Serie de Fourier

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Les primeres cuatro aproximamientos pa una función periódica gradiada

Una serie de Fourier ye una serie infinita que converxe puntualmente a una función periódica y continua a cachos (o per partes). Les series de Fourier constitúin la ferramienta matemático básica del analís de Fourier emplegáu p'analizar funciones periódiques al traviés de la descomposición de dicha función nuna suma infinita de funciones sinusoidales muncho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencies enteres). El nome deber al matemáticu francés Jean-Baptiste Joseph Fourier, que desenvolvió la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Foi'l primeru qu'estudió tales series sistemáticamente, y publicó les sos resultancies iniciales en 1807 y 1811. Esta área d'investigación llámase delles vegaes analís harmónicu.

Ye una aplicación usada en munches cañes de la inxeniería, amás de ser una ferramienta por demás útil na teoría matemática astracta. Árees d'aplicación inclúin analís vibratoriu, acústica, óptica, procesamientu d'imaxes y señales, y compresión de datos. N'inxeniería, pal casu de los sistemes de telecomunicaciones, y al traviés del usu de los componentes espectrales de frecuencia d'una señal dada, puede optimizase el diseñu d'un sistema pa la señal portadora del mesmu. Refiérase al usu d'un analizador d'espectros.

Les series de Fourier tienen la forma:


Onde y denominar coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función

Definición[editar | editar la fonte]

Si ye una función de variable real , que ye integrable nel intervalu entós puede llograse el desenvolvimientu en serie de Fourier de nesi intervalu. Fora del intervalu la serie ye periódica, con períodu . Si ye periódica en tola recta real, l'aproximamientu por series de Fourier tamién va ser válida en tolos valores de . Depués la serie de Fourier acomuñada a ye:


Onde , y son los coeficientes de Fourier que tomen los valores:

Pola identidá de Euler, les fórmules de riba pueden espresase tamién na so forma complexa:


Los coeficientes agora seríen:


Otra forma de definir la serie de Fourier ye:


onde

y .


siendo:

a esta forma de la serie de Fourier conózse-y como la serie trigonométrica de Fourier.

Teorema de Dirichlet: Converxencia a una función periódica[editar | editar la fonte]

Supongamos que f(x) ye una función periódica, continua a cachos y acutada, que nun periodu tien un númberu finito de máximos y mínimos locales y un númberu finito de discontinuidaes, de períodu 2p.

Sean



y

entós la serie converxe a


Onde , y

Historia[editar | editar la fonte]

Les series de Fourier reciben el so nome n'honor a Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), que fixo importantes contribuciones al estudiu de les series trigonométriques, que primeramente fueren consideraes por Leonhard Euler, Jean -y Rond d'Alembert y Daniel Bernoulli.[lower-alpha 1] Fourier introdució les series col propósitu de resolver la ecuación de conducción del calor nuna llámina de metal publicando les sos resultancies en 1807 Mémoire sur la propagation de la chaleur dans -yos corps solides ('Memoria sobre l'espardimientu del calor nos cuerpos sólidos'), y publicando el so Théorie analytique de la chaleur ('Teoría analítica del calor') en 1822. Idees previes en descomponer una función periódica na suma de simples funciones d'oscilación daten dende'l sieglu III a.C., cuando astrónomos antiguos propunxeron un modelu empíricu de movimientu planetariu con base en epiciclo.

La ecuación del calor ye una ecuación en derivaes parciales. Primeramente al trabayu de Fourier, nun se conocía solución dalguna pa la ecuación de calor en forma xeneral, anque se conocíen soluciones particulares si la fonte de calor portar de manera senciellasobremanera, si la fonte yera una onda de senu o cosenu. Estes soluciones simples dacuando son llamaes valores propios. La idea de Fourier yera modelar una fonte de calor complexo con una superposición (o combinación llineal) de simples ondes sinusoidales y p'escribir la solución como una superposición de los correspondientes valores propios. A la superposición o combinación llineal llámase-y Serie de Fourier.

Dende un puntu de vista más actual, les resultancies de Fourier son daqué informales por cuenta de la falta de precisión na noción de la función matemática y la integración a entamos del sieglu XIX. Dempués, Peter Gustav Lejeune Dirichlet[1] y Bernhard Riemann[2][3][4] espresaron les resultancies de Fourier con mayor precisión y formalidá.

Anque'l motivu orixinal yera resolver la ecuación de calor, tiempu dempués foi obviu que podía usase la mesma técnica a un gran conxuntu de problemes físicos y matemáticos, especialmente aquellos qu'arreyaben ecuaciones diferenciales llineales con coeficientes constantes, pa los cualos les sos soluciones úniques yeren sinusoidales. Les series de Fourier tienen munches aplicaciones na inxeniería eléctrica, analís de vibraciones, acústica, óptica, procesamientu de señales, retoque fotográficu, mecánica cuántica, econometría,[5] la teoría d'estructures con cascarón delgáu,[6] etc.

Exemplos de series de Fourier[editar | editar la fonte]

Gráficu d'una función periódica.
Animación de la suma de los 5 primeros harmónicos.

