Teoría de categoríes

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Una categoría con oxetos X,Y,Z y morfismos f, g, y g∘f.

La teoría de categoríes ye un estudiu matemáticu que trata de axomatizar de forma astracta diverses estructures matemátiques como una sola, por aciu l'usu d'oxetos y morfismos. Coles mesmes trata d'amosar una nueva forma de ver les matemátiques ensin incluyir les nociones d'elementos, pertenencia, ente otres.

Historia[editar | editar la fonte]

La teoría de categoríes foi introducida en Topoloxía alxebraica, por Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane en 1942, nun importante pasu pa la transición dende homoloxía a Teoría de la homoloxía. Stanislaw Ulam afirma qu'esistíen idees asemeyaes na escuela polaca de los años 30 (ver Stanislaw Ulam).[1]

Los desenvolvimientos subsiguientes de la teoría fueron impulsaos poles necesidaes computacionales del Álxebra homológica y más tarde poles necesidaes axomátiques de la Xeometría alxebraica.[1] La teoría xeneral -cierta actualización del álxebra universal con munches característiques nueves que daben pie a una cierta flexibilidá en semántica y lóxiques d'orde cimeru- vieno más tarde.

Estes aplicaciones de categoríes nel campu de los fundamentos tán siendo trabayaes en bastante detalle y non solamente en matemátiques. Esisten matemáticos como William Lawvere que trabayen na física, esisten físicos trabayando en n-categoríes, John Baez. La Lóxica Categórica ye agora un campu bien definíu basáu na teoría de tipos pa la Lóxica intuicionista, con aplicaciones a la teoría de la programación funcional y la teoría de dominios, toes enmarcaes nuna categoría cartesianamente zarrada como descripciones non sintáctiques del cálculo lambda. L'usu del llinguaxe de la teoría de les categoríes déxa-y a unu esclariar qué tienen esactamente de mancomún toes estes árees.

Relación filosófica[editar | editar la fonte]

Escuéyese'l términu categoría de Aristóteles pero nel sentíu de Kant col enfotu de acomuñar a una forma pura pero nel contestu puramente matemáticu, esto ye, ensin efectos fora de les matemátiques.

Funtores[editar | editar la fonte]

Col conceutu de categoría pretende prindase -poniendo la énfasis nel conceutu de relación (d'aplicación), más que d'elementu y pertenencia- la esencia d'una clase d'oxetos matemáticos, que se rellacionen por aciu aplicaciones, los morfismos na categoría en cuestión. Por casu, la clase de los grupos: en cuenta de estudiar los oxetos individuales (cada grupu) como se vieno faciendo, se enfatizan dichos morfismos ente ellos, que nun son otra cosa que les aplicaciones que "caltienen la so estructura". Nel exemplu de los grupos, dichos morfismos son los homomorfismos de grupos. Entós, una vegada que tenemos el nuesu "universu categorial" definíu -esto ye, una categoría- ye posible rellacionala con otres categoríes por aciu funtores, que son cierta xeneralización del conceutu de función pa categoríes: un funtor acomuña a cada oxetu d'una categoría un oxetu de la otra, y a cada aplicación de la primera una aplicación de la segunda. De cierta manera llévanos d'una imaxe de la categoría escontra la otra categoría, con ciertos graos de "afinamientu". Ciertes "construcciones naturales", como'l grupu fundamental d'un espaciu topolóxicu, pueden ser espresaes como funtores. Amás, dichos funtores tán bien de cutiu naturalmente rellacionaos y esto lleva al conceutu de tresformamientu natural.

Categoríes especiales, como los topos, tán sirviendo tamién como alternativa "generalizadora" y conceptualmente más rica de la teoría de conxuntos como fundamentu de les matemátiques [ensin referencies].

Aproximamientu de la teoría de clases[editar | editar la fonte]

Pa esaniciar los problemes surdíos de les paradoxes como la de Russell plantegóse'l siguiente parche a la Teoría de conxuntos:

Vamos Llamar "clase" a una agrupación d'oxetos.

Vamos Llamar "conxuntu" a les clases capaces de ser, elles mesmes, oxetos d'otres clases.

Vamos Llamar "clase mesma" a les clases incapaces de ser oxetos d'otra clase.

== Definición de categoría Complexu|1=delles definiciones y demostraciones matemátiques formales}}

ye una categoría si tien:

1) una clase , llamada clase d'oxetos de .
2) , pa tou , un conxuntu de morfismos de en , llamáu , que los sos elementos escríbense como o tamién .
3) , pa tou , y pa tou , cumplir les siguientes propiedaes:
a) esisti tal que , esto ye, tenemos l'aplicación

b) propiedá asociativa na composición, ye dicir , pa tou .
c) esistencia del morfismo identidá tal que y .
Nota
Si les clases d'oxetos son solamente conxuntos, dizse que la categoría ye "pequeña" (small category). Esisten importantes categoríes que nun lo son.

