Constante de Conway

Soluciones del polinomiu de Conway nel planu complexu.

La constante de Conway ye una constante matemática amestada a la tasa de crecedera del númberu de cifres d'una socesión conocida como desintegración audioactiva (n'inglés audioactive decay) o Look-and-Say ("Mira y di"). Nesta socesión, cada términu llógrase arrexuntando les cifres iguales del anterior y recitándoles. Por casu, si $x_{0}=1$ ("un unu"), los siguientes términos van ser:

$x_{1}=11$ ("dos unos --> 21")

$x_{2}=21$ ("un dos un unu --> 1211")

$x_{3}=1211$ ("un unu un dos dos unos --> 111221")

$x_{4}=111221$ ("trés unos dos doses un unu --> 312211")

$x_{5}=312211$ ("un trés un unu dos doses dos unos --> 13112221")

etc.

El procesu ye similar al emplegáu nel sistema de compresión Run-length encoding.

Independientemente del términu inicial $x_{o}$ escoyíu (cola única salvedá del 22), la socesión diverxe y la razón ente'l númberu de cifres de $x_{n}$ y $x_{n-1}$ tiende a un valor fixu que ye la constante de Conway, $\lambda \approx 1,303577269$. Esta constante ye un númberu irracional alxebraicu, y de fechu ye la única solución real positiva de la siguiente ecuación polinómica de grau 71:

$x^{71}-x^{69}-2x^{68}-x^{67}+2x^{66}+2x^{65}+x^{64}-x^{63}-x^{62}-x^{61}-x^{60}-x^{59}+$

$2x^{58}+5x^{57}+3x^{56}-2x^{55}-10x^{54}-3x^{53}-2x^{52}+6x^{51}+6x^{50}+x^{49}+9x^{48}-3x^{47}-$

$7x^{46}-8x^{45}-8x^{44}+10x^{43}+6x^{42}+8x^{41}-5x^{40}-12x^{39}+7x^{38}-7x^{37}+7x^{36}+x^{35}-$

$3x^{34}+10x^{33}+x^{32}-6x^{31}-2x^{30}-10x^{29}-3x^{28}+2x^{27}+9x^{26}-3x^{25}+14x^{24}-8x^{23}-$

$7x^{21}+9x^{20}+3x^{19}-4x^{18}-10x^{17}-7x^{16}+12x^{15}+7x^{14}+2x^{13}-12x^{12}-4x^{11}-$

$2x^{10}+5x^{9}+x^{7}-7x^{6}+7x^{5}-4x^{4}+12x^{3}-6x^{2}+3x-6=0$

Al tomar 22 ("dos doses") como términu inicial, la socesión ye dexenerada porque tolos términos siguientes volverán ser 22.

«Desintegración audioactiva»

John Conway calificó esta socesión de «desintegración audioactiva» (audioactive decay), un xuegu de pallabres sobre la desintegración radiactiva, poniendo énfasis nel comportamientu de los términos de la socesión. Conway amosó que, a partir d'un determináu puntu, cuasi toos los términos de la socesión pueden descomponese en 92 subtérminos, a los que llamó elementos, por analoxía colos elementos químicos. Estos elementos funcionen como entidaes independientes, non interactúan colos demás díxitos del términu y descompónense n'otru o otros elementos nel siguiente términu de la socesión.

Por casu, l'elementu más simple, llamáu hidróxenu, ye la secuencia estable $22$. El manganesu, $3113322112$, da llugar a $132123222112$, que de la mesma se descompon nos elementos prometiu ($132$) y sodiu ($123222112$).

La llista d'elementos ta iguada de tal manera que, empezando pol últimu elementu, el uraniu ($3$) cada unu de los elementos anteriores fai la so apaición a lo llargo de socesives iteraciones hasta llegar al primeru, l'hidróxenu, al cabu de 91 iteraciones.

