Tanxente

De Uiquipedia
Saltar a: navegación, buscar

En matemátiques, la pallabra tanxente tien dos significaos desemeyaos, pero etimolóxicamente rellacionaos: unu en xeometría y otru en trigonometría

Xeometría[editar | editar la fonte]

Seya C una curva, y A un puntu d'esta. Suponse que A ye un puntu regular de la curva, ye dicir que nun ye un puntu angulosu: La curva no camuda de sutrucu de direición en G.

La tanxente a C en A ye la reuta FA que pasa per A y que tien la mesma direición que C alrodiu de A.

Tangente.png

La tanxente ye la posición llímite de la reuta (M) (nomada cuerda de la curva), cuando A ye un puntu de C que s'avera indefinidamente al puntu M (A desplázase sucesivamente per C1, M2, M3, M4 ...)

Cuerdas.png

Si C representa una función f (nun ye'l casu nel gráficu precedente), entós la reuta (AM) tendrá como coeficiente direutor (o pendiente)

\frac {f(x) - f(a)} {x - a}, au "a" ye l'abscisa de A y "x" la de M.

Poro, la pendiente de la tanxente TA sedrá:

\lim_{x \to a} \frac {f(x) -  f(a)} {x - a}

Ye, por definición, f '(a), el númberu deriváu de f en a.

La ecuación de la tanxente ye Ta: y = f '(a)·(x - a) + f(a)

La reuta ortogonal a la tanxente TA que pasa pel puntu (a, f(a)) denómase reuta normal y la so pendiente, nun sistema de coordenaes ortonormales, ye dao por  \frac {-1} {f'(a)}.
La so ecuación ye : y = - (x - a)/f '(a) + f(a) suponiendo que f'(a) ≠ 0. Esta reuta nun intervien nel estudiu xeneral de les funciones pero sí en problemes xeométricos rellacionaos coles cóniques, como por exemplu pa determinar el puntu focal d'una parábola.

Trigonometría[editar | editar la fonte]

Gráficu de la función tanxente.

En trigonometría y matemátiques la tanxente ye una función definía como:

\,\tan x = \frac{\,\sin x}{\,\cos x}

Nómase asina porque pue ser definía como la llonxitú de ciertu segmentu d'una tanxete (en sen xeométricu) trazada nun círculu de radiu unitariu. Ye más cenciello de definir nel contestu d'un planu Cartesianu. Si se constrúi un círculu de radiu unitariu centráu nel orixe, la llinia tanxente al círculu nel puntu P = (1,0), y el rayu proveniente del orixe a un ángulu θ con respeutu del exe x, entós el rayu interseuta la reuta nun puntu Q. La tanxente en sen trigonométricu ye la llonxitú de la llinia ente los puntos P y Q. Si'l rayu nun interseuta la llinia, la tanxente (función) de θ ye infinitu.

Derivada[editar | editar la fonte]

La derivada de la tanxente ye:

\,\frac{\mathrm{d} (\tan x)}{\mathrm{d} x} = \frac{1}{\cos^2 x}=\sec^2 x.