Definición de subcategoría[editar | editar la fonte]

Daes dos categoríes y , vamos dicir que ye una subcategoría de si:

i) ye subclase de
ii)
iii)
iv) .
nota
Dizse que la subcategoría ye llena si

Exemplos básicos[editar | editar la fonte]

De cada categoría da'l nome, oxetos que formen la clase y morfismos propios ente dichos oxetos respeutivamente:

y
y
y
y
  • La categoría An, de tolos aníos y les aplicaciones ente estos.
y
y
  • Dáu un conxuntu parcialmente ordenáu, , hai una categoría , de tolos elementos de , y, , el conxuntu de morfismos vien dáu por:

  • Dada una categoría , hai una categoría llamada dual o opuesta , cola mesma clase d'oxetos y,
  • Daes dos categoríes y , hai la categoría productu , de clase y de morfismos
  • La categoría ModR de tolos módulos pola derecha sobre'l aníu R con unidá, xuntu colos sos homomorfismos de módulos. Análogamente, la categoría de los módulos pola esquierda.
  • La categoría Met de tolos espacios métricos al pie de les funciones curties.
  • La categoría Uni de tolos espacios uniformes al pie de los unimorfismos.
    • La categoría Ord de tolos conxuntos preordenados al pie de les funciones crecientes.
  • Una categoría monoidal ye una categoría con una operación asociativa y un únicu elementu neutral con ésta operación. Los exemplos prototípicos son la categoría de conxuntos cola operación: unión dixunta y el conxuntu vacíu como elementu neutru, y la categoría d'espacios vectoriales sobre un cuerpu col productu tensorial d'espacios vectoriales y el mesmu cuerpu como l'únicu elementu neutral.
  • Un grafo puede considerase como una categoría pequeña: los oxetos seríen los vértices del grafo y los morfismos los caminos nel grafo. La composición de morfismos ye la concatenación de caminos.
  • Si I ye un conxuntu, la categoría: categoría discreta sobre I ye la categoría pequeña que tien como oxetos a los elementos de I y como morfismos namái a los morfismos identidá (qu'hai en toa categoría, como vais recordar).
  • La categoría Mag de tolos magmes xuntu colos sos homomorfismos.
  • La cat Mon, de los monoides y los sos monoide-morfismos. Usaes en TQFT, álxebres de Frobenius, cobordismo.

Definiciones pa tipos de morfismos[editar | editar la fonte]

Dada una categoría y oxetos , vamos dicir qu'un morfismo ye :

  • monomorfismo si y tales que siempres asocede qu'o implica que .
  • epimorfismo si y tales que siempres asocede qu'o implica que .
  • isomorfismu si y .
  • endomorfismo si
  • automorfismo si ye un isomorfismu y

Proposición[editar | editar la fonte]

Dada una categoría , oxetos y cumplir:

  • y tal que ye un monomorfismo, implica que ye un monomorfismo.
  • y tal que ye un epimorfismo, implica que ye un epimorfismo.
  • isomorfismu, implica que ye monomorfismo y epimorfismo.

Plantía:Demostración

Nota
Esisten morfismos que son monomorfismos y epimorfismos que nun son isomorfismos.

Definiciones pa tipos d'oxetos[editar | editar la fonte]

Dada una categoría , vamos dicir qu'un oxetu ye:

  • inicial si
  • final, si
  • nulu, si ye inicial y terminal al empar.

Exemplos[editar | editar la fonte]

Proposición[editar | editar la fonte]

Dada una categoría , ente los sos oxetos iniciales/finales hai un únicu isomorfismu.

Plantía:Demostración

Definición de funtor[editar | editar la fonte]

Daes dos categoríes y , vamos dicir que ye:

  • funtor covariante si:
1),, tenemos que .
2),, tenemos que tal que:
a),, tenemos que .
b), ,
.
  • funtor contravariante si:
1),, tenemos que .
3),, tenemos que tal que:
a),, tenemos que .
b), ,
.
Nota
Daes tres categoríes , y dos funtores covariantes y , la composición ye'l funtor covariante tal que:
  • ,
  • , .

Exemplos[editar | editar la fonte]

  • Dada una categoría , vamos dicir que ye'l funtor identidá a si dexa tou igual, claramente ye un funtor covariante recurriendo a la definición.
  • Daes una categoría y una subcategoría de , vamos dicir que ye funtor inclusión si dexa tou igual, claramente ye funtor covariante recurriendo a la definición.

Definiciones pa tipos de funtores[editar | editar la fonte]

Daes dos categoríes y , vamos dicir qu'un funtor covariante ye:

  • plenu si, ye refechu.
  • fiel si, ye inyectivo.
  • dafechu fiel si, ye biyectivo.
  • mestu si, ye isomorfu a .

