Llei de los grandes númberos

Na teoría de la probabilidá, sol términu xenéricu de llei de los grandes númberos se engloban dellos teoremas que describen el comportamientu del permediu d'una socesión de variables aleatories conforme aumenta'l so númberu d'ensayos.

Estos teoremas prescriben condiciones abondes pa garantizar que dichu permediu converxi (nos sentíos esplicaos embaxo) al permediu de les esperances de les variables aleatories arreyaes. Les distintes formulaciones de la llei de los grandes númberos (y les sos condiciones acomuñaes) especifiquen la converxencia de formes distintes.

Les lleis de los grandes númberos espliquen por qué'l permediu d'una muestra al azar d'una población de gran tamañu va tender a tar cerca de la media de la población completa.

Cuando les variables aleatories tienen una varianza finita, el teorema central de la llende estiende'l nuesu entendimientu de la converxencia del so permediu describiendo la distribución de diferencies estandarizadas ente la suma de variables aleatories y el valor esperáu d'esta suma: ensin importar la distribución subxacente de les variables aleatories, esta diferencia estandarizada converxe a una variable aleatoria normal estándar.

La frase "llei de los grandes númberos" ye tamién usada dacuando pa referise de primeres de que la probabilidá de que cualquier eventu posible (inclusive unu improbable) asoceda siquier una vegada nuna serie aumenta col númberu d'eventos na serie. Por casu, la probabilidá de qu'un individuu gane la llotería ye bastante baxa; sicasí, la probabilidá de que daquién gane la llotería ye bastante alta, suponiendo qu'abondes persones mercaren boletos de llotería.

Historia

La espardimientu ye un exemplu de la llei de los grandes númberos, aplicada a la química. Primeramente, hai molécules de soluto nel llau esquierdu d'una barrera (llinia púrpura) y nenguna a la derecha. Esaníciase la barrera y el soluto espublizar pa enllenar tol contenedor.
Enriba: con una sola molécula, el movimientu paez ser bastante aleatoriu.
Mediu: con más molécules, esiste un claru enclín na que'l soluto enllena'l recipiente más y más uniformemente, pero tamién hai fluctuaciones.
Embaxo: con un enorme númberu de molécules de soluto (demasiaes para trate), la aleatoriedad esencialmente sume: el soluto paez movese nidiu y sistemáticamente dende les zones d'alta concentración a les zones de baxa concentración. En situaciones reales, los químicos pueden describir l'espardimientu como un fenómenu macroscópico determinista (ver lleis de Fick), a pesar del so calter aleatoriu subxacente.

El matemáticu italianu Gerolamo Cardano (1501–1576) afirmó ensin pruebes que la precisión de les estadístiques empíriques tienden a ameyorar col númberu d'intentos.^[1] Dempués esto foi formalizáu como una llei de los grandes númberos. Una forma especial de la llei (pa una variable aleatoria binaria) foi demostrada per primer vegada por Jacob Bernoulli.^[2] Llevólu más de 20 años desenvolver una prueba matemática abondo rigorosa que foi publicada na so Ars Conjectandi [L'arte de la conxetura] en 1713. Bernouilli llamó-y el so «Teorema doráu», pero aportó a conocíu xeneralmente como «teorema de Bernoulli". Esti nun tien de confundir se col principiu físicu d'igual nome, el nome del sobrín de Jacob, Daniel Bernoulli. En 1837, S.D. Poisson describió con más detalle sol nome de «la loi des grands nomes» (la llei de los grandes númberos).^[3]^[4] A partir d'entós, conocer con dambos nomes, pero utilizar con mayor frecuencia la llei de los grandes númberos».