Veamos un exemplu:


Nesti casu, los coeficientes de Fourier dannos esto:


Si la serie de Fourier converxe escontra: ƒ(x) de cada puntu x onde ƒ ye diferenciable:

Inxeniería[editar | editar la fonte]

En inxeniería l'analís de señales nel dominiu de la frecuencia realízase al traviés de les series de Fourier, por cuanto ye bien común, reemplazar la variable x por ωt (el productu de la frecuencia angular pol tiempu), resultando les componentes:


Polo tanto:


Formulaciones[editar | editar la fonte]

Forma compacta[editar | editar la fonte]

N'ocasiones ye más útil conocer l'amplitú y la fase en términos cosinusoidales en llugar d'amplitúes cosinusoidales y sinusoidal. Otra forma d'espresar la complexa forma de la serie de Fourier ye:


onde :

Forma esponencial[editar | editar la fonte]

Pola identidá de Euler pa la esponencial complexa, operando afechiscamente, si


la serie de Fourier puede espresase como la suma de dos series:


En forma más compacta:


estes ecuaciones solo son válides cuando'l periodu con . Otra forma d'espresar la forma complexa de la serie de Fourier ye:


onde :

Formulación moderna[editar | editar la fonte]

Realmente'l desenvolvimientu en serie de Fourier facer pa funciones de cuadráu integrable, esto ye, pa funciones que cumplan que:


El conxuntu de toles funciones integrables definíes nel intervalu se denota con . Esti conxuntu, tien definíu un productu internu dadu por:


que lo dota d'estructura de espaciu de Hilbert. D'esta miente, toles funciones de pueden desenvolvese en series de Fourier. Asina,el conxuntu ye una base ortonormal del espaciu . El desenvolvimientu de Fourier puede espresase como:


Onde son los coeficientes del desenvolvimientu de Fourier.

A lo último, la identidá de Parseval diz que dada una función de cuadráu integrable y los coeficientes de Fourier , verifícase que:


En llinguaxe técnicu, podríamos dicir qu'hai una isometría ente l'espaciu de funciones de cuadráu integrable y l'espaciu de sucesiones llineales indexadas nos enteros que los sos términos tienen cuadraos sumables.

Formulación xeneral[editar | editar la fonte]

Les propiedaes útiles de les series de Fourier débense principalmente a la ortogonalidad y a la propiedá de homomorfismo de les funciones yi n x.

Otres sucesiones de funciones ortogonales tienen propiedaes similares, anque delles identidaes útiles, concirniendo por casu a les convoluciones, nun van siguir cumpliéndose si pierde la "propiedá de homomorfismo".

Dellos exemplos son les secuencies de funciones de Bessel y los polinomios ortogonales. Tales sucesiones llógrense de normal como soluciones d'una ecuación diferencial; una gran clase de tales sucesiones útiles son soluciones de los llamaos problemes de Sturm-Liouville.

Aplicaciones[editar | editar la fonte]

  • Generación de formes d'onda de corriente o tensión eléctrico per mediu de la superposición de sinusoides xeneraos por osciladores eléctrónicos d'amplitú variable que les sos frecuencies yá tán determinaes.
  • Analís nel comportamientu harmónicu d'una señal.
  • Reforzamientu de señales.
  • Estudiu de la respuesta nel tiempu d'una variable circuital eléctrica onde la señal d'entrada nun ye sinusoidal o cosinusoidal, por aciu l'usu de tresformaes de Laplace y/o solución en réxime permanente sinusoidal nel dominiu de la frecuencia.
  • El resolvimientu de delles ecuaciones diferenciales en derivaes parciales almiten soluciones particulares en forma de series de Fourier fácilmente computables, y que llograr soluciones práctiques, na teoría de la tresmisión del calor, la teoría de plaques, etc.

Ver tamién[editar | editar la fonte]

Notes[editar | editar la fonte]

  1. Estos trés autores fixeron un trabayu importante na ecuación d'onda, especialmente D'Alembert. El trabayu de Euler nesta área foi principalmenteen collaboración con Bernoulli, anque l'anterior fixo contribuciones individuales a la teoría d'ondes y vibraciones (Fetter y Walecka, 2003, pp. 209, 210)

Referencies[editar | editar la fonte]

  1. Lejeune-Dirichlet, P. "Sur la convergence deas séries trigonométriques qui servent à représenter xune fonction arbitraire ente deas llindes données". (In French), transl. "On the convergence of trigonometric series which serve to represent an arbitrary function between two given limits". Journal f¨ur die reine und angewandte Mathematik, Vol. 4 (1829) p. 157–169.
  2. «Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe» (alemán). Habilitationschrift, Gotinga; 1854. Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Gotinga, vol. 13, 1867. Published posthumously for Riemann by Richard Dedekind. Archiváu dende l'orixinal, el 20 de mayu de 2008. Consultáu'l 19 de mayu 2008.
  3. D. Mascre, Bernhard Riemann: Posthumous Thesis on the Representation of Functions by Triginometric Series (1867). Landmark Writings in Western Mathematics 1640–1940, Ivor Grattan-Guinness (ed.); pg. 492. Elsevier, 20 May 2005.Accessed 7 Dec 2012.</
  4. Theory of Complex Functions: Readings in Mathematics, by Reinhold Remmert; pg 29. Springer, 1991. Accessed 7 Dec 2012.
  5. (1995) Analysis of Economic Time Series. Economic Theory, Econometrics, and Mathematical Economics. Elsevier. ISBN 0-12-515751-7.
  6. (1957) Statik und Dynamik der Schalen. Berlin: Springer-Verlag.

Bibliografía[editar | editar la fonte]

  • M. R. Spiegel, J. Liu, L. Abellanas (2003): Fórmules y tables de matemática aplicada. Segunda edición. Serie Schaum. Mc Graw-Hill.
  • Fetter, Alexander L. (2003). Theoretical Mechanics of Particles and Continua. Courier Corporation, 209, 210. ISBN 9780486432618 7.

Enllaces esternos[editar | editar la fonte]



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