Ecuación de Laplace

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Pierre-Simon Laplace

En cálculu vectorial, la ecuación de Laplace ye una ecuación en derivaes parciales de segundu orde de tipu elípticu, que recibe esi nome n'honor al físicu y matemáticu Pierre-Simon Laplace.

Introducida poles necesidaes de la mecánica newtoniana, la ecuación de Laplace apaez en munches otres cañes de la física teórica como la astronomía, la electrostática, la mecánica de fluyíos o la mecánica cuántica.

Definición[editar | editar la fonte]

En tres dimensiones, el problema consiste en topar funciones reales , doblemente diferenciables, de variables reales , tal que

En coordenaes cartesianes,

En coordenaes cilíndriques ,

En coordenaes esfériques ,

Munches vegaes escribir de la siguiente manera:

onde ye'l operador de Laplace o "Laplaciano".

Esta ecuación en derivaes parciales, tamién puede escribise como

onde ye la diverxencia, y ye'l gradiente.

O sinón, delles vegaes la notación puede ser:

onde tamién ye l'operador de Laplace.

Les soluciones de la ecuación de Laplace denominar funciones harmóniques.

Si del llau derechu de la igualdá especifica una función, , esto ye, si la ecuación escríbese como:

entós tiense la "ecuación de Poisson", polo que la ecuación de Laplace ye un casu particular d'esta. La ecuación de Laplace tamién ye un casu particular de la ecuación de Helmholtz.

La ecuación de Laplace, según la ecuación de Poisson, son los exemplos más simples d'ecuaciones en derivaes parciales elíptiques.


Condiciones de contorna o frontera[editar | editar la fonte]

Ecuación de Laplace sobre una corona (r=2 y R=4) con condiciones de contorna de Dirichlet: o(r=2)=0 y o(r=4)=4ensin(5*θ)

Problema de Dirichlet[editar | editar la fonte]

Artículu principal: Problema de Dirichlet

El problema de Dirichlet pa la ecuación de Laplace consiste en topar una solución en dalgún dominiu tal que sobre la so contorna o frontera ye igual a una función determinada:

Como l'operador de Laplace apaez na ecuación del calor, una interpretación física d'esti problema ye lo siguiente: afitar la temperatura sobre la contorna del dominiu d'alcuerdu a una especificación determinada de la condición de contorna. La temperatura flúi hasta qu'algama un estáu estacionariu nel que dicha temperatura en cada puntu del dominiu nun camuda más. La distribución de la temperatura nel interior va ser entós la solución correspondiente al problema de Dirichlet.

Problema de Neumann[editar | editar la fonte]

Artículu principal: Problema de Neumann

Les condiciones de contorna de Neumann pa la ecuación de Laplace nun especifica la función en sí mesmu sobre la contorna , pero sí la so derivada normal. Físicamente, esto correspuende a la construcción d'un potencial pa un campu vectorial que'l so efectu ye conocíu na contorna de :

Les soluciones de la ecuación de Laplace son funciones harmóniques; son toes analítiques dientro del dominiu onde la ecuación satisfaise. Si cualesquier de dos funciones son soluciones a la ecuación de Laplace (o de cualquier ecuación diferencial homoxénea), la so suma (o cualquier combinación llineal) ye tamién una solución. Esta propiedá, llamada principiu de superposición, ye bien útil, por casu, les soluciones de problemes complexos pueden construyise a cencielles sumando les soluciones determinaes y variables.

Ecuación de Laplace en dos dimensiones[editar | editar la fonte]

La ecuación de Laplace en dos variables independientes:

Funciones analítiques[editar | editar la fonte]

Les partes reales ya imaxinaries d'una función analítica nos complexos satisfaen la ecuación de Laplace. Esto ye, si , y si

entós la condición necesaria por que sía analítica ye que se satisfaigan les ecuaciones de Cauchy-Riemann:

onde ye la primer derivada parcial de con al respective de .

Entós

Polo tanto satisfai la ecuación de Laplace. Un cálculu similar demuestra que tamién satisfai la ecuación de Laplace.

A la inversa, dada una función harmónica, ye la parte real d'una función analítica, (siquier localmente). Una forma de probalo ye:

entós les ecuaciones de Cauchy-Riemann satisfáense:

Esta relación nun determina , namái les sos medríes:

La ecuación de Laplace pa implica que la condición de integrabilidad pa satisfaise:

y asina puede definise con una integral de llinia. La condición de integrabilidad y el teorema de Stokes implica que'l valor de la integral de llinia que conecta dos puntos ye independiente del camín. El par de soluciones resultante de la ecuación de Laplace denominar funciones harmóniques conxugaes. Esta construcción namái ye válida localmente, o siempres que'l camín nun tea arrodiando a una singularidá. Por casu, si y son coordenaes polares y

entós una función analítica correspondiente ye

Sicasí, l'ángulu ye univaluada solamente nuna rexón que nun inclúi al orixe.

La estrecha relación ente la ecuación de Laplace y les funciones analítiques establez que cualquier solución de la ecuación de Laplace tien derivaes en tolos ordes, y puede espandise en series de potencies, siquier dientro d'un círculu que nun incluya una singularidá. Esto ta en contraste coles soluciones de la ecuación d'onda, que polo xeneral tien menor regularidá.

Hai una íntima conexón ente les series de potencies y les series de Fourier. Si espandimos una función en series de potencies dientro d'un círculu de radiu , esto significa que

con coeficientes definíos afechiscamente que les sos partes reales ya imaxinaries tán daes por:

Entós

la cual ye una serie de Fourier de .

