Teorema fundamental de l'aritmética

Teorema fundamental de l'aritmética
teorema

En matemática, y particularmente na teoría de númberos, el teorema fundamental de l'Aritmética o teorema de factorización única afirma que tou enteru positivu mayor que 1 ye un númberu primu o bien un únicu productu de númberos primos. Por casu, : $6936=2^{3}\cdot 3\cdot 17^{2}\,$

$1200=2^{4}\cdot 3\cdot 5^{2}\,$.

Nun esiste nenguna otra factorización de 6936 y 1200 en númberos primos. Como la multiplicación ye conmutativa, l'orde de los factores ye irrelevante; por esta razón, usualmente enúnciase'l teorema como factorización única salvu nel orde de los factores.

Aplicaciones

Representación canónica d'un enteru positivu

Tou enteru positivu n > 1 pue ser representáu esautamente d'una única manera como un productu de potencies de númberos primos:

$n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{\alpha _{i}}$

onde p₁ < p₂ < ... < p_k son primos y α_i son enteros positivos.

Esta representación llámase representación canónica de n, o forma estándar de n.

Por casu 999 = 3³×37, 1000 = 2³×5³, 1001 = 7×11×13

Nótese que los factores p⁰ = 1 pueden ser inxertaos ensin camudar el valor de n (p.e. 1000 = 2³×3⁰×5³). N'efeutu, cualquier númberu positivu pue ser representáu namái como un productu infinitu tomáu sobremanera'l conxuntu de los númberos primos,

$n=2^{\alpha _{2}}3^{\alpha _{3}}5^{\alpha _{5}}7^{\alpha _{7}}\cdots =\prod _{\mathbb {P} }p^{\alpha _{p}}$

onde un númberu finito de α_p son enteros positivos, y el restu son cero. Dexando esponentes negativos apúrrese una forma canónica pa los númberos racionales.

Importancia

El teorema establez la importancia de los númberos primos. Estos son los lladriyos básicos» colos que se constrúin» los enteros positivos, nel sentíu de que tou enteru positivu puede construyise como productu de númberos primos d'una única manera.

Conocer la factorización en primos d'un númberu dexa atopar tolos sos divisores, primos o compuestos. Por casu, la factorización enantes dada de 6936 amuesa que cualquier divisor positivu 6936 tien de tener la forma: $2^{a}\cdot 3^{b}\cdot {17}^{c}$, onde 0 ≤ a ≤ 3 (4 valores posibles), 0 ≤ b ≤ 1 (2 valores posibles), y 0 ≤ c ≤ 2 (3 valores posibles). Multiplicando'l númberu d'opciones independientes llógrase un total de $4\cdot 2\cdot 3=24$ divisores positivos

Una vegada que se conoz la factorización en primos de dos númberos, pueden topase fácilmente'l so máximu común divisor y mínimu común múltiplu. Por casu, de les factorizaciones anteriores de 6936 y 1200 puede deducise que'l so máximu común divisor ye 2³ · 3 = 24. Sicasí, si nun se conoz la factorización en primos, usar l'algoritmu d'Euclides polo xeneral rique munchos menos cálculos que factorizar los dos númberos.

El teorema fundamental implica que les funciones aritmétiques aditivas y multiplicatives tán dafechu determinaes polos sos valor nes potencies de los númberos primos.

Cualquier númberu enteru n mayor que 1 puede escribise de manera única, salvo l'orde, como un productu de númberos primos.

Demostración

El teorema foi práuticamente demostráu per primer vegada por Euclides, anque la primer demostración completa apaeció nes Disquisitiones Arithmeticae de Carl Friedrich Gauss.

Anque a la primer vista el teorema paeza «obviu», non vale en sistemes numbéricos más xenerales, ente estos munchos aniellos d'enteros alxebraicos. Ernst Kummer foi'l primeru en notar esto en 1843, nel so trabayu sobre'l últimu teorema de Fermat. La reconocencia d'esti fallu ye unu de les primeres meyores de la teoría de númberos alxebraicos.

Demostración d'Euclides

La demostración facer en dos pasos. Nel primer pasu, demuéstrase que tou númberu ye un productu de númberos primos (incluyíu'l productu vacíu). Nel segundu pasu, demuéstrase que dambes representaciones son iguales.

Descomposición en primos

Supóngase qu'esiste dalgún enteru positivu que nun puede representase como productu de primos. Entós ten d'haber un mínimu númberu n con esa propiedá. Esti númberu n nun puede ser 1, pola convención anterior. Tampoco puede ser un primu, porque tou primu ye'l productu d'un únicu númberu primu: él mesmu.

