Teorema de la llende central

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El teorema de la llende central o teorema central de la llende indica que, en condiciones bien xenerales, si Sn ye la suma de n variables aleatories independientes y de varianza non nula pero finita, entós la función de distribución de Sn «avérase bien» a una distribución normal (tamién llamada distribución gaussiana, curva de Gauss o campana de Gauss). Con éses el teorema asegura qu'esto asocede cuando la suma d'estes variables aleatories ya independientes ye lo suficientemente grande.[1][2]

Definición[editar | editar la fonte]

Sía la función de densidá de la distribución normal definida como[1]


con una media µ y una varianza σ2. El casu nel que la so función de densidá sía , a la distribución conózse-y como distribución normal#Función de densidá normal estándar.

Defínese Sn como la suma de n variables aleatories, independientes, hermano distribuyíes, y con una media µ y varianza σ2 finitas (σ2≠0):


de manera que, la media de Sn ye n·µ y la varianzaσ2, cuidao que son variables aleatories independientes. Con tal de faer más fácil la comprensión del teorema y el so posterior usu, faise una estandarización de Sn como


por que la media de la nueva variable sía igual a 0 y la desviación estándar sía igual a 1. Asina, les variables Zn van converxer en distribución a la distribución normal estándar N(0,1), cuando n tienda a infinitu. De resultes, si Φ(z) ye la función de distribución de N(0,1), pa cada númberu real z:


onde Pr( ) indica probabilidá y lim referir a llende matemática.

Enunciáu formal[editar | editar la fonte]

De manera formal, normalizada y amacera l'enunciáu del teorema ye:[3]

Teorema de la llende central: Sía , , ..., un conxuntu de variables aleatories, independientes y hermano distribuyíes con media μ y varianza . Sía


Entós

.

Ye bien común atopalo cola variable estandarizada Zn en función de la media muestral ,

cuidao que son equivalentes, según atopalo en versiones ensin normalizar como pue ser:[4][5]

Teorema (de la llende central): Sía , , ..., un conxuntu de variables aleatories, independientes y hermano distribuyíes d'una distribución con media μ y varianza σ2≠0. Entós, si n ye abondo grande, la variable aleatoria

tien aprosimao una distribución normal con y .


Nota: ye importante remarcar qu'esti teorema nun diz nada alrodiu de la distribución de , sacante la esistencia de media y varianza.[4]

Propiedaes[editar | editar la fonte]

  • El teorema de la llende central garantiza una distribución normal cuando n ye abondo grande.
  • L'aproximamientu ente los dos distribuciones ye, polo xeneral, mayor nel centru de les mesmes que nos sos estremos o coles, motivu pol cual prefierse'l nome "teorema de la llende central" ("central" califica a la llende, más que al teorema).

Varianza nula o infinita[editar | editar la fonte]

Nel casu de n variables aleatories Xi independientes y hermano distribuyíes, caúna d'elles con varianza nula o infinita, la distribución de les variables:


nun converxen en distribución escontra una normal. De siguío preséntense los dos casos por separáu.

Varianza infinita[editar | editar la fonte]

Considérese'l casu de variables que siguen una distribución de Cauchy:


Nesti casu puede demostrase que la distribución asintótica de Sn vien dada por otra distribución de Cauchy, con menor varianza:


Pa otres distribuciones de varianza infinita nun ye fácil dar una espresión zarrada pa la so distribución de probabilidá anque la so función característica sí tien una forma senciella, dada pol teorema de Lévy-Khintchine:[6]


onde y:


Les condiciones anteriores equivalen a qu'una distribución de probabilidá sía una distribución estable.

Varianza nula[editar | editar la fonte]

Esti casu correspuende trivialmente a una función dexenerada tipu delta de Dirac que la so función de distribución vien dada por:


Nesti casu resulta que la variable trivialmente tien la mesma distribución que caúna de les variables independientes.

Ver tamién[editar | editar la fonte]

Referencies[editar | editar la fonte]

  1. 1,0 1,1 Filmus, Yuval (xineru a febreru de 2010) (en inglés). Two Proofs of the Central Limit Theorem. http://www.cs.toronto.edu/~yuvalf/CLT.pdf. Consultáu 'l 13 d'avientu de 2010. 
  2. Grinstead, Charles M. (1997). «9. Central Limit Theorem», Introduction to Probability (PDF), 2 (en inglés), AMS Bookstore, 325-360. ISBN 0821807498.
  3. Charles Stanton. «Central limit theorem» (inglés). Probability and Statistics Deamos. Consultáu'l 13 d'avientu de 2010.
  4. 4,0 4,1 Wasserman, Larry. «5. Convergence of Random Variables», All of Statistics (en inglés). Springer, 77. ISBN 0-387-40272-1.
  5. *Weisstein, Eric W. «Central Limit Theorem» (inglés). MathWorld. Wolfram Research.
  6. P. Ibarrola, L. Pardo y V. Quesada: Teoría de la Probabilidá, p. 521-522
  • Blaiotta, Jimena; Delieutraz, Pablo (30 de xunetu de 2004). «Teorema central de la llende» (castellanu). Consultáu'l 15 d'avientu de 2010.
  • Behar Gutiérrez, Roberto (2004). 55 respuestes a duldes típiques d'Estadística editorial= Edición Díaz de Santos, S.A (en castellanu), 187-189. ISBN 84-7978-643-4.

Enllaces esternos[editar | editar la fonte]


Teorema del límite central