Rellación d'indeterminación de Heisenberg

Gráficu del Principiu d'Indetermín de Heisenberg.

En mecánica cuántica, la rellación d'indetermín de Heisenberg o principiu d'incertidume establez la imposibilidá de que determinaos pares de magnitúes físiques observables y complementaries sían conocíes con precisión arbitraria. Sucintamente, afirma que nun se puede determinar, en términos de la física cuántica, simultáneamente y con precisión arbitraria, ciertos pares de variables físiques, como son, la posición y el momentu llinial (cantidá de movimientu) d'un oxetu dau. N'otres pallabres, cuanta mayor certidume buscar en determinar la posición d'una partícula, menos se conoz el so momentu llinial y, por tanto, la so masa y velocidá. Esti principiu foi enunciáu por Werner Heisenberg en 1925.

El principiu d'indetermín nun tien un análogu clásicu y define una de les diferencies fundamentales ente física clásica y física cuántica. Dende un puntu de vista lóxicu ye una consecuencia d'axomes corrientes de la mecánica cuántica y por tanto puramente deduzse de los mesmos.

Esplicación cualitativa del principiu d'incertidume

La esplicación divulgativa» del principiu d'incertidume afirma que les variables dinámiques como posición, momentu angular, momentu llinial, etc. definir de manera operacional, esto ye, en términos relativos al procedimientu esperimental per mediu del cual son midíes: la posición va definir con al respective de un sistema de referencia determináu, definiendo'l preséu de midida emplegáu y la manera en que tal preséu úsase (por casu, midiendo con una regla la distancia qu'hai de tal puntu a les referencies).

Sicasí, cuando s'esaminen los procedimientos esperimentales per mediu de los cualos podríen midise tales variables resulta que la midida siempres va acabar alteriada. N'efeutu, si por casu pensamos no que sería la midida de la posición y velocidá d'un electrón, pa realizar la midida (pa poder «ver» de dalguna manera l'electrón) ye necesariu qu'un fotón de lluz choque col electrón, colo cual ta modificando la so posición y velocidá; esto ye, pol mesmu fechu de realizar la midida, l'esperimentador modifica los datos de dalguna manera, introduciendo un error que ye imposible d'amenorgar a cero, por bien perfectos que sían los nuesos preseos.

Esta descripción cualitativa del principiu, ensin ser totalmente incorreuta, ye engañosa en cuantes qu'omite el principal aspeutu del principiu d'incertidume: el principiu d'incertidume establez la llende de aplicabilidad de la física clásica. La física clásica concibe sistemes físicos descritos per mediu de variables perfectamente definíes nel tiempu (velocidá, posición,...) y qu'en principiu pueden conocese cola precisión que se deseye. Anque na práutica resultara imposible determinar la posición d'una partícula con una precisión infinitesimal, la física clásica concibe tal precisión como algamable: ye posible y perfectamente concebible afirmar que tal o cual partícula, nel intre de tiempu exactu 2 s, taba na posición exacta 1,57 m. Sicasí, el principiu d'incertidume, al afirmar qu'esiste una llende fundamental a la precisión de la midida, en realidá ta indicando que si un sistema físicu real describir en términos de la física clásica, entós tase faciendo un aproximamientu, y la rellación d'incertidume indícanos la calidá d'esi aproximamientu.

Por motivos culturales y educativos, les persones suélense enfrentar de primeres d'incertidume per primer vegada tando condicionaes pol determinismu de la física clásica. Nella, la posición $x$ d'una partícula puede ser definida como una función continua nel tiempu, $x=x(t)$ . Si la masa d'esa partícula ye $m$ y muévese a velocidaes abondo inferiores a la de la lluz, entós el momentu llinial de la partícula defínese como masa per velocidá, siendo la velocidá la primer derivada nel tiempu de la posición: $p=m{\frac {dx}{dt}}$ .

