Axoma d'eleición

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En teoría de conxuntos, el axoma d'eleición (o axoma de escogencia), ye un axoma que postula que pa cada familia de conxuntos non vacíos, esiste otru conxuntu que contién un elementu de cada unu d'aquellos. De manera informal, afirma que dada una colección de «caxes» con oxetos dientro d'elles, ye posible escoyer un oxetu de cada caxa. Qu'esti procedimientu puede llevase a cabu ye trivialmente ciertu siempres que dicha familia seya finita, o cuando esiste una regla bien determinada que dexa «escoyer» un únicu elementu de cada conxuntu d'ella. Sicasí, l'axoma ye indispensable nel casu más xeneral d'una familia infinita arbitraria.

Foi formuláu en 1904 por Ernst Zermelo, para demostrar que tou conxuntu puede ser bien ordenáu.[1] Anque orixinalmente foi revesosu, anguaño ye usáu ensin reserves pola mayoría de los matemáticos. Hai entá, sicasí, especialmente na teoría de conxuntos, corrientes d'opinión que refuguen l'axoma o qu'investiguen consecuencies d'otros axomes inconsistentes con él.

Enunciáu[editar | editar la fonte]

L'enunciáu del axoma d'eleición afirma qu'esiste una función d'eleición pa cada familia de conxuntos non vacíos, esto ye, una función f tal que pa cada conxuntu b del so dominiu, f(b) ∈ b. Na teoría de Zermelo-Fraenkel o similares, el so enunciáu formal ye:

Axoma d'eleición

onde Fun f y Df denotan «f ye una función» y el dominiu de f» en dicha teoría. L'axoma d'eleición tamién s'enuncia de maneres similares, nes qu'el siginificado de «función d'eleición» varia llixeramente:

Los enunciaos siguientes son equivalentes:[2]

  • Toa familia de conxuntos non vacíos F tien una función d'eleición.
  • Pa toa familia de conxuntos non vacíos F, el so productu cartesianu ye non vacíu.
  • Pa tou conxuntu A, esiste una función d'eleición sobre la colección de les sos subconxuntos non vacíos.
  • Pa toa familia de conxuntos non vacíos dixuntos dos a dos, F, esiste un conxuntu D que contién esactamente un elementu de cada conxuntu de F: |DA | = 1, pa cada AF.

Otra manera, la negación del axoma d'eleición afirma qu'esiste una familia de conxuntos —non vacíos— que nun tener nenguna función d'eleición.

Usu[editar | editar la fonte]

Hasta finales del sieglu XIX, l'axoma d'eleición usábase casi siempres implícitamente. Por casu, dempués de demostrar que'l conxuntu X contenía namái conxuntos non vacíos, un matemáticu diría "sía F(S) un elementu de S pa tou S en X". Ye polo xeneral imposible demostrar que F esiste ensin l'axoma d'eleición, pero esto nun foi notáu antes de Zermelo.

Non siempres se riquir l'axoma d'eleición. Si X ye finito, el "axoma" necesariu deducir de los otros axomes de la teoría de conxuntos. En tal casu ye equivalente a dicir que si se tien un númberu finito de caxes, caúna con siquier un oxetu, puede escoyese esactamente un oxetu de cada caxa. Esto rescampla: empezar na primer caxa, escuéyese un oxetu; dir a la segunda, escuéyese un oxetu; y asina socesivamente. Como namái hai finitas caxes, esti procedimientu d'eleición va concluyise finalmente. La resultancia ye una función d'eleición esplícita: una qu'a la primer caxa asígnalu'l primer oxetu escoyíu, a la segunda'l segundu, etcétera. Una prueba formal pa tou conxuntu finito riquiría'l principiu de inducción matemática.