Dempués de que Bernoulli y Poisson publicaren los sos esfuercios, otros matemáticos tamién contribuyeron al refinamientu de la llei, como Chebyshev,^[5] Markov, Borel, Cantelli y Kolmogorov y Khinchin, que finalmente apurrió una prueba completa de la llei de los grandes númberos pa variables arbitraries.^[6] Estos nuevos estudios dieron llugar a dos formes prominentes de la llei de los grandes númberos: una llámase la llei "débil" y la otra la llei "fuerte", en referencia a dos maneres distintes de converxencia de la muestra acumulada significa'l valor esperáu; en particular, como s'esplica de siguío, la forma fuerte implica la débil.^[6]

Llei débil

La llei débil de los grandes númberos establez que si X₁, X₂, X₃, ... ye una socesión infinita de variables aleatories independientes que tienen el mesmu valor esperáu $\mu$ y varianza $\sigma ^{2}$ , entós el permediu

{\overline {X}}_{n}=(X_{1}+\cdots +X_{n})/n

converxe en probabilidá a μ. N'otres pallabres, pa cualquier númberu positivu ε tiense

\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {P} \left(\left|{\overline {X}}_{n}-\mu \right|<\varepsilon \right)=1.

Llei fuerte

La llei fuerte de los grandes númberos establez que si X₁, X₂, X₃, ... ye una socesión infinita de variables aleatories independientes y hermano distribuyíes que cumplen Y(|X_i|) < ∞ y tienen el valor esperáu μ, entós

\operatorname {P} \left(\lim _{n\rightarrow \infty }{\overline {X}}_{n}=\mu \right)=1,

esto ye, el permediu de les variables aleatories converxe a μ casi de xuru (nun conxuntu de probabilidá 1).

Esta llei xustifica la interpretación intuitiva del valor esperáu d'una variable aleatoria como'l "permediu al llargu plazu al faer un muestreo repetitivu".

Demostración (resultancia preliminar)

Vamos Demostrar la siguiente resultancia: Sía

{X_{i}}\,

una socesión de variables aleatories independientes y integrables con

\mathbb {P} X_{n}=0\,

(esperanza 0) y

\sum _{i}{\frac {\mathbb {P} X_{i}^{2}}{i^{2}}}<\infty \,

; entós, el permediu

{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\rightarrow 0

casi de xuru cuando

n\rightarrow \infty \,

. Esti teorema nun asume que les variables aleatories son hermano distribuyíes pero controla la crecedera de les varianzas.

Pa demostrar el teorema vamos faer usu del siguiente lema:

Desigualdá Maximal. Sean $Z_{1},...,Z_{N}\,$ variables aleatories independientes y sían $\epsilon _{1},\,\,\epsilon _{2}$ y $\beta \,\!$ constantes positives que cumplen $\mathbb {P} \{|Z_{i}+Z_{i+1}+...+Z_{N}|\leq \epsilon _{2}\}\geq 1/\beta$ pa cada i. Depués

\mathbb {P} \{max_{i\leq N}|Z_{1}+...+Z_{i}|>\epsilon _{1}+\epsilon _{2}\}\leq \beta \mathbb {P} \{|Z_{1}+...+Z_{N}|>\epsilon _{1}\}

Demostración del lema: Sean $S_{i}:=Z_{1}+...+Z_{i}\,$ y $T_{i}:=S_{N}-S_{i}\,$ . Definamos coles mesmes la variable aleatoria

$\tau =\left\{{\begin{matrix}{\text{primer i pal cual }}|S_{i}|>\epsilon _{1}+\epsilon _{2}\\N\,\,{\text{si }}|S_{i}|\leq \epsilon _{1}+\epsilon _{2}\,\,{\text{pa tou }}i\end{matrix}}\right.$

Tenemos entós:

{\begin{array}{rcl}\mathbb {P} \{max_{i\leq N}|Z_{1}+...+Z_{i}|>\epsilon _{1}+\epsilon _{2}\}&=&\mathbb {P} \{\tau =i,|S_{i}|>\epsilon _{1}+\epsilon _{2}{\text{ pa algun i}}\}\\&=&\sum _{i=1}^{N}\mathbb {P} \{\tau =i,|S_{i}|>\epsilon _{1}+\epsilon _{2}\}\quad {\text{pos son eventos dixuntos}}\\&\leq &\sum _{i=1}^{N}\mathbb {P} \{\tau =i,|S_{i}|>\epsilon _{1}+\epsilon _{2}\}\beta \mathbb {P} \{|T_{i}|\leq \epsilon _{2}\}\quad {\text{hipotesis del lema}}\\&=&\beta \sum _{i=1}^{N}\mathbb {P} \{\tau =i,|S_{i}|>\epsilon _{1}+\epsilon _{2},|T_{i}|\leq \epsilon _{2}\}\quad {\text{por independencia ente los }}S_{i}{\text{ y los }}T_{i}\end{array}}

Agora bien, si $|S_{i}|>\epsilon _{1}+\epsilon _{2}\,$ y $|T_{i}|\leq \epsilon _{2}$ entós implica que $|S_{i}|>\epsilon _{1}\,$ per ende:

\mathbb {P} \{max_{i\leq N}|Z_{1}+...+Z_{i}|>\epsilon _{1}+\epsilon _{2}\}\leq \beta \sum _{i=1}^{N}\mathbb {P} \{\tau =i,|S_{i}|>\epsilon _{1}\}=\beta \mathbb {P} \{|Z_{1}+...+Z_{N}|>\epsilon _{1}\}

colo que se conclúi'l lema. (Fin demostración del lema)

Sigamos cola demostración del teorema: Definamos

{\begin{array}{rcl}S_{i}&:=&X_{1}+...+X_{i}\\\sigma _{i}^{2}&:=&\mathbb {P} X_{i}^{2}\,;\quad V_{i}:=\sigma _{1}^{2}+...+\sigma _{i}^{2}=\mathbb {P} S_{i}^{2}\\B_{k}&:=&{n:n_{k}<n\leq n_{k+1}}\quad {\text{onde }}n_{k}:=2^{k},\,\,k=1,2,3,...\end{array}}

Tenemos entós que la serie $\sum _{k}V(n_{k})/n_{k}^{2}$ ye converxente pos:

\sum _{k=1}^{\infty }V(n_{k})/n_{k}^{2}=\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }\sigma _{j}^{2}\chi _{\{j\leq 2^{k}\}}4^{-k}=\sum _{j=1}^{\infty }\sigma _{j}^{2}\sum _{k=1}^{\infty }\chi _{\{j\leq 2^{k}\}}4^{-k}=\sum _{j=1}^{\infty }\sigma _{j}^{2}4^{-([\log _{2}j]+1)}{\frac {4}{3}}\leq {\frac {4}{3}}\sum _{j=1}^{\infty }\sigma _{j}^{2}/j^{2}<\infty

La converxencia c.t.p. qu'asegura'l teorema ye equivalente a:

\max _{n}{\frac {|S_{n}|}{n}}\rightarrow 0\quad {\text{cuando }}k\rightarrow \infty

Pol lema de Borel-Cantelli, ye abondu demostrar que, pa tou $\epsilon >0\,\!$

( 1) $\sum _{k}\mathbb {P} \left\{\max _{n\in B_{k}}{\frac {|S_{n}|}{n}}>\epsilon \right\}<\infty$

Cada probabilidá na suma anterior pue ser acutada por:

\mathbb {P} \left\{\max _{n\leq n_{k+1}}|S_{n}|>\epsilon n_{k}\right\}

Agora aplícase la desigualdá maximal:

\mathbb {P} \left\{\max _{n\leq n_{k+1}}|S_{n}|>\epsilon n_{k}\right\}\leq \beta _{k}\mathbb {P} \{|S_{n_{k+1}}|>{\frac {\epsilon }{2}}\,n_{k}\}\leq \beta _{k}4V(n_{k+1})/(\epsilon n_{k})^{2}