De la mesma, atendiendo a la esplicación habitual del principiu d'incertidume, podría resultar tentador creer que la rellación d'incertidume a cencielles establez una llimitación sobre la nuesa capacidá de midida que nos torgar conocer con precisión arbitraria la posición inicial $x(0)$ y el momentu llinial inicial $p(0)$ . Asocede que si pudiéramos conocer $x(0)$ y $p(0)$ , entós la física clásica ufiertaríanos la posición y la velocidá de la partícula en cualesquier otru intre; la solución xeneral de les ecuaciones de movimientu va depender invariablemente de $x(0)$ y $p(0)$ . Esto ye, resolver les ecuaciones del movimientu lleva a una familia o conxuntu de trayectories dependientes de $x(0)$ y $p(0)$ ; según qué valor tomen $x(0)$ y $p(0)$ , va tenese una trayeutoria dientro d'esa familia o otra, pero la mesma resolución de les ecuaciones llinda'l númberu de trayectories a un conxuntu determináu d'elles. Según razonóse, acordies con el principiu d'incertidume $x(0)$ y $p(0)$ non pueden conocese esautamente, asina que tampoco van poder conocese $x(t)$ y $p(t)$ en cualesquier otru intre con una precisión arbitraria, y la trayeutoria que va siguir la partícula nun va poder conocese de manera absolutamente exacta. Esti razonamientu ye, sicasí, incorreutu, pos nél subyace la idea de que, magar que $x(0)$ y $p(0)$ non pueden conocese esautamente, ye posible siguir usando la descripción clásica en virtú de la cual una partícula va siguir una trayeutoria definida pola solución xeneral de les ecuaciones de movimientu, introduciendo la noción añadida de que les condiciones iniciales $x(0)$ y $p(0)$ nun pueden conocese al detalle: esto ye, nun podemos conocer esautamente qué trayeutoria va siguir la partícula, pero vamos tar aceptando que, de facto, va siguir una.

Esta forma de proceder ye, sicasí, totalmente incorreuta: el principiu d'incertidume trai una esviadura completa de les concepciones clásiques, faciendo que la noción clásica de trayeutoria tien de ser refugada: preguntar cuálos son simultáneamente los valores de $x(t)$ y $p(t)$ ye un absurdu. Asina dichu, podría resultar paradóxicu que primero s'estableza una rellación d'incertidume en términos de posición $x$ y momentu llinial $p$ , pa depués afirmar que $x$ y $p$ , qu'apaecen en dicha rellación, nun tienen sentíu: si nun tienen sentíu, ¿qué sentíu puede tener una rellación que les emplegue? Asocede que, en física cuántica, ye posible introducir una serie d'entidaes matemátiques $x$ y $p$ que se correspuendan en munchos aspeutos cola posición y el momentu clásicos. Diches entidaes nun son, sicasí, esautamente iguales a la posición y el momentu clásicos: el principiu d'incertidume cenciellamente indica que si interpretamos eses entidaes como posición y momentu llinial -y por tanto interpretamos el movimientu d'una forma clásica-, entós esiste una llende fundamental na precisión con que felicidaes variables pueden ser conocíes; esto ye, si intentamos introducir variables clásiques ya intentamos interpretar el movimientu de forma clásica, la precisión con qu'estes variables pueden ser especificaes ta llindada.

Consecuencies de la rellación d'indetermín

Esti principiu supón un cambéu básicu na naturaleza de la física, yá que se pasa d'una conocencia absolutamente precisa en teoría (anque non na conocencia basada namái en probabilidaes). Anque por cuenta de la pequeñez de la constante de Planck, nel mundu macroscópico l'indetermín cuánticu ye casi siempres dafechu despreciable, y los resultaos de les teoríes físiques deterministes, como la teoría de la relatividá, siguen teniendo validez en toos casos práuticos d'interés.

Les partícules, en mecánica cuántica, nun siguen trayectories definíes. Nun ye posible conocer esautamente'l valor de toles magnitúes físiques que describen l'estáu de movimientu de la partícula en nengún momentu, sinón namái una distribución estadística. Polo tanto nun ye posible asignar una trayeutoria a una partícula. Sí puede dicise qu'hai una determinada probabilidá de que la partícula atopar nuna determinada rexón del espaciu nun momentu determináu.