Fluxu de fluyíu[editar | editar la fonte]

Sean les cantidaes y les componentes horizontal y vertical del campu de velocidá del fluxu incompresible estacionariu y irrotacional en dos dimensiones, respectivamente. La condición de que'l fluxu sía incompresible ye que :

y la condición de que'l fluxu sía irrotacional ye que

Si definimos el diferencial de como

entós la condición de incompresibilidad ye la de integrabilidad pa esti diferencial: la función resultante llámase función de corriente porque ye constante a lo llargo de les llinies de fluxu. Les primeres derivaes de son

y la condición de irrotacionalidad establez que satisfai la ecuación de Laplace. La función harmónica , que ye'l conxugáu de , denominar potencial de velocidá. Les ecuaciones de Cauchy-Riemann establecen que :

Asina que, a cada función analítica correspuéndelu un fluxu de fluyíu incompresible estacionariu y irrotacional nel planu. La parte real ye'l potencial de velocidá, y la parte imaxinaria ye la función de corriente.

Electrostática[editar | editar la fonte]

D'alcuerdu a les ecuaciones de Maxwell, un campu eléctrico (o,v) nun espaciu de dos dimensiones que ye independiente del tiempu satisfai :

onde ye la densidá de carga. La primer ecuación de Maxwell ye la condición de integrabilidad pal diferencial

asína que'l potencial eléctricu  puede construyise pa satisfaer

La segunda ecuación de Maxwell establez que

conocida como la ecuación de Poisson.

Ye importante reparar que la ecuación de Laplace puede usase en problemes de tres dimensiones en electroestática y fluxu de fluyíu según en dos dimensiones.

Ecuación de Laplace en tres dimensiones[editar | editar la fonte]

Solución fundamental[editar | editar la fonte]

Una solución fundamental de la ecuación de Laplace satisfai:

onde la función delta de Dirac ye una fonte unitaria concentrada nun puntu Nun ye una función en sí, sicasí puede pensase como la llende de funciones que la so integral sobremanera l'espaciu ye unitaria, y que la so rexón onde la función ye distinta de cero ye namái nun puntu (ver solución débil). Ye común escoyer una convención de signos distintu pa esta ecuación, esto fai cuando se define la solución fundamental. Frecuentemente la eleición d'esti signu ye conveniente pa trabayar con un que ye un operador positivu. Asina la definición de la solución fundamental implica que, si'l laplaciano de ye integráu sobre cualquier volume que zarra'l puntu de la fonte, entós :

La ecuación de Laplace nun camuda so un cambéu de coordenaes, y entós podemos esperar que la solución fundamental puede llograse ente soluciones que dependen solamente de la distancia del puntu de la fonte. Si escoyemos el volume d'una bola de radiu alredor del puntu de la fonte, entós pol teorema de la diverxencia de Gauss:

Entós

sobre una esfera de radiu que tien como centro al puntu de la fonte y polo tanto

Un argumentu similar amuesa qu'en dos dimensiones:

Función de Green[editar | editar la fonte]

Una función de Green ye una solución fundamental que tamién satisfai una condición fayadiza na contorna d'un volume . Por casu, satisfai

Agora si ye cualquier solución de la ecuación de Poisson en :

y toma valores de contorna sobre , entós podemos aplicar la identidá de Green, una consecuencia del teorema de la diverxencia, que satisfai :

les notaciones y referir a derivaes normales a . En vista de que les condiciones satisfaen y , esta resultancia simplifica a :

Asina la función de Green describe la influencia de y en . Pal casu del interior d'una esfera de radiu , la función de Green puede llograse per mediu de la reflexón:[1] el puntu de la fonte a distancia del centru de la esfera reflexar a lo llargo de la llinia radial al puntu que ye nuna distancia :

Reparar que si ta dientro de la esfera, entós va tar fora de la esfera. La función de Green ta dada entós por

onde ye la distancia al puntu de la fonte y ye la distancia al puntu reflexáu . Una consecuencia d'esta espresión pa la función de Green ye la fórmula integral de Poisson. Sía , , y les componentes de coordenaes esfériques del puntu de la fonte . Equí ye l'ángulu cola exa vertical, que ye contraria a la notación matemática estauxunidense, pero cumple col estándar européu y la práctica de la Física. Entós la solución de la ecuación de Laplace dientro de la esfera ta dada por

.

onde

Una consecuencia simple d'esta fórmula ye que si ye una función harmónica, el valor de dientro de la esfera ye'l valor mediu de los valores sobre la esfera. Esta propiedá de valor mediu implica darréu que funciones harmóniques non constantes nun pueden tomar el so valor máximu nun puntu interior.

Electrostática[editar | editar la fonte]

Nel espaciu llibre la ecuación de laplace de cualquier potencial electroestático ten de ser igual a cero yá que (densidá de carga volumétrica) ye cero nel espaciu llibre.

A partir del gradiente del potencial llógrase'l campu eléctrico

Tomando la diverxencia del campu eléctrico llógrase la ecuación de Poisson, que rellaciona'l potencial eléctricu cola densidá de carga

Nel casu particular del espaciu llibre () la ecuación de Poisson amenorgar a la de Laplace.

Usando'l teorema de la unicidá y amosando qu'un potencial satisfai la ecuación de Laplace (la segunda derivada de tendría de ser cero nel espaciu llibre) y el potencial tien los valores correctos na contorna, el potencial entós ta unívocamente definíu.

Un potencial que nun satisfai la ecuación de Laplace xuntu cola condición de contorna ye un potencial electroestático inválidu.

Ver tamién[editar | editar la fonte]

Notes[editar | editar la fonte]

  1. Sommerfeld, 1949

Referencies[editar | editar la fonte]



Ecuación de Laplace