La dificultá apaez cuando nun hai una eleición natural d'elementos de cada conxuntu. Si non pueden faese eleiciones esplícites, ¿cómo saber qu'esiste'l conxuntu deseyáu? Por casu, supóngase que X ye'l conxuntu de tolos subconxuntos non vacíos de los reales. Primero podría intentase proceder como si X fuera finito; pero si inténtase escoyer un elementu de cada conxuntu, como X ye infinitu, el procedimientu d'eleición nun va terminar nunca y nunca podrá producise una función d'eleición pa X. Depués puede intentase el trucu de tomar l'elementu mínimu de cada conxuntu; pero dalgunos subconxuntos de los reales, como'l intervalu abiertu (0,1), nun tienen mínimu, asina que esta táctica nun funcionar tampoco.

La razón pola que podíen escoyese elementos mínimos de los subconxuntos de los naturales ye qu'éstos vienen yá bien ordenaos: tou subconxuntu de los naturales tien un únicu elementu mínimu respectu al orde natural. Seique a esti puntu unu siéntase tentáu a pensar: "anque l'orde avezáu de los númberos reales nun funcionar, ten de ser posible atopar un orde distintu que sía, esti sí, un bon orde; entós la función d'eleición puede ser tomar l'elementu mínimu de cada conxuntu respectu al nuevu orde". El problema entós se "amenorga" al d'atopar un bon orde nos reales, lo que rique del axoma d'eleición pa la so realización: tou conxuntu puede ser bienordenado si y namái si val l'axoma d'eleición.

Una demostración que faiga usu de AE nunca ye constructiva: entá si dicha demostración produz un oxetu, va ser imposible determinar esactamente qué oxetu ye. Arriendes d'ello, anque l'axoma d'eleición implica qu'hai un bon orde nos reales, nun da un exemplu. Sicasí, la razón pola que se queríen bien ordenar los reales yera que pa cada conxuntu de X pudiera escoyese explícitamente un elementu; pero si non puede determinase el bon orde usáu, tal eleición tampoco ye esplícita. Esta ye una de les razones poles qu'a dellos matemáticos ofiéndelos l'axoma d'eleición; los constructivistas, por casu, afirmen que toles pruebes d'esistencia tendríen de ser dafechu esplícites, pos si esiste daqué, ten de ser posible topalo; refuguen asina l'axoma d'eleición, pos afirma la esistencia d'un oxetu ensin dicir qué ye. Per otru llau, el solu fechu de que s'usara AE pa demostrar la esistencia d'un conxuntu nun significa que nun pueda ser construyíu por otros métodos.

Independencia[editar | editar la fonte]

Del trabayu de Kurt Gödel[3] y Paul Cohen deduzse que l'axoma d'eleición ye lóxicamente independiente de los otros axomes de la teoría axomática de conxuntos. Esto significa que nin AE nin la so negación pueden demostrase ciertos dientro de los axomes de Zermelo-Fraenkel (ZF), si esa teoría ye consistente. Arriendes d'ello, asumir AE o la so negación nunca va llevar a una contradicción que nun se pudiera llograr ensin tal supuestu.

La decisión, entós, de si ye o non apropiáu faer usu d'él nuna demostración non puede tomase basándose namái n'otros axomes de la teoría de conxuntos; hai que buscar otres razones. Un argumentu dáu a favor d'usar l'axoma d'eleición ye a cencielles que ye conveniente: usalo nun puede faer dañu (resultar en contradicciones) y fai posible demostrar delles proposiciones qu'otra manera non se podríen probar.

L'axoma d'eleición nun ye la única afirmación significativa ya independiente de ZF; la hipótesis del continuu xeneralizada (HCG), por casu, non yá ye independiente de ZF, amás ser de ZF col axoma d'eleición (ZFE, o ZFC n'inglés). Sicasí, ZF más HCG necesariamente implica AE, colo cual HCG ye puramente más fuerte que AE, anque dambos sían independientes de ZF.

Una razón pola qu'a los matemáticos nun los presta l'axoma ye que tien por consecuencia la esistencia de dellos oxetos contraintuitivos. Un exemplu d'ello ye la paradoxa de Banach-Tarski, que diz básicamente que ye posible cortar una bola tridimensional en finitas partes, y usando namái rotación y tresllación, reensamblarlas en dos boles del mesmu volume que la orixinal. La prueba, como toles pruebes qu'arreyen l'axoma d'eleición, ye namái d'esistencia: nun diz cómo se debe cortar la esfera, namái diz que puede faese.