Comúnmente considérase que'l calter probabilístico de la mecánica cuántica invalida'l determinismu científicu. Sicasí, esisten delles interpretaciones de la mecánica cuántica y non toes lleguen a esta conclusión. Según puntualiza Stephen Hawking, la mecánica cuántica ye determinista en sí mesma, y ye posible que l'aparente indetermín deber a que realmente nun esisten posiciones y velocidaes de partícules, sinón namái ondes. Los físicos cuánticos intentaríen entós afaer les ondes a les nueses idees preconcebíes de posiciones y velocidaes. La inadecuación d'estos conceutos sería la causa de l'aparente impredecibilidad. Otros fenómenos deducibles o coneutaos col principiu d'indetermín de Heisenberg son:

Efeutu túnel
Enerxía del puntu cero
Esistencia de partícules virtuales
Enerxía del vacíu ya inesistencia del vacíu absolutu.
Radiación de Hawking ya inestabilidá de furacos negros

Enunciáu matemáticu

Si preparen delles copies idéntiques d'un sistema nun estáu determináu, como pue ser un átomu, les midíes de la posición y de la cantidá de movimientu van variar acordies con una cierta distribución de probabilidá carauterística del estáu cuánticu del sistema. Les midíes del oxetu observable van sufrir desviación estándar Δx de la posición y el momentu Δp. Verifiquen entós el principiu d'indetermín que s'espresa matemáticamente como:

$\Delta x\cdot \Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}$

onde la h ye la constante de Planck (pa simplificar, ${\frac {h}{2\pi }}$ suel escribise como $\hbar$ )

El valor conocíu de la constante de Planck ye:

h=\,\,6,626\ 0693(11)\times 10^{-34}\ {\mbox{J}}\cdot {\mbox{s}}\,\,=\,\,4,135\ 667\ 43(35)\times 10^{-15}\ {\mbox{eV}}\cdot {\mbox{s}}

Na física de sistemes clásicos esti indetermín de la posición-momentu nun se manifiesta yá que s'aplica a estaos cuánticos del átomu y h ye desaxeradamente pequeñu. Una de les formes alternatives del principiu d'indetermín más conocíu ye l'indetermín tiempo-energía que puede escribise como:

$\Delta Y\cdot \Delta \tau \geq {\frac {\hbar }{2}}$

Esta forma ye la que s'utiliza en mecánica cuántica pa esplorar les consecuencies de la formación de partícules virtuales, utilizaes pa estudiar los estaos entemedios d'una interacción. Esta forma del principiu d'indetermín ye tamién la utilizada pa estudiar el conceutu d'enerxía del vacíu.

Espresión xeneral de la rellación d'indetermín

Amás de los dos formes anteriores esisten otres desigualdaes como la qu'afecta a les componentes J_i del momentu angular total d'un sistema:

$\Delta J_{i}\Delta J_{j}\geq {\frac {\hbar }{2}}\left|\left\langle J_{k}\right\rangle \right|$

Onde i, j, k son distintos y J_i denota la componente del momentu angular a lo llargo de la exa x_i.

Más xeneralmente si nun sistema cuánticu esisten dos magnitud físiques a y b representaes polos operadores o observables denotados como ${\hat {A}},{\hat {B}}$ , polo xeneral nun va ser posible preparar una coleición de sistemes toos ellos nel estáu $\Psi \;$ , onde les esviaciones estándar de les midíes de a y b nun satisfaigan la condición:

$\Delta _{\Psi }{\hat {A}}\cdot \Delta _{\Psi }{\hat {B}}\geq {\frac {1}{2}}\left|\langle \Psi |[{\hat {A}},{\hat {B}}]|\Psi \rangle \right|$

Demostración

La espresión xeneral de la rellación d'indetermín deducir de los postulaos I y III de la mecánica cuántica. La demostración más particular de qu'esisten magnitúes que nun pueden conocese con precisión arbitraria usa tamién y de manera crítica'l postuláu VI.

Pa probar el principiu d'indetermín de Heisenberg supongamos dos observables $\scriptstyle A$ y $\scriptstyle B$ cualesquier y supongamos un estáu $\scriptstyle |\psi \rangle$ tal que $\scriptstyle \{|\psi \rangle ,A|\psi \rangle ,B|\psi \rangle \}\ \subset \ D(A)\cap D(B)$ . Nesa situación puede demostrase que:

(1) $\Delta _{\psi }A\cdot \Delta _{\psi }B\geq {\frac {1}{2}}|\langle \psi |[A,B]|\psi \rangle |$

Onde:

\Delta _{\psi }A={\sqrt {\langle A^{2}\rangle _{\psi }-\langle A\rangle _{\psi }^{2}}}

, la incertidume midida como desviación estándar del valor d'una midida sobre l'estáu

|\psi \rangle

.

