Pi

De Uiquipedia
Saltar a: navegación, buscar
Wikipedia:Llista d'artículos que toa Wikipedia tien que tener
Lletra griega pi. Símbolu adoutáu en 1706 por William Jones y popularizáu por Euler.

En matemátiques y xeometría, π (pi) ye la rellación ente la llonxitú de la circunferencia y el so diámetru. Ye un númberu trescendental, lo que significa que nun ye la raíz de ningún polinomiu non nulu de coeficientes enteros.

Alternativamente, π pue ser definíu como l'área d'un círculu de radiu 1, o como'l menor númberu x positivu tal que sen (x) = 0.

La notación cola lletra griega π foi popularizada pol matemáticu Leonhard Euler.

El valor de pi truncáu a 100 posiciones decimales ye:

π = 3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 8939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170680

Fórmules que contienen a π[editar | editar la fonte]

Representación del númberu π n'imáxenes. Ye'l perímetru d'una circunferencia de diámetru 1.
L'área del círculu ye π × r²

En Xeometría:

En Probabilidá:

  • La probabilidá de que dos enteros positivos escoyíos al azar seyan primos ente si ye: 6/π²
  • Si s'escueyen al azar dos númberos positivos menores que 1, la probabilidá de que xunto col númberu 1 puedan ser los llaos d'un triángulu obtusángulu ye: (π-2)/4
  • El númberu mediu de formes d'escribir un enteru positivu como suma de dos cuadraos perfeutos ye π/4 (l'orde ye relevante)
  • Aguya de Buffon: Si llanzamos, al azar, una aguya de llonxitú L sobre una superficie na qu'hai dibuxaes llinies paraleles separtaes una distancia D, la probabilidá de que l'aguya corte a una llinia ye: Lπ/2D

N'Analís matemáticu:

 \sum_{n=0}^{\infty }{{{\left(-1\right)^{n}}\over{2\,n+1}}}=\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4} (fórmula de Leibniz)
 \prod_{n=1}^{\infty }{{{4\,n^2}\over{4\,n^2-1}}}=\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2} (producto de Wallis)
 \sum_{n=0}^{\infty }{{{2^{n}\,n!^2}\over{\left(2\,n+1\right)!}}}=1 + \frac{1}{3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3 \cdot 5 \cdot 7} + \cdots = \frac{\pi}{2} (Euler)
 e^{\pi i} + 1 = 0\; (Identidá d'Euler, tamién conocida como "la fórmula más importante del mundu")
 \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}
 n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n (Fórmula de Stirling)


 \zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} (Euler)
\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}


Amás, π tien varies representaciones como fracciones continues:

 \frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1}{3 + \frac{4}{5 + \frac{9}{7 + \frac{16}{9 + \frac{25}{11 + \frac{36}{13 + ...}}}}}}
 \pi = \sum_{k=0}^\infty \frac{2(-1)^k\; 3^{\frac{1}{2} - k}}{2k+1}

(Hai otres doce representaciones de π en http://functions.wolfram.com/Constants/Pi/10/ )

Historia del cálculu de π[editar | editar la fonte]

Por mor de la natura trescendental de π, los cálculos han facese con aprosimaciones más o menos precises. Normalmente tómense los valores 3,14 y 22/7, que s'estremen del auténticu valor nun 0,05%. Los físicos ya inxenieros suelen tomar 3,1416 como aproximación (cinco cifres significatives) o inclusu 3,14159 (seis cifres significatives) pa obtener una mayor precisión de la circunferencia.

Esiste otra fracción qu'aproxima π: 355/113. Ye fácil de memorizar, porque tien dos unos, dos treses y dos cincos, y la precisión (7 cifres significatives) ye notable.

Nel sieglu XX e.C. los babilonios utilizaron l'aproximación 25/8 y los exipcianos (16/9)2(=3.16049...) que yera una aprosimación abondo bona. Nun foi fasta'l sieglu III e.d.C. cuando s'utilizó una meyor aproximación: haza'l 250 e.d.C., gracies a un métodu consistente n'encuadrar un círculu por dos polígonos, Arquímedes obtuvo: 223/71 < π < 22/7 (3.1408... < π < 3.1428...), o seya, dos decimales esautos.

