Teorema del monu infinitu

Nun confundir con Efeutu del centésimu monu.

Acordies con el segundu enunciáu Borel-Cantelli, con abondu tiempu, un chimpancé escribiendo al azar podría escribir una obra de Shakespeare (o cualesquier otru testu).

El teorema del monu infinitu afirma qu'un monu pulsiando tecles al azar sobre un tecláu mientres un periodu de tiempu infinitu casi de xuru va poder escribir finalmente cualquier testu dau. Nel mundu anglofalante suelse utilizar el Hamlet de Shakespeare como exemplu, mientres nel mundu hispanofalante utilízase'l Quixote de Cervantes.

Nesti contestu, el términu casi de xuru ye un términu matemáticu con un sentíu precisu y el "monu" nun ye en realidá un monu, sinón que se trata d'una metáfora de la creación d'una secuencia aleatoria de lletres ad infinitum.

La idea orixinal foi plantegada por Émile Borel, en 1913, nel so llibru Mécanique Statistique et Irréversibilité. Borel dixo que si un millón de monos mecanografiaran diez hores al día yera desaxeradamente improbable que pudieren producir daqué que fora igual a contener nos llibros de les biblioteques más riques del mundu y aun así, en comparanza, sería entá más inverosímil que les lleis de la estadística fueren violaes, siquier someramente. Pa Borel, el propósitu de la metáfora de los monos yera ilustrar la magnitú d'un acontecimientu extraordinariamente improbable.

Dempués de 1970, la popular imaxe de los monos estender hasta'l infinitu, convirtiéndose en que si un infinitu númberu de monos mecanografiaran por un intervalu infinitu de tiempu produciríen testu legible. Aportunar en dambos infinitos ye, sicasí, escesivu. Un solu monu inmortal qu'executara infinitamente tecleos sobre una máquina d'escribir podría escribir cualquier testu dau, amás, el testu sería producíu un infinitu númberu de vegaes.

Esquisa intuitiva del teorema

El teorema del monu infinitu ye direutamente demostrable, inclusive ensin necesidá de resultancies más avanzaes. Si dos acontecimientos son estadísticamente independientes, queriendo dicir esto que nengún d'ellos afecta al resultáu del otru, entós, la probabilidá de que dambos asocedan ye igual al productu de les probabilidaes individuales de qu'asoceda cada unu. Por casu, si les probabilidaes d'agua en Sydney nun día en particular ye 0,3 y la probabilidá de qu'esi mesmu día haya un terremotu en San Francisco ye d'un 0,8, entós, la probabilidá de que dambos asocedan el mesmu día ye 0,3x0,8=0,24.

Agora, suponiendo qu'un tecláu tenga 50 tecles y la pallabra a ser escrita ye “banana”, mecanografiando al azar, la probabilidá de que la primer lletra escrita sía b ye 1/50, de que la segunda sía a ye 1/50, etc. Dichos eventos son estadísticamente independientes, asina que la probabilidá de que los seis primeres lletres escrites sían “banana” ye 1/50⁶.

Agora, les probabilidaes de nun escribir “banana” en cada bloque de 6 lletres ye 1-1/50⁶. Yá que cada bloque tien de ser consideráu independientemente, la probabilidá X de nun escribir “banana” nos n primeros de 6 lletres ye X=(1-1/50⁶)ⁿ. A midida que n aumenta, X amenórgase. Pa n=1.000.000, X=99.99%, pero pa un n igual a 10 000 millones, X=53% y pa una n=100 000 millones ye un 0,17%. A midida que n averar a infinitu, la probabilidá de X tiende a cero. Esto ye, faciendo n lo suficientemente grande, X pue ser tan pequeñu como unu quiera. Si consideráramos les vegaes que s'escribiría “banana” ente bloques de 6 lletres, X tendería a 0 inclusive más rápido. El mesmu argumentu aplícase si'l monu tuviera escribiendo cualesquier otra cadena de calteres de cualquier tamañu.

