dende l'orixinal, el 23 de xineru de 2008. Consultáu'l 15 de xineru de 2008.
  2. Ángel Franco García: Universidá del País Vascu (ochobre de 2006). «L'espectru electromagnéticu». Consultáu'l 15 de xineru de 2008.
  3. «Teorema de Gauss y Fluxu Eléctrico». Archiváu dende l'orixinal, el 29 de xineru de 2008. Consultáu'l 19 de xineru de 2008.
  4. «Línea de cargues. Llei de Gauss». Consultáu'l 18 de xineru de 2008.
  5. 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 Richard Feynman (1974). Feynman lectures on Physics Volume 2 (en inglés). Addison Wesley Longman. ISBN 0-201-02115-3.
  6. «Magnetostática». Consultáu'l 19 de xineru de 2008.
  7. «Conceutu de Fluxu». Consultáu'l 19 de xineru de 2008.
  8. «Ley de Faraday-Henry». Consultáu'l 19 de xineru de 2008.
  9. 9,0 9,1 «Ley de Ampere-Maxwell». Consultáu'l 20 de xineru de 2008.
  10. 10,0 10,1 10,2 Ángel Cardama Aznar (2002). Antenes. UPC. ISBN 84-8301-625-7.
  11. Liliana I. Pérez. «APUNTE:Ecuaciones de Maxwell». Consultáu'l 22 de xineru de 2008.
  12. 12,0 12,1 12,2 La web de Física. «Ecuaciones de Maxwell». Consultáu'l 23 de xineru de 2008.
  13. «Potencial Vector Magnéticu». Consultáu'l 21 de xineru de 2008.
  14. «Ecuaciones del Electromagnetismu». Consultáu'l 21 de xineru de 2008.
  15. «Professor Clerk Maxwell on the electromagnetic field» (inglés). Consultáu'l 21 de xineru de 2008.
  16. L. D. Landau, Y. M. Lifshitz (1980). The Classical Theory of Fields (en inglés). Butterworth-Heinemann. ISBN 0-7506-2768-9.
  17. Richard Y Haskell. «Special relativity and Maxwell equations» (inglés). Consultáu'l 23 de xineru de 2008.

Enllaces esternos[editar | editar la fonte]