La última desigualdá de la llinia anterior xustificar pola desigualdá de Chebyshev. Una nueva aplicación d'esta mesma desigualdá déxanos acutar los $\beta _{k}\,$ :

{\begin{array}{rcl}\beta _{k}^{-1}&=&\min _{n\leq n_{k+1}}\mathbb {P} \{|S_{n_{k+1}}-S_{n}|\leq {\frac {\epsilon }{2}}n_{k}\}\\&\geq &1-\max _{n\leq n_{k+1}}{\frac {4\mathbb {P} (S_{n_{k+1}}-S_{n})^{2}}{\epsilon ^{2}n_{k}^{2}}}\\&\geq &1-{\frac {16\,V(n_{n_{k}+1})}{\epsilon ^{2}n_{k}^{2}}}\rightarrow 1\qquad {\text{cuando }}k\rightarrow \infty \end{array}}

Esto ye, llogremos acutar cada sumandu de la (1) por una constante polos términos d'una sumatoria que sabemos converxente, demostrando la converxencia de felicidá sumatoria y concluyendo via Borel-Cantelli la converxencia fuerte del teorema.

(Fin de la demostración) $\blacksquare$

Demostración de la llei fuerte de los grandes númberos (Kolmogorov)

Sía

{X_{i}}\,

una socesión de variables aleatories independientes, integrables y hermano distribuyíes con

\mathbb {P} X_{n}=0\,

(esperanza 0), entós, el permediu

{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\rightarrow 0

casi de xuru cuando

n\rightarrow \infty \,

.

Definamos $Y_{i}=X_{i}\chi _{\{|X_{i}|\leq i\}}\,$ y $\mu _{i}=\mathbb {P} Y_{i}\,$ . Tenemos que $0=\mathbb {P} X_{i}=\mu _{i}+\mathbb {P} X_{i}\chi _{\{|X_{i}|>i\}}$ . Amás, usando la hipótesis de distribuciones idéntiques, podemos polo xeneral reemplazar (non siempres) una distribución $X_{i}\,$ xenérica por un representante, digamos $X_{1}\,$ . Tenemos entós:

(1) $\left|{\frac {1}{n}}\sum _{i\leq n}\mu _{i}\right|\leq \mathbb {P} {\frac {1}{n}}\sum _{i\leq n}|X_{1}|\chi _{\{|X_{1}|>i\}}\leq \mathbb {P} \left\{|X_{1}|\min \left(1,{\frac {|X_{1}|}{n}}\right)\right\}\rightarrow 0$

La última converxencia a cero vien dada pola converxencia puntual más converxencia apoderada por $\,|X_{1}|$ . Tamién tenemos que:

(2) ${\begin{array}{rcl}\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} \{X_{i}\neq Y_{i}\}&=&\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} \{|X_{i}|>i\}\\&=&\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} \{|X_{1}|>i\}\\&=&\sum _{i=1}^{\infty }i\,\mathbb {P} {\{|X_{1}|>i,|X_{1}|\leq i+1\}}\\&\leq &\mathbb {P} |X_{1}|<\infty \end{array}}$

La tercer igualdá vien de que pa cualesquier variable aleatoria cumplir que:

\sum _{i\geq 1}\chi _{\{X>i\}}=\sum _{i\geq 1}i\,\chi _{\{X>i,x\leq i+1\}}

La (2) implica, por Borel-Canteli, que'l conxuntu $\{X_{i}\neq Y_{i}\,,{\text{pa infinitos i}}\}$ tien probabilidad cero. Poro, nun conxuntu de probabilidá 1 cumplir:

(3) $\left|{\frac {1}{n}}\sum _{i\leq n}X_{i}-{\frac {1}{n}}\sum _{i\leq n}Y_{i}\right|\rightarrow 0$