N'Oriente Mediu en 1429, Al-Kashi calcula 14 décimales de Pi. En 1596, siempre con métodos xeométricos, l'holandés Ludolph van Ceulen calcula 20 decimales, depués 34 en 1609. Taba tan arguyosu de la so fazaña (a la que-y consagra una bona parte de la so vida) que pidi que'l númberu seya escritu sobre la so tumba.

Darréu, gracies al desarrollu del Analís matemáticu nel sieglu XVII, particularmente les sumes y productos infinitos, el cálculu de decimales de Pi xorrez. Por exemplu, Isaac Newton calcula 16 decimales en 1665, John Machin 100 en 1706. Haza 1760, Euler calcula 20 decimales nuna hora (comparaos colos 14 decimales obteníos por Van Ceulen en más de 10 años de cálculos).

El matemáticu eslovenu Jurij Vega calcula en 1789 los 140 primeros decimales de π de los cuales 137 yeren correutos. Esi recor durará más de 50 años. Él ameyorará la fórmula que John Machin topara en 1706 y el so métodu ye mencionáu siempre a día de güei.

El matemáticu William Shank dedica 20 años de so vida a calcular los decimales de Pi. Llega a calcular 707, pero solo los 528 primeros yeren correutos. Anque'l so error nun foi detectáu fasta 1945.

El cálculu de decimales de Pi entusiasma nel sieglu XX, cola apaición de la informática: 2037 son calculaos en 1949 pola calculadora americana ENIAC, 10.000 decimales en 1958, 100.000 en 1961, 1.000.000 en 1973, 10.000.000 en 1982, 100.000.000 en 1989, y 1.000.000.000 el mesmu añu. El recor d'anguañu ye del añu 2004 nel que foron quien a sacar 1,3511 billones de cifres decimales per aciu el usu d'un supercomputador Hitachi que llegó a trabayar namái 500 horas pa facer el cálculu.

Delles aproximaciones hestóriques de π:

Añu Matemáticu o documentu Aprosimación Error

(en partes por millón)

~1650 edC Papiru d'Ahmes (Exiptu) 28/34 ~ 3,1605 6016 ppm
~1600 edC Tablina de Susa (Babilonia) 3 1/8 = 3,125 5282 ppm
~950 edC La Biblia (Reis I, 7,23) 3 45070 ppm
~500 edC Bandhayana (India) 3,09 16422 ppm
~250 edC Arquímedes de Siracusa ente 3 10/71 y 3 1/7

empleó 211875/67441 ~ 3,14163

<402 ppm

13,45 ppm

~200 Claudiu Ptoloméu 377/120 = 3,141666... 23,56 ppm
263 Liu Hui (China) 3,1416 2,34 ppm
263 Wang Fan 157/50 = 3,14 507 ppm
~300 Chang Hong (China) 101/2 ~ 3,1623 6584 ppm
~500 Zu Chongzhi (China) entre 3,1415926 y 3,1415929