Yá que nun ye primu, por definición hai un númberu distintu a sigo mesmu y distintu a 1 que lo estrema. Llamemos a esi númberu a, por definición de divisibilidad esiste b tal que n = ab.

Con éses n = ab, onde a y b son enteros positivos menores que n. Como n ye'l mínimu enteru positivu pal que falla'l teorema, tanto a como b pueden escribise como productu de primos. Pero entós n = ab tamién puede escribise como productu de primos, lo que ye amenorgamientu al absurdu contradictoriu.

Unicidá

La demostración de la unicidá sofitar nel siguiente fechu: si un númberu primu p estrema a un productu ab, entós estrema a a o estrema a b (lema d'Euclides). Pa demostrar esti lema, si supónse que p nun estrema a a, entós p y a son primos ente sigo y pola identidá de Bézout esisten x y y enteros tales que px + ai = 1. Multiplicando por b llógrase pbx + aby = b, y yá que los dos sumandos del llau esquierdu son divisibles por p, el términu de la derecha tamién ye divisible por p.

Daos dos productos de primos que tengan igual resultáu, tómese un primu p del primer productu. Estrema al primer productu, y polo tanto tamién al segundu. Pol fechu anterior, p tien d'estremar siquier a un factor del segundu productu; pero los factores son toos primos, asina que p tien de ser igual a unu de los factores del segundu productu. Puédese entós atayar a p de dambos productos. Siguiendo d'esta forma atayaránse tolos factores de dambos productos, colo cual éstos tienen de coincidir esautamente.

Demostración per descensu infinitu

Otra prueba de la unicidá de les factorizaciones en primos d'un enteru dadu utiliza'l métodu del descensu infinitu.

Supóngase que ciertu númberu enteru puede escribise como productu de factores primos de (siquier) dos maneres distintes. Entós, tien d'esistir un mínimu enteru s con esa propiedá. Sean p₁·...·p_m y q₁·...·q_n dos factorizaciones distintes de s. Nengún p_i (con 1 ≤ i ≤ m) pue ser igual a dalgún q_j (con 1 ≤ j ≤ n), pos de lo contrario habría un númberu menor que s que se podría factorizar de dos maneres (llográu al quitar factores comunes a dambos productos) contradiciendo'l camientu anterior. Puédese entós suponer ensin perda de xeneralidá que p₁ ye un factor primu menor que tolos q_j (con 1 ≤ j ≤ n). Considérese en particular q₁. Entós esisten enteros d y r tales que :${q_{1} \over p_{1}}=d+{r \over p_{1}}$ y 0 < r < p₁ < q₁ (r nun puede ser 0, cuidao qu'en tal casu q₁ sería un múltiplu de p₁ y polo tanto compuestu). Al multiplicar dambos llaos por s / q₁, resulta :$p_{2}\ldots p_{m}=\left(d+{r \over p_{1}}\right)q_{2}\ldots q_{n}=d\cdot q_{2}\ldots q_{n}+{r\cdot q_{2}\ldots q_{n} \over p_{1}}.$ El segundu términu de la última espresión tien de ser igual a un enteru (pos lo son tamién los otros términos), al que se va llamar k; esto ye, :$k={r\cdot q_{2}\ldots q_{n} \over p_{1}},$ d'onde se llogra, :$p_{1}\cdot k=r\cdot q_{2}\ldots q_{n}.$ El valor de los dos llaos d'esta ecuación ye obviamente menor que s, pero sigue siendo lo bastante grande como pa ser factorizable. Como r ye menor que p₁, los dos factorizaciones llograes en dambos llaos dempués d'escribir k y r como productu de primos tienen de ser distintos. Esto contradiz el camientu de que s ye l'enteru más pequeñu que se puede factorizar en más d'una forma. Poro, el camientu inicial ten de ser falsa.

Demostración por álxebra astracta

Sía n un enteru. Z_n ye un grupu finito, polo que tien una serie de composición. Por definición, los factores nuna serie de composición son simples; poro, na serie de Z_n éstos tienen de ser de la forma Z_p pa dalgún primu p. Como l'orde de Z_n ye'l productu de los órdenes de los factores de la so serie de composición, esto da una factorización de n en númberos primos. Pero'l teorema de Jordan-Hölder afirma qu'una serie de composición ye única, y polo tanto la factorización de n tien de ser única.

Ver tamién

• Teorema fundamental de la álxebra
• Teorema fundamental del cálculu
• Factorización d'enteros

Enllaces esternos

• Construcción d'una tabla de factores primos pa los númberos del 1 al 360 en llinguaxe Logo

• Datos: Q670235
• Multimedia: Fundamental theorem of arithmetic