[A,B]=AB-BA\,

, el conmutador de dambos observables.

Definiendo a partir de $\scriptstyle A$ y $\scriptstyle B$ , los operadores autoadjuntos:

${\bar {A}}=A-\langle A\rangle _{\psi },\qquad {\bar {B}}=B-\langle B\rangle _{\psi }$

Puede construyise la función real:

$y(\lambda )=\langle \psi |({\bar {A}}-i\lambda {\bar {B}})({\bar {A}}+i\lambda {\bar {B}})|\psi \rangle =\|({\bar {A}}+i\lambda {\bar {B}})\psi \|^{2}\geq 0$

Y desenvolviendo el productu angular anterior:

(2) $y(\lambda )=\langle \psi |{\bar {B}}^{2}\psi \rangle \lambda ^{2}+\langle \psi |i[{\bar {A}},{\bar {B}}]\psi \rangle \lambda +\langle \psi |{\bar {A}}^{2}\psi \rangle$

Teniendo en cuenta que:

$[{\bar {A}},{\bar {B}}]=[A,B]$
$\Delta _{\psi }A^{2}=(\langle \psi |A^{2}\psi \rangle -\langle \psi |A\psi \rangle ^{2})=(\langle A^{2}\rangle _{\psi }-\langle A\rangle _{\psi }^{2})$
$\Delta _{\psi }B^{2}=(\langle \psi |B^{2}\psi \rangle -\langle \psi |B\psi \rangle ^{2})=(\langle B^{2}\rangle _{\psi }-\langle B\rangle _{\psi }^{2})$

La ecuación (2) pue ser reescrita como:

(3) $y(\lambda )=(\Delta _{\psi }B)^{2}\lambda ^{2}+\langle \psi |i[{\bar {A}},{\bar {B}}]\psi \rangle \lambda +(\Delta _{\psi }A)^{2}$

Como $\scriptstyle [A,B]$ ye un operador hermítico los coeficientes de la función polinómica anterior son reales, y como la espresión anterior ye real pa tou valor de $\scriptstyle \lambda$ necesariamente'l discriminante del polinomiu acomuñáu ten de ser negativu:

(4) $\langle \psi |i[{A},{B}]|\psi \rangle ^{2}-4(\Delta _{\psi }A)^{2}(\Delta _{\psi }B)^{2}\leq 0$

Reordenando y llogrando raigaños cuadraos na ecuación anterior llógrase precisamente la ecuación (1). Si se particulariza la ecuación (1) tomando $\scriptstyle A=P,\ B=X$ :

$(\Delta _{\psi }X)(\Delta _{\psi }P)\geq {\frac {1}{2}}|\langle \psi \left|[X,P]\right|\psi \rangle |={\frac {1}{2}}|\langle \psi \left|i\hbar \ \right|\psi \rangle |={\hbar \over 2}$

Estimación de la enerxía de niveles fundamentales

Por aciu el principiu d'incertidume ye posible envalorar la enerxía del puntu cero de dellos sistemes. Pa ello vamos suponer qu'en tales sistemes el puntu cero cumple que la partícula taría clásicamente en reposu (a nivel cuánticu significa que'l valor esperáu del momentu ye nulu). Esti métodu del cálculu d'enerxíes tan solo da una idea del orde de magnitú del estáu fundamental, nunca siendo un métodu de cálculu del valor exactu (en dalgún sistema puede resultar que'l valor llográu sía l'exactu pero ello nun dexa de ser más qu'una simple casualidá). La interpretación física del métodu ye que debíu de primeres d'incertidume, la llocalización de la partícula tien un costu enerxéticu (el términu de la enerxía cinética), de cuenta que cuanto más cerca del centru de fuercies tea la partícula más enerxía va tener el sistema por cuenta de les fluctuaciones cuántiques, de cuenta que nel nivel fundamental el sistema va embrivir la so enerxía total.