Dáu un funtor covariante , vamos dicir que ye un isomorfismu de categoríes, si y .

Definición de tresformamientu natural[editar | editar la fonte]

Daes dos categoríes , , y dos funtores covariantes y , hai una tresformamientu natural ente y si tien:

  • , , un morfismo
  • , , esto ye, el siguiente diagrama ye conmutativu:

Vamos Dicir qu'un morfismo ye una equivalencia si ye un isomorfismu.

Vamos Dicir qu'un funtor ye una equivalencia si esiste un funtor tal que y , onde vamos dicir que los dos categoríes son equivalentes.

Exemplos[editar | editar la fonte]

Espaciu vectorial dual: un exemplu d'un funtor contravariante dende la categoría de tolos espacios vectoriales reales a la categoría de tolos espacios vectoriales reales ta dáu pola asignación a cada oxetu (cada espaciu vectorial real) un oxetu llamáu espaciu dual y a cada morfismo (esto ye, a cada aplicación llineal), el so dual o trespuesta.

Álxebra de les funciones continues: un funtor contravariante dende la categoría de los espacio topolóxicos (que los sos morfismos son les aplicaciones continues) a la categoría de les álxebres asociatives reales, ye dáu asignando a cada espaciu topolóxicuX la álxebra C(X) de toles funciones reales continues sobre tal espaciu. Cada aplicación continua f : XY (morfismo na categoría d'espacios topolóxicos) induz un homomorfismo d'álxebres C(f) : C(Y) → C(X) por aciu la regla C(f)(φ) = φ o f pa tou φ en C(Y).

Homomorfismo de grupos: a cada par A, B de grupos abelianos puede asignase el grupu abeliano Hom(A,B) que consiste en toos homomorfismos de grupos dende A a B. Esto ye un funtor que ye contravariante nel primer argumentu y covariante nel segundu, esto ye, ye un funtor Abop x AbAb (onde Ab denota la categoría de los grupos abelianos colos homomorfismos de grupos). Si f : A1A2 and g : B1B2 son morfismos en Ab, entós tiense esti homomorfismo Hom(f,g) : Hom(A2,B1) → Hom(A1,B2) dáu por φ |→ g o φ o f.

Funtores 'Olvidu', o 'Forgetful': el funtor F : RingAb qu'aplica un aníu escontra'l so grupu subxacente abeliano ye un funtor qu'escaez ("forgetful"), que nos crea una imaxe de daqué más "ricu" nun oxetu más probe, con menos estructura. Los morfismos na categoría de Aníos (homomorfismos d'aníos) convertir en morfismos en Ab (la categoría de grupos abelianos y los sos homomorfismos).

Productos tensoriales: Si C denota la categoría de los espacios vectoriales sobre un cuerpu fitu, coles aplicaciones llineales como morfismos, entós el productu tensorial V [símbolu] W define un funtor C × CC que ye covariante en dambos argumentos.

Álxebres de Lie: A cada grupu de Lie real o complexu asígnase-y el so real (o complexa) Álxebra de Lie, colo que se define un funtor.

Grupu fundamental: Considera la categoría de los espacios topolóxicos con "puntos base", con "puntos distinguíos". Los oxetos son los pares (X,x), onde X ye un espaciu topolóxicu y x ye un elementu de X. Un morfismo dende (X,x) escontra (Y,y) vien dáu por una aplicación continua f : XY tal que f(x) = y.

Pa cada espaciu topolóxicu con puntu base (X,x), vamos definir un grupu fundamental. El cual va ser un funtor dende la categoría de los espacios topolóxicos con puntos base escontra la categoría de los grupos.

Sía f una función continua dende'l intervalo unidad [0,1] escontra X tal que f(0) = f(1) = x. (Esto ye equivalente a que, f sía una aplicación continua dende'l círculu unidá nel planu complexu tal que f(1) = x.) Llamamos a tal función un llazu en X. Si f y g son llazos en X, podemos pegalos unu de siguío del otru definiendo h(t) = f(2t) cuando t percuerra [0,0.5] y h(t) = g(2(t - 0.5)) cuando t percuerra [0.5,1]. Ye fácil comprobar qu'esti h tamién ye un llazu. Si esiste una aplicación continua F(x,t) dende [0,1] × [0,1] a X tal que f(t) = F(0,t) ye un llazu y g(t) = F(1,t) ye tamién un llazu entós dizse que f y g son equivalentes. Puede probase qu'esto define una relación d'equivalencia. La nuesa regla de composición asegura que tou vaya bien. Agora, amás, podemos ver que se tien un elementu neutru y(t) = x (una aplicación constante) y que cada llazu tien un llazu inversu. Ello ye que si f(t) ye un llazu entós f(1 - t) ye'l so inversu. El conxuntu de clases d'equivalencia de llazos forma entós un grupu (el grupu fundamental de X). Puede comprobase que l'aplicación dende la categoría d'espacios topolóxicos con puntu base a la categoría de grupos ye funtorial: un (homo/iso)morfismo topolóxicu va faese corresponder naturalmente a un (homo/iso)morfismo de grupos.