Esta demostración amuesa por qué infinitos monos podríen (con casi toa probabilidá) producir un testu tan rápido como pudiera ser escritu por un mecanografiador humanu copiándolo dende l'orixinal. Nesti casu X=(1-1/50⁶)ⁿ, onde X representa la probabilidá de que nengún de los primeres n monos escribiera banana a la primera. Cuando consideremos 100 000 millones de monos, la probabilidá cai al 0,17% y a midida que n aumenta, X (la probabilidá de que tolos monos fallen al escribir un testu dau) tiende a 0.

Enunciáu formal

A pesar de que'l teorema del monu infinitu ye de cutiu espresáu de manera informal, un enunciáu formal del mesmu esclariaría'l so significáu exactu. Ye más bono d'espresar nes cadenes de testu de la ciencia d'ordenadores, que son secuencies finitas de calteres d'un determináu alfabetu. Nesti estáu, los dos sentencies superiores podríen ser espresaes formalmente como:

• Dada una cadena infinita onde cada calter ye escoyíu de manera aleatoria, cualquier cadena finita casi de xuru (probabilidá 1) asocedi como subcadena de la primera en dalguna posición (ello ye que n'infinites posiciones).

• Dada una infinita secuencia d'infinites cadenes iguales a la primera, onde cada calter de cada cadena ye escoyíu de forma aleatoria, cualquier cadena finita casi de xuru asocede como un prefixu d'una d'eses cadenes infinites (ello ye que como prefixu d'infinites de diches cadenes na secuencia).

Dambes sentencies estrayer cenciellamente de la segunda máxima de Borel-Cantelli. Suponiendo que'l nuesu testu deseyáu tien un llargor n, pal segundu teorema, Y_k ye'l sucesu de que la k-ésima cadena empiece col testu dau. Yá que esto tien la probabilidá p non cero d'asoceder, la Y_k ye independiente y la suma inferior diverxe, la probabilidá de qu'infinites Y_k asocedan ye 1. El primer teorema ye igual, sacantes estremamos la cadena aleatoria en bloques ensin sobreponer de n calteres cada unu y faemos Y_k l'eventu en que'l bloque k-ésimo iguala la cadena deseyada.

$\sum _{i=1}^{\infty }P(Y_{k})=\sum _{i=1}^{\infty }p=\infty .$

Ello ye que inclusive diendo a infinitu puede ser escesivu. Si l'alfabetu tien un tamañu a, entós puede ser demostráu que la probabilidá de qu'una de les primeres aⁿ asoceda ye siquier 1/2. Entós, 20aⁿ intentos podríen ser abondos pa escribir el testu dau con una probabilidá bien próxima a 1. El problema inclusive fai paralelismu bien: k monos pueden escribir el testu k vegaes más rápidu. Pa un n pequeñu nun ye demasiáu malu. Por casu, mil monos escribiendo lletres al azar a un ritmu de 100 calteres per minutu podríen probablemente escribir la pallabra «banana» nunos seis selmanes.

Esti teorema ye una instancia de la Ley Cero-Unu de Kolmogórov.

Probabilidaes

Inorando puntuación, espaciamientu y mayúscules/minúscules y asumiendo una distribución uniforme de lletres, un monu tien una probabilidá ente 26 d'escribir correutamente la primer lletra de Hamlet. La probabilidá de qu'escriba bien les dos primeres lletres ye 1 ente 676 (26 vegaes 26). Cuando 20 lletres fueren escrites, les probabilidaes de que fueren les correutes amenorgar a una ente 26²⁰=19.928.148.895.209.409.152.340.197.376, aproximao la mesma probabilidá de qu'a una mesma persona tóquenlu 4 lloteríes consecutives. En casu del testu completu de Hamlet, la probabilidá ye tan abismalmente pequeña que difícilmente puede ser concebida en términos humanos. El testu de Hamlet, esaniciando cualquier puntuación, contién unes 130.000 lletres.