Partícula nun potencial culombiano

De siguío va envalorase la enerxía fundamental d'un átomu monoelectrónico. Pol principiu d'indetermín tiense que:

\Delta r\cdot \Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}

Emplegando como estimación que pal nivel fundamental cumplir:

\Delta r\cdot \Delta p\approx \hbar \qquad \Rightarrow \qquad \Delta p\approx {\frac {\hbar }{\Delta r}}

La enerxía total ye la suma de cinética más potencial. Yá que el valor mediu del momentu radial ye nulu, el so valor cuadrático esperáu va ser igual a la so esviación y va averase el valor esperáu del inversu del radiu al inversu de la so esviación.

\langle Y\rangle =\langle T\rangle +\langle V\rangle =\langle {\frac {p^{2}}{2m_{y}}}\rangle -\langle {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Ze^{2}}{r}}\rangle \approx {\frac {\hbar ^{2}}{2m_{y}(\Delta r)^{2}}}-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Ze^{2}}{\Delta r}}

Nel nivel fundamental la enerxía hai de ser mínima de cuenta que:

{\frac {de}{d\Delta r}}=0\qquad \Rightarrow \qquad \Delta r={\frac {\hbar ^{2}4\pi \epsilon _{0}}{m_{e}Ze^{2}}}=a_{0}

El valor llográu ye de casualidá idénticu al radiu de Bohr y sustituyendo na estimación llograda pa la enerxía llógrase:

Y=-{\frac {(Ze^{2})^{2}m_{y}}{2\hbar ^{2}(4\pi \epsilon _{0})^{2}}}=Y_{0}

De casualidá este ye esautamente la enerxía del estáu fundamental d'un átomu hidroxenoide. L'oxetivu del métodu ye la estimación del valor, magar nesti exemplu particular llográu ye idénticu al calculáu formalmente.

Oscilador harmónicu unidimensional

Emplegando como estimación:

\Delta x\cdot \Delta p\approx \hbar \qquad \Rightarrow \qquad \Delta p\approx {\frac {\hbar }{\Delta x}}

Tomando que'l valor mediu de la posición y momentu son nulos por cuenta de la simetría del problema tiense que la enerxía total ye:

\langle Y\rangle =\langle T\rangle +\langle V\rangle \approx {\frac {\hbar ^{2}}{2m(\Delta x)^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}(\Delta x)^{2}

Embriviendo la enerxía:

{\frac {de}{d\Delta x}}=0\qquad \Rightarrow \qquad (\Delta x)^{2}={\frac {\hbar }{m\omega }}

Sustituyendo'l valor na enerxía llógrase:

Y=\hbar \omega =2Y_{0}

Como puede reparase el valor llográu ye'l doble del puntu cero del oscilador harmónicu, de cuenta qu'anque el valor llográu nun sía exactu l'orde de magnitú sí ye'l correutu.

Partícula nun pozu

Sía una partícula que s'atopa confinada nun pozu infinitu d'anchor 2a. Yá que les úniques posiciones posibles de la partícula atópense dientro del pozu puede envalorase que:

\Delta x\cdot \Delta p\approx \hbar \qquad \Delta x\approx a\qquad \Rightarrow \qquad \Delta p\approx {\frac {\hbar }{a}}

La enerxía cinética va ser por tantu:

\langle Y\rangle ={\frac {\langle p^{2}\rangle }{2m}}\approx {\frac {\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}={\frac {4}{\pi ^{2}}}Y_{1}

Como se repara la resultancia llograda difier nun factor daqué cimeru a 2 del valor real, pero de nuevu l'orde de magnitú ye'l correutu. Esti cálculu da una idea de les enerxíes qu'hai qu'apurrir pa confinar una cierta párticula nuna rexón, tal como pue ser un nucleón nel nucleu.

Ver tamién

Referencies

Bibliografía

Galindo, A.; Pascual, P. (1978). Mecánica Cuántica. Madrid: Alhambra.
Bosyk, Gustavo Martín (2 de setiembre de 2014). Más allá de Heisenberg. Rellaciones de incerteza tipu Landau-Pollak y tipu entrópicas.. páxs. 113. http://sedici.unlp.edu.ar/handle/10915/39843. Consultáu'l 23 de setiembre de 2014.

Enllaces esternos

The certainty principle (n'inglés)
Principiu d'indetermín y les güeles (divulgativu)