Ecuación de segundu grau

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Ecuación cuadrática.svg

Una ecuación de segundu grau[1][2] o ecuación cuadrática d'una variable ye una ecuación que tien la forma d'una suma alxebraica de términos que'l so grau máximu ye dos, esto ye, una ecuación cuadrática pue ser representada por un polinomiu de segundu grau o polinomiu cuadrático. La espresión canónica xeneral d'una ecuación cuadrática d'una variable ye:

onde x ye la variable, y a, b y c constantes; a ye'l coeficiente cuadrático (distintu de 0), b el coeficiente llineal y c ye'l términu independiente. Esti polinomiu puede interpretase por aciu la Gráfica d'una función gráfica d'una función cuadrática, esto ye, por una parábola. Esta representación gráfica ye útil, porque les interseiciones o puntu tanxencial d'esta gráfica, nel casu d'esistir, col exa X coinciden coles soluciones reales de la ecuación.

Historia[editar | editar la fonte]

Les ecuaciones de segundu grau y el so solución de les ecuaciones conocer dende l'antigüedá. En Babilonia conociéronse algoritmos pa resolvela. Foi atopáu independientemente n'otros llugares del mundu. En Grecia, el matemáticu Diofanto d'Alexandría apurrió un procedimientu pa resolver esti tipu d'ecuaciones (anque'l so métodu namái apurría una de les soluciones, inclusive nel casu de que los dos soluciones sían positives). La primer solución completa desenvolver el matemáticu Al-Juarismi (o Al-Khwarizmi según otres grafíes), nel sieglu IX nel so trabayu Compendiu de cálculu por reintegración y comparanza, cerrando con ello un problema que s'escorriera mientres sieglos. Basándose nel trabayu d'A el-Juarismi, el matemáticu xudeoespañol Abraham chigre Hiyya, nel so Liber embadorum, alderica la solución d'estes ecuaciones.[ensin referencies] Hai qu'esperar a Évariste Galois pa consiguir resolver polo xeneral les ecuaciones polinómicas, o saber cuándo son irresolubles por radicales, que vien ser una xeneralización de los métodos de resolvimientu de les ecuaciones de segundu grau.

La primera gran dificultá pudo surdir na solución d'ecuaciones cuadráticas dar cola ecuación na dómina de los pitagóricos, al calcular el llargor de la diagonal d'un cuadráu de llau 1 una y bones non podía espresase el raigañu cuadráu de dos como razón de dos númberos enteros.[3]

Na Renacencia al resolver que rique topar un númberu real que'l so cuadráu sía -1, superar cola adopción de númberos imaxinarios y la definición de la unidá imaxinaria i que cumple .[4][5]

Ecuación completa de segundu grau[editar | editar la fonte]

Pa una ecuación cuadrática con coeficientes reales o complexos esisten siempres dos soluciones, non necesariamente distintes, llamaes raigaños, que pueden ser reales o complexes (si los coeficientes son reales y esisten dos soluciones non reales, entós tienen de ser complexes conxugaes). Fórmula xeneral pal llogru de raigaños:


Usar pa indicar los dos soluciones:

y |Fallu al revisar la fórmula (error de sintaxis): {\displaystyle \ x_2 = \frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}}

Plantía:Demostración

Discriminante[editar | editar la fonte]

Quadratic equation discriminant.png

Exemplu del signu del discriminante:
: dos raíz complexes conxugaes.
: un raigañu real, pero de (multiplicidá 2).
: dos raíz reales distintes. Na fórmula anterior, la espresión dientro de la raigañu cuadráu recibe'l nome de discriminante de la ecuación cuadrática. Suel representase cola lletra D o bien cola lletra griega Δ (delta) en mayúscula:

Una ecuación cuadrática con coeficientes reales tien o bien dos soluciones reales distintes o una sola solución real de multiplicidá 2, o bien dos raíz complexes. El discriminante determina la índole y la cantidá de raigaños.

  • Si hai dos soluciones reales y distintos (la parábola crucia dos veces la exa de les ascises: X):
.
  • Si hai una solución real doble (la parábola solo toca nun puntu a la exa de les ascises: X):
  • Si hai dos soluciones complexes conxugaes (la parábola nun corta a la exa de les ascises: X):
onde i ye la unidá imaxinaria.

Forma amenorgada de la ecuación completa[editar | editar la fonte]

Cuando'l términu principal ye 1 la espresión queda como que les sos raigaños son:

Ecuaciones incompletes[editar | editar la fonte]

Ensin términu independiente[editar | editar la fonte]

Son de la forma:

, que les sos raigaños son

Ensin términu llineal[editar | editar la fonte]

Son de la forma , que les sos raigaños son reales opuestos o imaxinarios puros opuestos.

Si los raigaños son reales: o

Si los raigaños son imaxinaries pures: o

Solo'l términu de segundu grau[editar | editar la fonte]

que la so raigañu doble ye igual a 0

Completa con coeficiente llineal par[editar | editar la fonte]

Nesti casu apaez como coeficiente del términu de primer grau un númberu par 2m y l'ecuación ye

, siendo los raigaños

Completa amenorgada con coeficiente llineal par[editar | editar la fonte]

Nesti casu'l coeficiente principal ye 1; el coeficiente llineal ye par y asume formar

que les sos raigaños son

Ecuación bicuadrada[editar | editar la fonte]

Éstes son un casu particular de la ecuación de cuartu grau. Fálten-yos los términos a la tercera y a la primer potencia. La so forma polinómica ye:

Pa resolver estes ecuaciones tan solo hai que faer el cambéu de variable
Colo que nos queda: La resultancia resulta ser una ecuación de segundu grau que podemos resolver usando la fórmula:

Al desfaer el cambéu de variable apaecen los cuatro soluciones:

Ecuación bicuadrada simétrica[editar | editar la fonte]

Una ecuación bicuadrada simétrica asume la forma:[6]

Teorema de Cardano-Vieta[editar | editar la fonte]

Partiendo de que tenemos una ecuación cuadrática con raigaños , podemos construyir el binomiu a partir d'estes con:

De lo que se deduz:

Suma de raigaños

Plantía:Demostración

Productu de raigaños Plantía:Demostración

Observación:

Plantía:Demostración

Relación ente la fórmula xeneral y la proporción áurea[editar | editar la fonte]

solo na solución positiva si na fórmula xeneral el valor de les variables ye'l siguiente o se presenta'l siguiente casu en que

entós la fórmula xeneral va dar como resultáu'l númberu áureo

Ver tamién[editar | editar la fonte]

Referencies[editar | editar la fonte]

  1. Plantía:Springer
  2. Weisstein, Eric W. «Ecuación cuadrática» (inglés). MathWorld. Wolfram Research.
  3. Hoffmann. Historia de la matemática
  4. Birkhoff- Mac Lane. Álxebra moderna
  5. Otto Bekken. Una curtia hestoria de la álxebra
  6. (1985) Manual de matemátiques pa la enseñanza media. Mir.

Enllaces esternos[editar | editar la fonte]


Ecuación de segundo grado