El pixín fechu de qu'esista una oportunidá, sicasí, ye la clave del teorema de los infinitos monos, yá que la llei Cero-Unu de Kolmogórov diz que dada una serie infinita de sucesos independientes tien de tener una probabilidá de 0 o 1. Yá que demostremos enriba que la probabilidá nun ye 0, ten de ser entós 1. Considerar qu'un acontecimientu tan improbable ye seguro que soceda asocedíu un tiempu infinitu puede danos una idea de la enormidad del términu infinitu.

Gian-Carlo Rota escribió un llibru de testu sobre la probabilidá (non termináu cuando morrió):

“Si'l monu pudiera pulsiar una tecla cada nanosegundo, el tiempu esperáu hasta qu'escribiera Hamlet ye tan grande que la edá envalorada del universu ye insignificante en comparanza... Esti nun ye un bon métodu d'escribir llibros (Nun podemos aguantar la tentación de citar a A. N. Whitehead, “Nun voi dir al infinitu”).”

En The Nature of the Physical World: The Gifford Lectures (MacMillan, Nueva York, 1929, páxina 72), el físicu Arthur Eddington escribió:

“Si dexara los mios deos analayar ociosos sobre les tecles d'una máquina d'escribir podría pasar que surdiera una oración intelixible. Si una lexón de monos tuvieren escribiendo en máquines d'escribir, podríen escribir tolos llibros del Muséu Británicu. La probabilidá ye decididamente más favorable que la probabilidá de que les molécules conteníes nun recipiente ocuparen namái la metá del mesmu”.

En física, pos, la fuercia del argumentu de los monos mora non na probabilidá de que los monos finalmente produzan daqué intelixible, sinón na realidá práutica de que nun lo fadrán. Cualquier procesu físicu que ye menos probable que l'ésitu de los monos ye efeutivamente imposible. Esta ye la base de la segunda llei de la termodinámica.

Mitos avera del orixe

Dacuando afirmóse, a pesar de que ye práuticamente imposible, que l'usu de Borel de los monos y les máquines d'escribir na so teorema ta inspiráu nel argumentu usáu por Thomas Henry Huxley el 30 de xunu de 1860. Huxley aldericaba col obispu anglicanu d'Oxford, Samuel Wilberforce, na xunta del British Association for the Advancement of Science en Oxford, del cual Wilberforce yera vicepresidente. Wilberforce topábase agafáu pola publicación de L'orixe de les especies de Charles Darwin unos meses antes, en payares de 1859. Nun esiste una trescripción del alderique, nin tampoco archivos contemporáneos a los mesmos nin les notes de Huxley inclúin referencia dalguna al teorema del monu infinitu. L'asociación de dichu alderique col teorema de los infinitos monos ye probablemente una lleenda urbana, disparada pol fechu de que dichu alderique incluyó ciertes referencies a los monos: L'obispu preguntó a Huxley si baxaba d'un monu per parte de madre o de padre y Huxley contestó que prefería baxar d'un monu que de daquién qu'argumentaba tan descortésmente como l'obispu. Ye difícil pensar que Huxley fixera referencia a una máquina d'escribir. A pesar de que les primeres patentes de les mesmes fueron concedíes en 1714, la producción comercial nun empezó hasta 1870 y un orador tan habilidosu como Huxley escasamente depositara'l pesu de la so argumentación nun inventu que fuera desconocíu casi pa la mayoría de la so audiencia.

Esperimentos

Este ye un esperimentu que claramente nun puede ser lleváu a la práutica, yá que rique o bien un tiempu infinitu o bien recursos infinitos. A pesar d'ello, inspiró esfuercios na creación aleatoria de testu.

El sitiu web The Monkey Shakespeare Simulator, puestu en marcha'l 1 de xunetu de 2003, contién un applet en Java qu'asemeya una gran población de monos escribiendo al azar, col enfotu de ver cuanto tiempu toma a los monos virtuales completar una obra de Shakespeare dende'l principiu a la fin. El 3 de xineru de 2005 atopáronse 24 lletres consecutives que formaben un pequeñu fragmentu d'Enrique VI, parte 2:

“RUMOUR. Open your ears; 9r"5j5&?OWTY Z0d "B-nEoF.vjSqj[..."