Teoría de fexes: prehaces. Si X ye un espacio topolóxicu, entós los conxuntos abiertos en X pueden ser consideraos como los oxetos d'una categoría CX; esistiendo un morfismo de O a V si y namái si O ye un subconxuntu de V. En sí mesma, esta categoría nun ye bien escitante, pero los funtores dende CXop escontra otres categoríes, llamaos pre-faes sobre X, son interesantes. Por casu, asignando a cada conxuntu abiertu O el álxebra asociativa de les funciones reales sobre O, llógrase un pre-fexe d'álxebres sobre X.

Esti exemplu de motivación xeneralizar por aciu la considerancia de pre-fexes sobre categoríes arbitraries: un pre-fai sobre C ye un funtor definíu sobre Cop. El Lema de Yoneda da cuenta de que de cutiu una categoría C puede estendese por aciu la considerancia de la categoría de pre-faes sobre C.

La Categoría de les categoríes pequeñes: La categoría Cat tien como oxetos a toles categoríes pequeñes, y como morfismos a los funtores ente elles.

Construcciones universales[editar | editar la fonte]

Los funtores son de cutiu definíos per mediu de propiedaes universales; como exemplos tenemos los productos tensoriales de riba, la suma directa y el productu directu de grupos o d'espacios vectoriales, la construcción de los grupos llibres módulos, y llendes directos y inversos. Los conceutos de llende y colímite xeneralicen múltiples conceutos. Les construcciones universales de cutiu dan llugar a pares de funtores axuntos.

Productu[editar | editar la fonte]

Dada una categoría y una familia d'oxetos , vamos llamar productu de al par onde y ye una familia de morfismos onde , y tal que satisfai la condición de que pa cada familia , onde , esiste un únicu morfismo tal que

ProductoCategoria.PNG

El productu se denota por y en particular tamién si

Coproducto[editar | editar la fonte]

Dada una categoría y una familia d'oxetos , vamos llamar coproducto de al par onde y ye una familia de morfismos onde , y tal que satisfai la condición de que pa cada familia , onde , esiste un únicu morfismo tal que

CoProductoCategoria.PNG

El coproducto se denota por

Otros conceutos y resultaos[editar | editar la fonte]

Les definiciones de categoríes y funtores apróvennos namái de la base inicial de la álxebra categorial. Los tópicos llistaos embaxo son bien importantes. Anque hai fuertes interrellaciones ente toos ellos, l'orde en que los damos pue ser consideráu una guía pa posteriores llectures.

  • tresformamientu natural: Mientres los funtores dan un camín pa pasar, imprimir una categoría n'otra, los tresformamientos naturales apróvennos d'una relación similar ente funtores.
  • El Lema de Yoneda ye unu de les resultancies más famoses de la teoría de categoríes.
  • Llendes y colímites: Pa introducir ciertes construcciones como los productos (de conxuntos, de topoloxíes, d'ordes parciales, ...), na teoría, les llendes y los colímites son d'ayuda.
  • funtores axuntos: Un funtor puede ser l'adxuntu pola esquierda (o pola derecha) d'otru funtor que vaya na direición opuesta. Sicasí, cuando los comparamos coles relaciones clásiques de les aplicaciones que caltienen les estructures (inverses...), el conceutu de adjunción de funtores aparenta ser bastante astractu y xeneral. Ye de gran utilidá entá y tien relación con munchos otros conceutos importantes, como asocede na construcción de llendes.
  • equivalencia de categoríes: Pa llograr un criteriu fayadizu pa discernir si dos categoríes pueden o nun ser consideraes similares, ye necesariu atopar una noción más xeneral que'l conceutu clásicu de isomorfismu. Les equivalencies de categoríes tán bien rellacionaes con dualidá de categoríes.
  • diagrames conmutativos: Una y bones la teoría de categoríes trata usualmente con oxetos y fleches ye conveniente espresar les identidaes por aciu diagrames.

Referencies[editar | editar la fonte]

  1. 1,0 1,1 Introducción a la álxebra astracta".Juan Francísco Escamílla Catillo , pp. 329.

Bibliografía[editar | editar la fonte]

Los dos testos de Lawvere son les introducciones más sencielles qu'esisten. El de Mac Lane ye unu "clásicu" nesta materia, y el Borceaux ye una pequeña enciclopedia.

Enllaces esternos[editar | editar la fonte]


Teoría de categorías