Cosenu

Cosenu
función trigonométrica, even function (en) y entire function (en)

En trigonometría, el cosenu (abreviáu cos) defínese como la razón ente'l catetu axacente y la hipotenusa. O tamién como l'abcisa correspondiente a un puntu que pertenez a una circunferencia unitaria centrada nel orixe.

En matemátiques, el cosenu ye la función algamada al facer variar la razón mentada, siendo una de les funciones trescendentes.

Cosenu d'una suma o resta

$\theta ,\phi \in \ \mathbb {R}$ Entós:

$\cos \left(\phi +\theta \right)=cos(\phi )cos(\theta )-sin(\phi )sin(\theta )$

Si facemos

$\cos \left(\phi +(-\theta \right))=cos(\phi )cos(-\theta )-sin(\phi )sin(-\theta )$

algamamos la resta. Como'l cosenu ye par, el signu nun importa y como'l senu ye impar, el signu sal:

$\cos \left(\phi -\theta \right)=cos(\phi )cos(\theta )+sin(\phi )sin(\theta )$

Cosenu d'un ángulu duble

Tenemos que

$\cos \left(\phi +\theta \right)=cos(\phi )cos(\theta )-sin(\phi )sin(\theta )$

Faciendo $\theta =\phi$ Entós

$cos\left(2\phi \right)=cos^{2}(\phi )-sin^{2}(\phi )$

Cosenu del ángulu mediu

Hai de decatase que namái con un cenciellu remanéu alxebraicu podemos algamar la fórmula del cosenu del ángulu mediu. Seya $\alpha ,\phi \in \mathbb {R}$

Como $cos\left(2\phi \right)=cos^{2}(\phi )-sin^{2}(\phi )$

podemos escribila como

$cos\left(2\phi \right)=1-2sin^{2}(\phi )$

Seya $\phi ={\frac {\alpha }{2}}$

Entós algamamos

$|cos({\frac {\alpha }{2}})|={\sqrt {\frac {cos(\alpha )+1}{2}}}$

y analizando los signos de la espresión pa cada cuadrante, finamos con que:

$cos({\frac {\alpha }{2}})={\sqrt {\frac {cos(\alpha )+1}{2}}}$

Tresformación d'una suma de cosenos en productu

$Cos(\phi )+Cos(\theta )=2cos({\frac {\phi +\theta }{2}})cos({\frac {\phi -\theta }{2}})$

Amosamientu

Tomamos $\alpha \,\beta \,\theta ,\phi \in \ \mathbb {R}$

Entós

$Cos\left(\alpha +\beta \right)+Cos(\alpha -\beta )=cos(\alpha )cos(\beta )-sin(\alpha )sin(\beta )+cos(\alpha )cos(\beta )+sin(\alpha )sin(\beta )$

$Cos\left(\alpha +\beta \right)+Cos(\alpha -\beta )=2cos(\alpha )cos(\beta )$

Faciendo $\theta =\alpha +\beta$ y $\phi =\alpha -\beta$

Entós, resolviendo el sistema, tiense que

$\alpha \ ={\frac {\theta +\phi }{2}}$

$\beta \ ={\frac {\theta -\phi }{2}}$

Reemplazando algámase

$Cos\left(\phi \right)+Cos(\theta )=2cos({\frac {\theta +\phi }{2}})cos({\frac {\theta -\phi }{2}})$

Análogamente amuésase que

$Cos(\phi )-Cos(\theta )=-2Sin({\frac {\phi +\theta }{2}})Sin({\frac {\theta -\phi }{2}})$

Derivada del Cosenu

Según la definición de derivada:

$f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

lo que ye

$\cos '(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\cos(x+h)-\cos(x)}{h}}$

Entós, usando les fórmules anteriormente consiñaes, tiense que

$\cos '(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\cos(x)\cdot \cos(h)-\sin(x)\cdot \sin(h)-\cos(x)}{h}}$

Factorizando

$\cos '(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\cos(x)\cdot ((\cos(h)-1))-\sin(x)\cdot \sin(h)}{h}}$

Separtando tenemos

$\cos '(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\cos(x)\cdot ((\cos(h)-1))}{h}}-\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin(x)\cdot \sin(h)}{h}}$

Sabiendo que $\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin(h)}{h}}=1$ y que'l primer límite queda determináu pola regla de L'Hopital, entós tenemos que

$\cos '\left(x\right)=-\sin(x)$

Ver tamién

• Arcocosenu
• Sinusoide
• Trigonometría
• Función matemática
• Función par
• Función impar

• Datos: Q1256164
• Multimedia: Cosine function