Álxebra llinial

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El espaciu euclídeo tridimensional R3 ye un espaciu vectorial y les llinies y los planos que pasen pol orixe son subespacios vectoriales de R3.

El álxebra llineal ye una caña de les matemátiques qu'estudia conceutos tales como vectores, matrices, sistemes d'ecuaciones llineales y nel so enfoque de manera más formal, espacios vectoriales y los sos tresformamientos llineales.

Ye una área activa que tien conexones con munches árees dientro y fora de les matemátiques, como'l analís funcional, les ecuaciones diferenciales, la investigación d'operaciones, les gráfiques por ordenador, la inxeniería, etc.

La hestoria de la álxebra llineal moderna remontar a 1843, cuando William Rowan Hamilton (de quien provién l'usu del términu vector) creó los cuaterniones; y a 1844, cuando Hermann Grassmann publicó'l so llibru Die lineare Ausdehnungslehre (La teoría llineal d'estensión).

Contestu xeneral[editar | editar la fonte]

De manera más formal, la álxebra llineal estudia conxuntos denominaos espacios vectoriales, que consten d'un conxuntu de vectores y un conxuntu d'esguilares (que tien estructura de campu, con una operación de suma de vectores y otra de productu ente esguilares y vectores que satisfaen ciertes propiedaes (por casu, que la suma ye conmutativa) (métodos cuantitativos).

Estudia tamién tresformamientos llineales, que son funciones ente espacios vectoriales que satisfaen les condiciones de linealidad:

A diferencia del exemplu desenvueltu na sección anterior, los vectores non necesariamente son n-adas d'esguilares, sinón que pueden ser elementos d'un conxuntu cualesquier (ello ye que a partir de too conxuntu puede construyise un espaciu vectorial sobre un campu fixu).

Finalmente, la álxebra llineal estudia tamién les propiedaes qu'apaecen cuando s'impon estructura adicional sobre los espacios vectoriales, siendo una de les más frecuentes la esistencia d'un productu internu (una especie de productu ente dos vectores) que dexa introducir nociones como llargor de vectores y ángulu ente un par de los mesmos.

Espacios vectoriales d'usu común[editar | editar la fonte]

Dientro de los espacios vectoriales de dimensión finita, son d'ampliu usu los trés tipos siguientes d'espacios vectoriales:

Vectores en Rn[editar | editar la fonte]

Esti espaciu vectorial ta formáu pol conxuntu de vectores de n dimensiones (ye dicir con n númberu de componentes). Podemos atopar un exemplu d'ellos nos vectores R2, que son famosos por representar les coordenaes cartesianes: (2,3), (3,4),...

Matrices [editar | editar la fonte]

Artículu principal: Matriz (matemátiques)

La matriz ye un arreglu rectangular de númberos, símbolos o espresiones, que les sos dimensiones son descrites nes cantidaes de files (usualmente m) poles de columnes (n) que tienen. Los arreglos matriciales son particularmente estudiaos pol álxebra llineal y son bastantes usaos nes ciencies ya inxeniería.

Espaciu vectorial de polinomios nuna mesma variable[editar | editar la fonte]

Un exemplu espaciu vectorial ta dáu por tolos polinomios que'l so grau ye menor o igual a 2 con coeficientes reales sobre una variable x.

Exemplos de tales polinomios son:

La suma de dos polinomios que'l so grau nun entepasa a 2 ye otru polinomiu que'l so grau nun entepasa a 2:

El campu d'esguilares ye naturalmente'l de los númberos reales, y ye posible multiplicar un númberu por un polinomiu:

onde la resultancia nuevamente ye un polinomiu (esto ye, un vector).

Un exemplu de tresformamientu llineal ye l'operador derivada D, qu'asigna a cada polinomiu la resultancia de derivalo:

L'operador derivada satisfai les condiciones de linealidad, y anque ye posible demostralo con rigor, a cencielles ilustrar con un exemplu la primer condición de linealidad:

y per otru llau:

Cualquier espaciu vectorial tien una representación en coordenaes similar a , lo cual llógrase por aciu la elección d'una base (álxebra) (esto ye, un conxuntu especial de vectores), y unu de les temes recurrentes na álxebra llineal ye la elección de bases apropiaes por que los vectores de coordenaes y les matrices que representen los tresformamientos llineales tengan formes sencielles o propiedaes específiques.

Xeneralización y temes rellacionaes[editar | editar la fonte]

Cuidao que la álxebra llineal ye una teoría esitosa, los sos métodos desenvolviéronse per otres árees de la matemática: na teoría de módulos, que remplaza al cuerpu n'esguilar por un aníu; nel álxebra multilineal, unu trepa con 'múltiples variables' nun problema de mapeo llineal, nel que cada númberu de les distintes variables dirixir al conceutu de tensor; na teoría del espectru d'el operadores de control de matrices de dimensión infinita, aplicando'l analís matemáticu nuna teoría que nun ye puramente alxebraica. En toos estos casos les dificultaes técniques son muncho más grandes.

Ver tamién[editar | editar la fonte]

Enllaces esternos[editar | editar la fonte]


Álgebra lineal