Función trigonométrica

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Toles funciones trigonométriques d'un ángulu θ pue construyise xeométricamente en rellación a un círculu que represente la unidá, centráu en O.
Animación de la función senu

En matemátiques, les funciones trigonométriques son funciones d'un ángulu; tienen importancia nel estudiu de la xeometría de los triángulos y na representación de fenómenos periódicos, ente otres munches aplicaciones. Defínense davezu como'l cociente ente los dos llaos d'un triángulu rectángulu que caltién al ángulu, y puen definise igualmente como la llonxitú de dellos segmentos partiendo d'un círculu que represente a la unidá. Definiciones más modernes esprésenles como series infinites o como solución de ciertes ecuaciones diferenciales, dexando la so estensión a valores positivos y negativos, ya inclusu a númberos complexos. Toos estos aspeutos van ser desendolcaos darréu.

L'estudiu de les funciones trigonométriques remóntase a la dómina Babilónica, y munchos de los fundamentos del tema foren desendolcaos por matemáticos de la antigua Grecia, de la India y estudiosos árabes.

Según l'usu modernu, hai seis funciones trigonométriques básiques, les que se tabulen abaxo xunto a les ecuaciones que les rellacionen. Especialmente nel casu de les cuatro caberes, tales rellaciones tómense como definición de les funciones, pero ye dable definiles xeométricamente o per otros medios y llueu alcontrar estes rellaciones. Unes poques funciones más, foren comunes hestóricamente y apaecieren nes primeres tables, pero nun s'usen anguaño, por exemplu el versenu (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).

Función Abreviatura Rellación
senu sin \sin \theta = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \,
Cosenu cos \cos \theta = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)\,
Tanxente tan \tan \theta = \frac{1}{\cot \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \cot \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)  \,
Cotanxente cot \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \tan \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \,
Secante sec \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \csc \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \,
Cosecante csc
(o cosec)
\csc \theta =\frac{1}{\sin \theta} = \sec \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \,

Hestoria[editar | editar la fonte]

El primer usu de la función senu apaez nel Sulba Sutras escritu n'India dende el Sieglu VIII edC. hasta'l Sieglu VI edC. Les funciones trigonométriques foren estudiaes llueu por Hiparco de Nicea (180-125 AC) ,Aryabhata (476–550), Varahamihira, Brahmagupta, Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, Abu'l-Wafa, Omar Khayyam, Bhaskara II, Nasir al-Din Tusi, Regiomontanus (1464), Ghiyath al-Kashi y Ulugh Beg (Siglo XIV), Madhava (c. 1400), Rheticus , y l'alumnu d'esti, Valentin Otho. La xera de Leonhard Euler Introductio in analysin infinitorum (1748) foi la qu'afitó'l tratamientu analíticu de les funciones trigonométriques n'Europa, definiéndoles como series infinites presentaes nes nomaes "Fórmules d'Euler" .

L'albidru de que tenía d'haber dalguna correspondencia estándar ente la llonxitú de los llaos d'un triángulu siguió aína a la idea de que triángulos asemeyaos caltienen la mesma proporción ente los sos llaos. Esto ye, que pa cualesquier triángulu asemeyáu, la rellación ente la hipotenusa y otru de los sos llaos caltiense igual. Si la hipotenusa ye'l duble de llarga, asina sedrán los catetos. Xustamente estes proporciones son las qu'espresen les funciones trigonométriques.

Definiciones del triángulu rectángulu[editar | editar la fonte]

Pa definir les funciones trigonométriques del ángulu A, pártese d'un triángulu rectángulu arbitrariu que caltién a esti ángulu:

Usamos los siguientes nomes pa los llaos:

  • La hipotenusa ye'l llau aviesu al ángulu reutu, definíu tamién como'l llau de mayor llonxitú d'un triángulu rectángulu, nesti casu h.
  • El catetu opuestu ye'l llau opuestu al ángulu que nos interesa, nesti casu a.
  • El catetu axacente ye'l llau determináu pel ángulu respeutu del que queremos determinar les funciones trigonométriques y l'ángulu reutu, nesti casu b.

Tolos triángulos consideraos alcuéntrense nel planu Euclidianu, polo que la suma de los sos ángulos internos ye igual a π radián (o 180°). Darréu d'esto, en cualesquier triángulu rectángulu los ángulos non reutos alcuéntrense ente 0 y π/2 radian. Les definiciones que se dan a continuación definen estrictamente les funciones trigonométriques pa ángulos dientro d'esi rangu. Per aciu del círculu unitariu, ya usando ciertes simetríes qu'aporten a funciones periódiques, ye dable esparder los argumentos a la serie dafecha de númberos reales.

1) El senu d'un ángulu ye la rellación entre la llonxitú del catetu opuestu sobro la llonxitú de la hipotenusa. Nesti casu:

\sin A = \frac {\textrm{opuestu}} {\textrm{hipotenusa}} = \frac {a} {h}.

Decátase que'l valor d'esta rellación nun depende del triángulu rectángulu específicu que elixamos, siempres que caltenga l'ángulu A , que nesi casu, trátase de triángulos asemeyaos.


2) El cosenu d'un ángulu ye la rellación ente la llonxitú del catetu axacente y la llonxitú de la hipotenusa:

\cos A = \frac {\textrm{axacente}} {\textrm{hipotenusa}} = \frac {b} {h}.


3) La tanxente d'un ángulu ye la rellación ente la llonxitú del catetu opuestu y la del axacente:

\tan A = \frac {\textrm{opuestu}} {\textrm{axacente}} = \frac {a} {b}.


4) La cotanxente d'un ángulu ye la rellación ente la llonxitú del catetu axacente y la del opuestu:

\cot A = \frac {\textrm{axacente}} {\textrm{opuestu}} = \frac {b} {a}.


5) La secante d'un ángulu ye la rellación ente la llonxitú de la hipotenusa y la llonxitú del catetu axacente:

\sec A = \frac {\textrm{hipotenusa}} {\textrm{axacente}} = \frac {h} {b}.


6) La cosecante d'un ángulu ye la rellación ente la llonxitú de la hipotenusa y la llonxitú del catetu opuestu:

\csc A = \frac {\textrm{hipotenusa}} {\textrm{opuestu}} = \frac {h} {a}.