Z	Elementu	Provién de descomponse en	Desarrollo	Longitud
1	Hidróxenu	7 elementos: H, He, Sc, Ga, Zr, Ce, Ta	1 elementu: H (estable)	22	2
2	Heliu	1 elementu: Li	5 elementos: Hf, Pa, H, Ca, Li	13112221133211322112211213322112	32
3	Litiu	2 elementos: He, Be	1 elementu: He	312211322212221121123222112	27
4	Beriliu	1 elementu: B	3 elementos: Ge, Ca, Li	111312211312113221133211322112211213322112	42
5	Boro	1 elementu: C	1 elementu: Be	1321132122211322212221121123222112	34
6	Carbonu	1 elementu: N	1 elementu: B	3113112211322112211213322112	28
7	Nitróxenu	1 elementu: O	1 elementu: C	111312212221121123222112	24
8	Osíxenu	1 elementu: F	1 elementu: N	132112211213322112	18
9	Flúor	1 elementu: Ne	1 elementu: O	31121123222112	14
10	Neón	1 elementu: Na	1 elementu: F	111213322112	12
11	Sodiu	2 elementos: Mg, As	1 elementu: Ne	123222112	9
12	Magnesiu	1 elementu: Al	2 elementos: Pm, Na	3113322112	10
13	Aluminiu	1 elementu: Si	1 elementu: Mg	1113222112	10
14	Siliciu	2 elementos: P, Mn	1 elementu: Al	1322112	7
15	Fósforu	1 elementu: S	2 elementos: Ho, Si	311311222112	12
16	Azufre	1 elementu: Cl	1 elementu: P	1113122112	10
17	Cloru	1 elementu: Ar	1 elementu: S	132112	6
18	Argón	1 elementu: K	1 elementu: Cl	3112	4
19	Potasiu	1 elementu: Ca	1 elementu: Ar	1112	4
20	Calciu	13 elementos: He, Be, Sc, Ga (2 vegaes), Zr, Ru, Te, Ce, Sm, Gd, Tm, Ta, Re	1 elementu: K	12	2
21	Escandiu	1 elementu: Ti	5 elementos: Ho, Pa, H, Ca, Co	3113112221133112	16
22	Titaniu	1 elementu: V	1 elementu: Sc	11131221131112	14
23	Vanadiu	1 elementu: Cr	1 elementu: Ti	13211312	8
24	Cromu	1 elementu: Mn	1 elementu: V	31132	5
25	Manganesu	1 elementu: Fe	2 elementos: Cr, Si	111311222112	12
26	Fierro	1 elementu: Co	1 elementu: Mn	13122112	8
27	Cobaltu	5 elementos: Sc, Ni, Ce, Tm, Gd	1 elementu: Fe	32112	5
28	Níquel	1 elementu: Cu	2 elementos: Zn, Co	11133112	8
29	Cobre	1 elementu: Zn	1 elementu: Ni	131112	6
30	Cinc	3 elementos: Ni, Ga, Sm	1 elementu: Cu	312	3
31	Galio	1 elementu: Ge	6 elementos: Eu, Ca, Ac, H, Ca, Zn	13221133122211332	17
32	Xermaniu	3 elementos: Be, As, Re	2 elementos: Ho, Ga	31131122211311122113222	23
33	Arsénicu	1 elementu: Se	2 elementos: Ge, Na	11131221131211322113322112	26
34	Seleniu	1 elementu: Br	1 elementu: As	13211321222113222112	20
35	Bromu	1 elementu: Kr	1 elementu: Se	3113112211322112	16
36	Kriptón	1 elementu: Rb	1 elementu: Br	11131221222112	14
37	Rubidiu	1 elementu: Sr	1 elementu: Kr	1321122112	10
38	Estroncio	1 elementu: Y	1 elementu: Rb	3112112	7
39	Itriu	1 elementu: Zr	2 elementos: Sr, O	1112133	7
40	Circoniu	1 elementu: Nb	4 elementos: Y, H, Ca, Tc	12322211331222113112211	23
41	Niobiu	1 elementu: Mo	2 elementos: Er, Zr	11131221133221131112211312221	29
42	Molibdenu	1 elementu: Tc	1 elementu: Nb	13211322211312113211	20
43	Tecneciu	2 elementos: Zr, Ru	1 elementu: Mo	311322113212221	15
44	Ruteniu	1 elementu: Rh	3 elementos: Eu, Ca, Tc	132211331222113112211	21