Darréu, el mesmu esperimentu, llogró 30 lletres de Julio César de Shakespeare:

Flauius. Hence: home you idle CrmS3RSs
jbnKR IIYUS2([;3ei'Qqrm' 

Por cuenta de llimitaciones na capacidá de procesamientu, el programa usa un modelu probabilístico (por aciu l'usu d'un xenerador de númberos aleatorios) en llugar de xenerar testu aleatoriu y comparalo con Shakespeare. Cuando'l simulador detecta una semeyanza (esto ye, cuando'l xenerador de númberos aleatorios xenera un determináu valor dientro d'un determináu rangu), el simulador emula la coincidencies xenerando'l testu de la mesma.

En 2003, científicos en Paignton Zoo y la Universidá de Plymouth, en Devon, Inglaterra, reportaron que dexaron un tecláu d'ordenador na xaula de seis macacos mientres un mes. Non yá los monos nun fixeron más que producir cinco páxina consistentes nuna llarga serie de la lletra S, sinón qu'empezaron a atacar el tecláu con una piedra y siguieron mexando y defecando sobre él.

Lliteratura y cultura popular

Los viaxes de Gulliver (1782) de Jonathan Swift antemana la idea central del teorema, describiendo a un profesor de la Gran Academy of Lagado qu'intenta crear una llista completa de tola conocencia teniendo a los sos estudiantes constantemente escribiendo llinies de lletres al azar faciendo xirar los rabiles d'un mecanismu (Parte trés, Capítulu cinco).

Nun rellatu curtiu de Russell Maloney, "Inflexible Logic", apaecíu en The New Yorker en 1940, el protagonista siente que la so posición económica obligába-y a ayudar a la ciencia, polo que decidió probar la teoría. Los sos monos darréu empezaron a escribir, ensin error, clásicos de ficción y de non ficción. El millonariu taba ablucáu de ver les impolutas versiones de los diarios de Samuel Pepys, del cual él namái tenía una copia d'una edición bowdlerizada.

Un argumentu similar topar nel rellatu La biblioteca de Babel, de Jorge Luis Borges, describiendo una biblioteca que contién tolos llibros posibles xeneraos de la permutación de 25 signos en 410 páxines. Ente tolos volúmenes tien que tar el definitivu, el que contenga la verdá sobre l'universu. Por eso los habitantes de la biblioteca consagren la so vida a atopar esti llibru total. Borges fai referencia esplícita a la idea d'un monu infinitu nel so ensayu La biblioteca total, que de dalguna manera ye precursor de La biblioteca de Babel, trazando, amás, l'orixe de la idea hasta un pasaxe sobre la cosmogonía de Leucipo nel primer llibru de Metafísica d'Aristóteles.

Michael Ende nel so famosu llibru La hestoria inacabable plasma la mesma idea nun país de Fantasía, que'l so vixilante ye un monu. Los sos habitantes, llamaos los Antiguos Emperadores, xueguen "El xuegu de l'arbitrariedá", nel que llancen una especie de dados de lletres que los sos resultancies van compilando. Cada ciertos años surden pallabres, "si sigue xugándose cien años, mil años, cien mil años, con toa probabilidá va salir una vegada, por casualidá, un poema. Y si se xuega eternamente van tener que surdir tolos poemes, toles histories posibles, y depués toles histories d'histories, incluyida ésta na que precisamente tamos falando".

