Circunferencia

De Uiquipedia
Saltar a: navegación, buscar

En matemática, una circunferencia (del llatín circunferentia) ye una curva plana zarrada cuyos puntos son equidistantes d'un puntu interior fixu nomáu centru. Hai una desemeyanza bien nidia ente circunferencia y círculu: la primera, la circunferencia, ye la llínia que llenda l'área, y el segundu, el círculu, ye la llínia más tol área interior.

Ye la curva de másima simetría bidimensional y les sos aplicaciones son mui numberoses. En xeometría analítica, l'ecuación en coordenaes cartesianes d'una circunferencia centrada nel puntu (h, k) y de radiu "r", ye:


(x-h)^2 + (y-k)^2=r^2 \,

Desendolcando l'ecuación, tenemos:

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 \,

siendo h = \frac{-D}{2}; k = \frac{-E}{2} y r = \sqrt{h^2 + k^2-F}

La llonxitú d'una circunferencia ye:

 L = 2 \cdot \pi \cdot r

onde  r = radiu; y \pi (el númberu pi) ye'l cociente ente'l diámetru y la llonxitú de la circunferencia.

La circunferencia de centru nel orixe de coordenaes y radiu 1 denómase circunferencia unidá y en matemática universal úsase pa desiñar la llonxitú de la llende d'un discu de radiu finitu.

Ecuaciones de la circunferencia[editar | editar la fonte]

Unit circle.svg

Ecuación en coordenaes cartesianes[editar | editar la fonte]

Nún sistema de coordenaes cartesianes x-y, la circunferencia con centru nel puntu (a, b) y radiu c consta de tolos puntos (x, y) que faen cumplir l'ecuación

(x-a)^2 + (y-b)^2 = c^2\,.

Cuando'l centru tá nel orixe (0, 0), l'ecuación d'enantes simplifícase a:

x^2 + y^2 = c^2.\,

La circunferencia con centru nel orixe y de radiu igual a 1 ye nomada circunferencia unidá (o circunferencia xunitaria).

Si n'arróu del centru y el radiu, dannos dos puntos (x_1,y_1), (x_2,y_2) estremos d'un diámetru, la circunferencia queda describía pola ecuación.

(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0.\,

Ecuación en coordenaes polares[editar | editar la fonte]

Cuando la circunferencia tien centru nel orixe y el radiu ye c, descríbese en coordenaes polares como (r,\theta)

 r=c.\,

Cuando'l centru nun tá nel orixe, sino nel puntu (s,\alpha) y el radiu ye c, l'ecuación conviértese en:

r^2 - 2 s r\, \cos(\theta - \alpha) + s^2 = c^2

Ecuación en coordenaes paramétriques[editar | editar la fonte]

Tamién ye dable describir una circunferencia usando parametrizaciones. La circunferencia con centru en (a, b) y radiu c parametrízase con funciones trigonométriques como:

x=a + c \cos t,\ y=b+c\sin t,\qquad t\in[0,2\pi]

y con funciones racionales como

x=a+c\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right),\ y=b+c\left(\frac{2t}{1+t^2}\right),\qquad -\infty\leq t\leq \infty

Ellementos de la circunferencia[editar | editar la fonte]

Secantes, cuerdes y tanxentes.

Hai delles reutes y puntos especiales na circunferencia. Un segmentu que xune dos puntos de la circunferencia nómase cuerda. A les cuerdes de llonxitú másimo (aquelles que pasen pel centru) nómase-yos diámetros. Coñozse como radiu del círculu a cualesquier segmentu que xune'l centru cola circunferencia, asina como a la llonxitú de los mesmos.

Una llínia qu'atraviesa la circunferencia, tayándola en dos puntos, nómase secante, metantu que una llínia que cinca a la circunferencia namái nún puntu denómase tanxente. El puntu de contautu de la tanxente cola circunferencia nómase puntu de tanxencia. El radiu que xune'l centru col puntu de tanxencia ye perpendicular a la tanxente.

Área del círculu dellimitáu por una circunferencia[editar | editar la fonte]

L'área del círculu dellimitáu pola circunferencia ye:

 A = \pi \cdot r^2

Esta fórmula débese a que, sabiendo que l'área de cualesquier polígonu regular ye igual al productu de la apotema y el perímetru del polígonu, dixebráu por 2, ye dicir: A = \frac{p \cdot a}{2}.

...y aprosimando la circunferencia como'l llímite de polígonos regulares, entós l'apotema coincidi col radiu de la circunferencia, y el perímetru con la llonxitú, poro:

A = \frac{p \cdot a}{2} = \frac{L \cdot r}{2} = \frac{(2 \cdot \pi \cdot r) \cdot r}{2} = \frac{2 \cdot \pi \cdot r^2}{2} = \pi \cdot r^2

Otres propiedaes[editar | editar la fonte]

El teorema de Tales diz que si los tres vértices d'un triángulu tán sobro una circunferencia dada, con ún de los sos llaos siendo'l diámetru de la circunferencia, entóncenes l'ángulu aviesu a ésti ye un ángulu reutu.
Triángulu rectu nún hemicírculu.
Daos tres puntos cualesquier que nun pertenezcan a una mesma reuta, existe una única circunferencia que caltién a estos tres puntos (esta circunferencia refierse como circunscrita al triángulu definíu por estos puntos). Daos tres puntos (x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3), l'ecuación de la circunferencia tá dada de mena cenciella pola determinante matricial:


\det\begin{bmatrix}
x   & y   & x^2 + y^2 & 1 \\
x_1 & y_1 & x_1^2 + y_1^2 & 1 \\
x_2 & y_2 & x_2^2 + y_2^2 & 1 \\
x_3 & y_3 & x_3^2 + y_3^2 & 1 \\
\end{bmatrix} = 0.

Una circunferencia ye una seición cónica, con escentricidá cero.


Ver tamién[editar | editar la fonte]