Per otru llau, la negación de AE ye tamién estraña. Por casu, l'afirmación de que daos dos conxuntos cualesquier S y T, la cardinalidad de S ye menor, igual, o mayor que la de T ye equivalente al axoma d'eleición; n'otres pallabres, si asume la negación d'ésti, hai dos conxuntos S y T de tamañu incomparable: nengún puédese inyectar nel otru.

Una tercer posibilidá ye probar teoremas ensin usar nin l'axoma nin la so negación, la táctica preferida en matemátiques constructives. Tales afirmaciones van ser ciertes en cualesquier modelo de ZF, independientemente de la certidume o falsedá del axoma d'eleición en dichu modelu. Esto fai que cualquier proposición que rica AE o la so negación seya indecidible: la paradoxa de Banach-Tarski, por casu, non puede demostrase como cierta (pos non puede descomponese la esfera de la manera indicada) nin como falsa (pos non puede demostrase que tal descomposición nun esista); ésta, sicasí, puede reformulase como una afirmación sobre los modelos de ZF: "en tou modelu de ZF nel que valga AE, vale tamién la paradoxa de Banach-Tarski". Coles mesmes, toles afirmaciones llistaes embaxo que riquen eleición o dalguna versión más débil son indecidibles en ZF; pero por ser demostrables en ZFE, hai modelos de ZF nos que son ciertes.

Axomes más fuertes[editar | editar la fonte]

El axoma de constructibilidad, igual que la hipótesis del continuu xeneralizada, implica l'axoma d'eleición, pero ye puramente más fuerte.

En teoríes de clases, tales como la teoría de conxuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel o la de Morse-Kelley, hai un posible axoma llamáu axoma d'eleición global, que ye más fuerte que l'axoma d'eleición pa conxuntos pos aplica tamién a clases propies.

Equivalentes[editar | editar la fonte]

Esiste un gran númberu de proposiciones importantes que, asumiendo los axomes de ZF (ensin AE nin la so negación), son equivalentes al axoma d'eleición, nel sentíu de que de cualesquier d'elles puede demostrase dichu axoma y viceversa.[4] Ente los más importantes tán el principiu de bona ordenación de Zermelo y el lema de Zorn.

Les siguientes proposiciones son equivalentes al axoma d'eleición:[5]

Teoría de conxuntos
  • Principiu de bona ordenación de Zermelo: tou conxuntu puede ser bien ordenáu.
  • Si un conxuntu A ye infinitu, entós A tien la mesma cardinalidad que A × A.
  • Tricotomía: daos dos conxuntos, éstos tienen la mesma cardinalidad, o bien unu tien una cardinalidad menor que l'otru.
  • Toa función sobreyectiva tien una inversa por derecha.
  • Teorema de König: la suma d'una familia de cardinales ye puramente menor que'l productu d'una familia de cardinales mayores.[6]
Teoría del orde
Álxebra
Topoloxía

Formes más débiles[editar | editar la fonte]

Hai delles proposiciones más débiles que, anque non equivalentes al axoma d'eleición, tán fuertemente rellacionaes como, por casu:

Resultaos que riquen AE pero son más débiles[editar | editar la fonte]

Unu de los aspeutos más interesantes del axoma d'eleición ye'l gran númberu de llugares na matemática nos qu'apaez. He equí delles afirmaciones que riquen l'axoma d'eleición nel sentíu de que nun son demostrables en ZF pero sí en ZFE. De forma equivalente, éstes son ciertes en tolos modelos de ZFE y falses en dellos modelos de ZF.

Formes más fuertes de AE[editar | editar la fonte]

Agora, van considerase formes más fuertes de la negación de AE. Por casu, l'afirmación de que tou conxuntu de númberos reales tien la propiedá de Baire ye más fuerte que ¬AE, que niega la esistencia d'una función d'eleición en seique una sola colección de conxuntos non vacíos.