45	Rodio	1 elementu: Pd	2 elementos: Ho, Ru	311311222113111221131221	24
46	Paladiu	1 elementu: Ag	1 elementu: Rh	111312211312113211	18
47	Plata	1 elementu: Cd	1 elementu: Pd	132113212221	12
48	Cadmiu	1 elementu: In	1 elementu: Ag	3113112211	10
49	Indiu	1 elementu: Sn	1 elementu: Cd	11131221	8
50	Estañu	1 elementu: Sb	1 elementu: In	13211	5
51	Antimoniu	1 elementu: Te	2 elementos: Pm, Sn	3112221	7
52	Teluriu	1 elementu: I	3 elementos: Eu, Ca, Sb	1322113312211	13
53	Yodu	1 elementu: Xe	2 elementos: Ho, Te	311311222113111221	18
54	Xenón	1 elementu: Cs	1 elementu: I	11131221131211	14
55	Cesio	1 elementu: Ba	1 elementu: Xe	13211321	8
56	Bariu	1 elementu: La	1 elementu: Cs	311311	6
57	Lantano	1 elementu: Ce	1 elementu: Ba	11131	5
58	Cerio	1 elementu: Pr	4 elementos: La, H, Ca, Co	1321133112	10
59	Praseodimiu	1 elementu: Nd	1 elementu: Ce	31131112	8
60	Neodimio	1 elementu: Pm	1 elementu: Pr	111312	6
61	Prometiu	5 elementos: Mg, Sb, Sm, Er, Bi	1 elementu: Nd	132	3
62	Samario	1 elementu: Eu	3 elementos: Pm, Ca, Zn	311332	6
63	Europiu	4 elementos: Ga, Ru, Te, Gd	1 elementu: Sm	1113222	7
64	Gadolinio	1 elementu: Tb	3 elementos: Eu, Ca, Co	13221133112	11
65	Terbio	1 elementu: Dy	2 elementos: Ho, Gd	3113112221131112	16
66	Disprosio	1 elementu: Ho	1 elementu: Tb	111312211312	12
67	Holmiu	8 elementos: P, Sc, Ge, Rh, I, Tb, Er, Rn	1 elementu: Dy	1321132	7
68	Erbio	2 elementos: Nb, Tm	2 elementos: Ho, Pm	311311222	9
69	Tuliu	1 elementu: Yb	3 elementos: Er, Ca, Co	11131221133112	14
70	Ytterbio	1 elementu: Lu	1 elementu: Tm	1321131112	10
71	Luteciu	1 elementu: Hf	1 elementu: Yb	311312	6
72	Hafnio	2 elementos: He, Ta	1 elementu: Lu	11132	5
73	Tantaliu	1 elementu: W	5 elementos: Hf, Pa, H, Ca, W	13112221133211322112211213322113	32
74	Wolframiu	2 elementos: Ta, Re	1 elementu: Ta	312211322212221121123222113	27
75	Renio	1 elementu: Vos	3 elementos: Ge, Ca, W	111312211312113221133211322112211213322113	42
76	Osmiu	1 elementu: Dir	1 elementu: Re	1321132122211322212221121123222113	34
77	Iridiu	1 elementu: Pt	1 elementu: Vos	3113112211322112211213322113	28
78	Platino	1 elementu: Au	1 elementu: Dir	111312212221121123222113	24
79	Oru	1 elementu: Hg	1 elementu: Pt	132112211213322113	18
80	Mercuriu	1 elementu: Tl	1 elementu: Au	31121123222113	14
81	Taliu	1 elementu: Pb	1 elementu: Hg	111213322113	12
82	Plomu	1 elementu: Bi	1 elementu: Tl	123222113	9
83	Bismutu	1 elementu: Po	2 elementos: Pm, Pb	3113322113	10
84	Poloniu	1 elementu: At	1 elementu: Bi	1113222113	10
85	Ástato	1 elementu: Rn	1 elementu: Po	1322113	7
86	Radón	1 elementu: Fr	2 elementos: Ho, At	311311222113	12
87	Franciu	1 elementu: Ra	1 elementu: Rn	1113122113	10
88	Radiu	1 elementu: Ac	1 elementu: Fr	132113	6
89	Actiniu	2 elementos: Ga, Th	1 elementu: Ra	3113	4
90	Toriu	1 elementu: Pa	1 elementu: Ac	1113	4
91	Protactiniu	4 elementos: He, Sc, Ta, O	1 elementu: Th	13	2
92	Uraniu	1 elementu: Y	1 elementu: Pa	3	1