De la desigualdá $\mathbb {P} (Y_{i}-\mu _{i})^{2}\leq \mathbb {P} Y_{i}^{2}=\mathbb {P} (X_{1}^{2}\chi _{\{|X_{1}|\leq i\}})\,$ podemos deducir que:

\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {\mathbb {P} (Y_{i}-\mu _{i})^{2}}{i^{2}}}\leq \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {\mathbb {P} (X_{1}^{2}\chi _{\{|X_{1}|\leq i\}})}{i^{2}}}=\mathbb {P} \left\{\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {X_{1}^{2}\chi _{\{|X_{1}|\leq i\}}}{i^{2}}}\right\}\leq C\mathbb {P} |X_{1}|<\infty

Pol teorema enantes demostráu tenemos:

(4) ${\frac {1}{n}}\sum _{i\leq n}(Y_{i}-\mu _{i})\rightarrow 0$

casi de xuru. Como amás tenemos que:

\left|{\frac {1}{n}}\sum _{i\leq n}X_{i}\right|\leq \left|{\frac {1}{n}}\sum _{i\leq n}(X_{i}-Y_{i})\right|+\left|{\frac {1}{n}}\sum _{i\leq n}(Y_{i}-\mu _{i})\right|+\left|{\frac {1}{n}}\sum _{i\leq n}\mu _{i}\right|

Entós, de les ecuaciones (1), (3) y (4) deduzse que $\left|{\frac {1}{n}}\sum _{i\leq n}X_{i}\right|\rightarrow 0\,$ en casi en tolos puntos, concluyendo'l teorema.

(Fin de la demostración) $\blacksquare$

Ver tamién

Referencies

David Pollard, A user´s guide to measure theoretic probability, Cambridge University Press (2003).

Referencies

↑ Mlodinow, L. The Drunkard's Walk. New York: Random House, 2008. p. 50.
↑ Jakob Bernoulli, Ars Conjectandi: Usum & Applicationem Praecedentis Doctrinae in Civilibus, Moralibus & Oeconomicis, 1713, Chapter 4, (Translated into English by Oscar Sheynin)
↑ Poisson names the "law of large numbers" (la loi des grands nomes) in: S.D. Poisson, Probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, précédées des règles générales du calcul des probabilitiés (Paris, France: Bachelier, 1837), p. 7. He attempts a two-part proof of the law on páxs. 139–143 and páxs. 277 ff.
↑ Hacking, Ian. (1983) "19th-century Cracks in the Concept of Determinism", Journal of the History of Ideas, 44 (3), 455-475 Plantía:Jstor
↑ «Démonstration élémentaire d'une proposition générale de la théorie des probabilités». Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal) 1846 (33): páxs. 259–267. 1846. doi:10.1515/crll.1846.33.259.
↑ ^6,0 ^6,1 Seneta, 2013.

[1] Mlodinow, L. The Drunkard's Walk. New York: Random House, 2008. p. 50.

[2] Jakob Bernoulli, Ars Conjectandi: Usum & Applicationem Praecedentis Doctrinae in Civilibus, Moralibus & Oeconomicis, 1713, Chapter 4, (Translated into English by Oscar Sheynin)

[3] Poisson names the "law of large numbers" (la loi des grands nomes) in: S.D. Poisson, Probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, précédées des règles générales du calcul des probabilitiés (Paris, France: Bachelier, 1837), p. 7. He attempts a two-part proof of the law on páxs. 139–143 and páxs. 277 ff.

[4] Hacking, Ian. (1983) "19th-century Cracks in the Concept of Determinism", Journal of the History of Ideas, 44 (3), 455-475 Plantía:Jstor

[5] «Démonstration élémentaire d'une proposition générale de la théorie des probabilités». Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal) 1846 (33): páxs. 259–267. 1846. doi:10.1515/crll.1846.33.259.

[FOOTNOTESeneta2013{{{c}}}-6] 6,0 ^6,1 Seneta, 2013.

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