La cultura popular tamién fai referencies a esti teorema. Nun episodiu de The Simpsons, Last Exit to Springfield, Montgomery Burns tien una de les habitaciones de la so casona llena con mil monos con máquines d'escribir, unu de los cualos ye castigáu por escribir mal una lletra de Historia de dos ciudaes de Dickens. En Family Guy apaecen un grupu de monos collaborando nuna llinia de Romeo y Julieta de Shakespeare nuna escena cortada. Na Guía del Autoestopista Galácticu, Ford Prefect y Arthur Dent, so la influencia de la navegación de la improbabilidá infinita son asaltaos por un infinitu númberu de monos que quieren la so opinión sobre'l so testu de Hamlet. Nes tires risibles de Dilbert, Dogbert diz-y a Dilbert que'l so informe tomaría-y a trés monos diez minutos. El primer discu de la banda de punk rock de Leeds The Mekons, "The Quality of Mercy is Not Strnen", editáu orixinalmente por Virgin Records nel Reinu Xuníu en 1979 amosaba la semeya de portada d'un chimpancé escribiendo nuna máquina.

El teorema ye tamién la base de la obra de teatru d'un actu de David Ives, llamada "Words, words, words", qu'apaez na so coleición "Al in the Timing". Nella, trés monos, llamaos John Milton, Jonathan Swift y Franz Kafka son recluyíos nuna xaula hasta qu'escriban Hamlet. Hai un rellatu curtiu en tonu d'humor de R. A. Lafferty llamáu "Been a Long, Long Time" nel cual un ánxel ye castigáu a tener que repasar el testu hasta qu'en dalgún futuru distante (dempués de qu'un trillón d'universos nacieren y muertu) los monos produzan una copia perfecta d'una obra de Shakespeare.

Na obra de Tom Stoppard Rosencrantz & Guildenstern are Dead un personaxe diz "Si un millón de monos..." y depués nun puede siguir, por cuenta de que'l personaxe ta en Hamlet. Depués, remata la frase de manera distinta.

Nel añu 2000, el RFC del 1 d'abril del comité d'estándares d'Internet de la IETF propunxo una Familia de Protocolos d'Infinitos Monos (IMPS)», un métodu pa dirixir una granxa d'infinitos monos per Internet.

Nel númberu 25 del cómic Animal Man de Grant Morrison, tituláu "el ruempecabeces del monu", apaez esti animal na portada escribiendo a máquina'l guión del mesmu. Nel interior, este mesmu monu non yá escribe obres de Shakespeare, amás guioniza tebeos.

Robert Wilensky reparó jocosamente en 1996: «Toos oyimos dicir qu'un millón de monos aporreando un millón de máquines d'escribir eventualmente escribiríen les obres completes de Shakespeare. Güei, gracies a Internet, sabemos qu'eso nun ye verdá».

El comediante Bob Newhart tien dende los años 1960 un gag nel cual un téunicu de llaboratoriu supervisa un esperimentu con "un númberu infinitu de monos" y afaya qu'unu de los monos escribió "Ser o nun ser; esa ye la gezortenblatt." ('To be or not to be — that is thegrrdnm zsplkt.)

Goats, un popular webcómic ilustráu por Jonathan Rosenberg, empezó n'agostu de 2005 una historia llamada infinite typewriters («infinitos mecanógrafos») onde dellos personaxes se teletransportan por fuercia a una dimensión alternativa. Ellí afayen qu'esa dimensión ta poblada de monos con máquines d'escribir, presumiblemente escribiendo los guiones pa otres munches dimensiones.

Bibliografía

• Manuel García, Conrado Miguel (2015). «Momento estelares de la probabilidá y l'estadística». Lleiciones inaugurales de la Universidá Complutense de Madrid. https://www.ucm.es/data/cont/docs/3-2015-09-28-Lecci%C3%B3n%20Inaugural%202015-2016%20(Conrado%20Manuel%20Garc%C3%ADa).pdf. Consultáu'l 16 de setiembre de 2016. 

Enllaces esternos

• Borges a pie de páxina Esta páxina consagrada al escritor arxentín, paez ser l'únicu llugar n'Internet onde puede trate n'aición al "fantastic typing cybermonkey".

• Datos: Q487132