Espaciu topolóxicu

Cuatro exemplos y dos anti-exemplos de topoloxíes nel conxuntu de tres puntos {1,2,3}.
L'exemplu inferior esquierdu nun ye una topoloxía porque la unión {2} y {3}, igual a {2,3}, nun ye parte de la coleición.
L'exemplu inferior derechu tampoco ye una topoloxía porque la interseición de {1,2} y {2,3}, igual a {2}, nun ye parte de la coleición.

Un espaciu topolóxicu ye una estructura matemática que dexa la definición formal de conceutos como converxencia, conectividad, continuidá, vecindá, usando soconxuntu d'un conxuntu dau. La caña de les matemátiques qu'estudia los espacios topolóxicos llámase topoloxía. Les variedaes, al igual que los espacios métricos son especializaciones d'espacios topolóxicos con restricciones y estructures propies.

Definición

Formalmente, llámase espaciu topolóxicu al par ordenáu (X,T) formáu por un conxuntu X y una topoloxía T sobre X, esto ye, una coleición de soconxuntos de X que cumplen los trés propiedaes siguientes:

1. El conxuntu vacíu y X tán en T.

   $\quad \varnothing \in T,X\in T$

2. La interseición de cualesquier subcolección finita de conxuntos de T ta en T.

   $\quad (O_{1}\in T,O_{2}\in T)\Rightarrow (O_{1}\cap O_{2}\in T)$

3. La unión de cualesquier subcolección de conxuntos de T ta en T.

Esta condición tamién s'escribe, formalmente:

$\quad \forall S\subset T,\cup _{O\in S}O\in T$

A los conxuntos pertenecientes a la topoloxía T llámase-yos conxuntos abiertos o a cencielles abiertos de (X,T) ; y a los sos complementos en Y, conxuntos zarraos.

Exemplos

• Topoloxía trivial o indiscreta: ye la formada por $\varnothing$ y $X$.
• Topoloxía discreta: ye la formada pol conxuntu de les partes de $X$.
• Topoloxía de los complementos finitos: ye la formada por $\varnothing$ y los conxuntos de $X$, que los sos complementarios son finitos.
• Topoloxía de los complementos numerables: ye la formada por $\varnothing$ y los conxuntos de $X$, que los sos complementarios son numerables.
• R, conxuntu de los reales, y T el conxuntu de los intervalos abiertos nel sentíu avezáu, y de les xuntes (cualesquier) d'intervalos abiertos.Nesti casu un conxuntu ye abiertu si pa tou puntu d'él esiste un intervalu abiertu que contién al puntu y dichu intervalu abiertu ye parte del mentáu abiertu.
• Recta de Sorgenfrey: la recta real xuntu cola topoloxía de la llende inferior.
• La topoloxía de Sierpinski ye la coleición T = {∅, {0}, X} sobre X = {0,1} y el par (X,T) llámase espaciu de Sierpinski.
• Una topoloxía T sobre X, usando delles partes d'A, que ye parte mesma de X. El par (X,T ) ye un espaciu topolóxicu que los sos abiertos son ciertes partes d'A y el conxuntu X. Pa esti casu X = {a,b,c,d}; A ={a,b,c}; T = { ∅,{a}, {a,b}, {a,b,c}, X} ye una topoloxía sobre X.

Espacios metrizables

Toa métrica dexa definir de manera natural nun espaciu la topoloxía formada poles unión arbitraries de boles de centru $r$ y radio $d$:

$\quad B(r,d)$

Esta topoloxía averar a la noción intuitiva de conxuntu abiertu, dexando un aproximamientu de calter llocal a la topoloxía.

En cuenta de considerar tol conxuntu, el puntu de vista local consiste en preguntar: ¿qué rellación tien qu'haber ente un puntu a cualesquier d'A, y A por que A seya un abiertu?

Si considérase l'exemplu más conocíu, el de los intervalos, unu dase cuenta de que los intervalos abiertos son los que nun contienen puntos nel so frontera o cantu, que son puntos en contautu al la vegada con A y col so complementariu R - A.

N'otres pallabres, un puntu d'un abiertu nun ta direutamente en contautu col "esterior".

Nun tar en contautu significa intuitivamente qu'hai una cierta distancia ente'l puntu y l'esterior; llamémosla d. Entós la bola B (a, d/2), de radio d/2 y de centru a ta incluyida n'A y nun toca'l complementariu. Na figura, a ta nel interior d'A, ente que b ta na so frontera, porque cualquier vecindá de b atopa R - A.

Al falar de alloña, utilizamos un conceutu de los espacios métricos, que son más intuitivos pos correspuenden al mundu real (asimilable a R³). En topoloxía, tenemos que camudar el conceutu de bola pol, más xeneral, de vecindá o redolada. Una vecindá d'un puntu x ye esti puntu con daqué del so alredor. Tenemos entera llibertá pa definir el significáu de "alredor" y "vecindá" con tal de satisfaer los axomes siguientes:

1. x pertenez a toles sos vecindaes.
2. Un conxuntu que contién una vecindá de x ye una vecindá de x.
3. La interseición de dos vecindad de x ye tamién una vecindá de x.
4. En toa vecindá V de x esiste otra vecindá O de x tal que V ye una vecindá de tolos puntos d'O.

Llamamos abiertu un conxuntu que ye una vecindá pa tolos sos puntos.

Los axomes espuestos nel puntu de vista global tán verificaos:

1. Y ye obviamente una vecindá pa tolos sos puntos, y ∅ tamién porque nun contién puntu. (Una propiedá universal: pa tou x... ye por fuercia cierta nel conxuntu vacíu.)
2. Una unión d'abiertos O_i ye un superconjunto de cada O_i, y O_i ye una vecindá de tolos sos puntos, poro, la unión ye una vecindá de tolos sos puntos, gracies a la propiedá (2).
3. Sía x un puntu de la interseición de los abiertos O₁ y O₂. O₁ y O₂ son abiertos que contienen x y polo tanto vecindaes d'él. Una interseición de vecindaes de x ye una vecindá de x (propiedá 3), lo qu'implica qu'O₁ $\cap$ O₂ ye una vecindá de tolos sos puntos, y polo tanto un abiertu.

Propiedaes d'un espaciu topolóxicu

• Compacidad
• Conectividad
• Axomes de separación

Ver tamién

• Glosariu de topoloxía
• Topoloxía

Bibliografía

• Munkres, James; Topology, Prentice Hall; 2nd edition (December 28, 1999). ISBN 0-13-181629-2.

• Espacios Métricos y Topolóxicos [1] (Wikilibro)

• Datos: Q179899
• Multimedia: Topology