Resultaos que riquen AE[editar | editar la fonte]

Hai modelos de la teoría de Zermelo-Fraenkel nos que l'axoma d'eleición ye falsu; d'equí p'arriba va embrivise "teoría de conxuntos de Zermelo-Fraenkel más la negación del axoma d'eleición" por ZF¬Y. En dellos modelos de ZF¬Y ye posible probar la negación de delles propiedaes comunes. Y yá que un modelu de ZF¬Y ye tamién modelu de ZF, caúna de les siguientes afirmaciones ye válida en dalgún modelu de ZF (suponiendo, como siempres, que ZF ye consistente):

  • Esiste un modelu de ZF¬Y en el qu'hai una función f de los reales nos reales que nun ye continua en a, pero pa toa secuencia {xn} que converxa a a, f(xn) converxe a f(a).
  • Esiste un modelu de ZF¬Y en el que'l conxuntu de los reales ye una unión numerable de conxuntos numerables.
  • Esiste un modelu de ZF¬Y en el qu'hai un cuerpu ensin clausura alxebraica.
  • En tolos modelos de ZF¬Y hai un espaciu vectorial ensin base.
  • Esiste un modelu de ZF¬Y en el qu'hai un espaciu vectorial con dos bases de cardinalidad distintu.
  • Esiste un modelu de ZF¬Y en el que tou subconxuntu de Rn ye medible. Con esto ye posible esaniciar resultaos contraintuitivos como la paradoxa de Banach-Tarski, que son demostrables en ZFE.
  • En nengún modelu de ZF¬Y vale la hipótesis del continuu xeneralizada.

Referencies[editar | editar la fonte]

  1. Zermelo 1904
  2. Pa estes equivalencies, vease Jech 1973, §2, y Herrlich 2006, §1 y §2. Un gran númberu d'equivalentes puede atopase en Rubin & Rubin 1985.
  3. Gödel 1938 y otros.
  4. Ver Rubin & Rubin 1985.
  5. Estes equivalencies pueden atopase, sacantes s'indique otra referencia, en Jech 1973 y en Herrlich 2006 (dalgunes apaecen como exercicios).
  6. L'enunciáu concretu que ye equivalente al axoma d'eleición nun fala de cardinales. Vease Rubin, Herman (1985). «7. Additional forms», Equivalents of the Axiom of Choice (en inglés). North Holland. ISBN 7204-2225-6.
  7. [FOM] Are (C,+) and (R,+) isomorphic

Bibliografía[editar | editar la fonte]

  • Felgner, Ulrich (1971). Models of ZF-Set Theory (en inglés). Heidelberg: Springer.
  • Gödel, Kurt. «The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis» (en inglés). Proceedings of the National Academy of Sciences, U.S.A. 24. 
  • Hrbacek, Karen (1999). Introduction to set theory, 3a. (en inglés), New York: Marcel Dekker.
  • Jech (1973). The Axiom of Choice (en inglés). Amsterdam: North-Holland. ISBN 0-7204-2275-2.
  • Kunen, Kenneth (1980). Set theory: an introduction to independence proofs (en inglés). Amsterdam: Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.
  • Levy, Azriel (2002). Basic set theory (en inglés). Mineola, New York: Dover.
  • Rubin, H. (1985). Equivalents of the Axiom of Choice, II (en inglés). Amsterdam: North-Holland. ISBN 0-444-87708-8.
  • Zermelo, Ernst. «Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. I» (en alemán). Mathematische Annalen 65 (2).  Reimpreso con traducción al inglés en Zermelo 2010, pp. 188-229, y traducción al inglés en van Heijernoort 1967, pp. 199-215.
  • Zermelo, Ernst (2010). Collected Works — Gesammelte Werke, Heinz-Dieter Ebbinghaus (ed.) I (en alemán ya inglés), Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-540-79383-0.


Axioma de eleición