empleó 355/113 ~ 3,1415929

<0,078 ppm

0,085 ppm

~500 Aryabhata 3,1416 2,34 ppm
~600 Brahmagupta 101/2 ~ 3,1623 6584 ppm
~800 Al Juarizmi 3,1416 2,34 ppm
1220 Fibonacci 3,141818 72,73 ppm
1400 Madhava 3,14159265359
1424 Al-Kashi 6.2831853071795865 0,1 ppm
Añu Descubridor Ordenador utilizáu Númberu de cifres decimales
1949 G.W. Reitwiesner y otros ENIAC 2.037
1955   MORC 3.089
1959 Guilloud IBM 704 16.167
1967   CDC 6600 500.000
1973 Guillord y Bouyer CDC 7600 1.001.250
1981 Miyoshi y Kanada FACOM M-200 2.000.036
1982 Guilloud   2.000.050
1986 Bailey CRAY-2 29.360.111
1986 Kanada y Tamura HITAC S-810/20 67.108.839
1987 Kanada, Tamura, Kobo y otros NEC SX-2 134.217.700
1988 Kanada y Tamura Hitachi S-820 201.326.000
1989 Hermanos Chudnovsky CRAY-2 y IBM-3090/VF 480.000.000
1989 Hermanos Chudnovsky IBM 3090 1.011.196.691
1991 Hermanos Chudnovsky   2.260.000.000
1994 Hermanos Chudnovsky   4.044.000.000
1995 Kanada y Takahashi [1] HITAC S-3800/480 6.442.450.000
1997 Kanada y Takahashi [2] Hitachi SR2201 51.539.600.000
1999 Kanada y Takahashi [3] Hitachi SR8000 68.719.470.000
1999 Kanada y Takahashi [4] Hitachi SR8000 206.158.430.000
2002 Kanada y otros [5] Hitachi SR8000/MP 1.241.100.000.000

Aproximaciones xeométriques a π[editar | editar la fonte]

Ye posible obtener un averamientu al valor de π de forma xeométrica. De fechu, yá los griegos intentaron obtener ensin ésitu una solución esacta al problema del valor de π per aciu del empleu de regla y compás. El problema griegu conocíu como cuadratura del círculu o, lo que ye lo mesmo, obtener un cuadráu d'área igual al área d'un círculu cualquiera, lleva implícitu'l cálculu del valor esactu de π.

Una vez demostrao que yera imposible la obtención de π per aciu del usu de regla y compás, desendolcáronse dellos métodos aproximaos. Dos de les soluciones aproximaes más fachendoses son les debíes a Kochanski (usando regla y compás) y la de Marcheroni (emplegando únicamente un compás).

Métodu de Kochanski[editar | editar la fonte]

Dibúxase una circunferencia de radiu R. Dientro d'ella inscríbese un hexágonu y tómase'l triángulu OEG. Trázase una paralela al segmentu EG que pase por A, prolongándola hasta que se corte col segmentu OE, obteniendo D. Dende'l puntu D y sobre esi segmentu trespórtase 3 veces el radiu de la circunferencia y obtiense'l puntu C. El segmentu BC ye aprosimadamente la mitá de la lonxitú de la circunferencia.

Demostración (suponiendo R = 1)

 BC^2=AB^2+(3-DA)^2

 OF= \frac{\sqrt{3}}{2}

 \frac{DA}{EF} = \frac{OA}{OF} => \frac{DA}{1/2}=\frac{1}{\sqrt{2}/2} => DA=\frac{\sqrt{3}}{3}

Sustituyendo na primera fórmula:

 BC^2= 2^2+\left (3-\frac{\sqrt{3}}{3}\right )^2 => BC = \sqrt{40-6 \sqrt{3} \over 3}=3.141533...

Métodu de Mascheroni[editar | editar la fonte]

Desendolcáu por Lorenzo Mascheroni, dibúxase una circunferencia de radiu R y dientro d'ella inscríbese un hexágonu. El puntu D ye la intersección de los arcos de circunferencia A'B con centru en A' y l'arcu AC con centru n'A. El puntu E ye la intersección del arcu BD con centru en B cola circunferencia. El segmentu AE ye aproximadamente un cuartu de la lonxitú de la circunferencia


Demostración (suponiendo R = 1)

AD=AC=\sqrt{3}  OD=\sqrt{3-1}=\sqrt{2}

 BE=BD=\sqrt{(OD-MB)^2+MO^2}=\sqrt{\left( \sqrt{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2+\frac{1}{4}}=\sqrt{3-\sqrt{6}}

Pol teorema de Ptolomeo nel cuadriláteru ABEB'

 BB' \cdot AE=AB \cdot EB' + BE \cdot AB'

 2 \cdot AE= \sqrt{1+\sqrt{6}}+\sqrt{9-3 \cdot \sqrt{6}}=3.142399...

Ver tamién: algoritmu de Borwein

Enllaces externos[editar | editar la fonte]