Topoloxía alxebraica

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La Topoloxía alxebraica ye una caña de la topoloxía (comprensión de les matemátiques[1]) na que s'usen les ferramientes del álxebra astracta pa estudiar los espacios topolóxicos. L'oxetivu básicu ye atopar invariantes alxebraiques que clasifiquen los espacios topolóxicos hasta'l homeomorfismo, anque de normal munchos clasifíquense hasta la equivalencia homotópica.

Un toru, unu de los oxetos más frecuentemente estudiaos en topoloxía alxebraica

El métodu de los invariantes alxebraicos[editar | editar la fonte]

La meta ye clasificar los espacios topolóxicos. Un nome antiguu pa esta materia yera'l de topoloxía combinatoria, que ponía la énfasis en cómo un espaciu dáu X podía construyise a partir d'espacios más pequenos. El métodu básicu que s'aplica agora en topoloxía alxebraica ye'l d'investigar los espacios per mediu de los invariantes alxebraicos: por casu aplicándolos, rellacionándolos colos grupos, que tienen bastante estructura aplicable, y de manera que se respete la relación de homeomorfismo d'espacios.

Los dos formes principales como se fai esto son al traviés de los grupos fundamentales, o más polo xeneral la Teoría de homotopía, y per mediu de los grupos de homoloxía y de cohomología. Los grupos fundamentales suminístrennos información básica sobre la estructura d'un espaciu topolóxicu; pero son de cutiu non-abelianos y pueden ser difíciles d'usar. El grupu fundamental d'un complexu simplicial (finito) tien una presentación finita.

Los grupos d'homoloxía y cohomología, per otra parte, son abelianos, y en munchos casos importantes son finitamente xeneraos. Los grupos abelianos finitamente xeneraos pueden clasificase dafechu y son particularmente fáciles d'usar.

Resultaos n'homoloxía[editar | editar la fonte]

Delles resultancies útiles sígense darréu de trabayar con grupos abelianos finitamente xeneraos. El rangu llibre del grupu de n-homoloxía d'un complexu simplicial ye igual al n-númberu de Betti, asina que pueden usase los grupos d'homoloxía d'un complexu simplicial pa calcular el so característica de Euler-Poincaré. Si un grupu de n-homoloxía d'un complexu simplicial tien torsión, entós el complexu ye non-orientable. Asina que la homoloxía "codifica" gran parte de la información topolóxica d'un espaciu topolóxicu dadu.

Más allá de la homoloxía simplicial, podemos usar la estructura diferencial de les Variedáes per mediu de la Cohomología de De Rham, o la de Cech o cola cohomología de faes pa investigar la resolubilidad de les ecuaciones diferenciales definíes na variedá en cuestión. De Rham demostró que toos estos tipos d'aproximamientu tán interrelacionaos y que los númberos de Betti que se deriven de la homoloxía simplicial yeren los mesmos númberos de Betti qu'aquellos que se deriven de la cohomología de De Rham.

Aplicaciones[editar | editar la fonte]

Ente l'aplicaciones clásiques de la topoloxía alxebraica atópense:

Allugamientu en Teoría de Categoríes[editar | editar la fonte]

Polo xeneral, toles construcciones de la topoloxía alxebraica son funtoriales: les nociones de categoría, funtor y tresformamientu natural aniciáronse equí. Los grupos fundamentales, d'homoloxía y cohomología nun son namá invariantes del espaciu topolóxicu subxacente, nel sentíu de que dos espacios topolóxicos son homeomorfos si tienen acomuñaos los mesmos grupos; una aplicación continua d'espacios induz un homomorfismo ente los grupos asociaos, y estos homomorfismos pueden ser usaos pa probar la non-esistencia (o, más fondamente, la esistencia) d'aplicaciones.

Los problemes de la topoloxía alxebraica[editar | editar la fonte]

El problema xeométricu, abiertu per cerca d'un sieglu, y más famosu de la topoloxía alxebraica ye la Conxetura de Poincaré, resueltu pol rusu Grigori Perelmán en 2002. El campu de la Teoría de homotopía contien munchos misteriossobremanera la manera correcta de describir los grupos de homotopía de les esferes.

Ferramientes importantes[editar | editar la fonte]

Les ferramientes importantes (como teoremas fundamentales) pal cálculu de invariantes d'esta teoría son:

Ver tamién[editar | editar la fonte]

Referencies[editar | editar la fonte]

  1. Munkres, James R. Topoloxía ISBN 978-84-205-3180-9

Enllaces esternos[editar | editar la fonte]


Topología algebraica