Llei de los grandes númberos

De Wikipedia
Saltar a navegación Saltar a la gueta

Na teoría de la probabilidá, sol términu xenéricu de llei de los grandes númberos se engloban dellos teoremas que describen el comportamientu del promediu d'una socesión de variables aleatories conforme aumenta'l so númberu d'ensayos.

Estos teoremas prescriben condiciones abondes pa garantizar que dichu promediu converxi (nos sentíos esplicaos embaxo) al promediu de les esperances de les variables aleatories arreyaes. Les distintes formulaciones de la llei de los grandes númberos (y les sos condiciones acomuñaes) especifiquen la converxencia de formes distintes.

Les lleis de los grandes númberos espliquen por qué'l promediu d'una amuesa al azar d'una población de gran tamañu va tender a tar cerca de la media de la población completa.

Cuando les variables aleatories tienen una varianza finita, el teorema central de la llende estiende'l nuesu entendimientu de la converxencia del so promediu describiendo la distribución de diferencies estandarizadas ente la suma de variables aleatories y el valor esperáu d'esta suma: ensin importar la distribución subxacente de les variables aleatories, esta diferencia estandarizada converxe a una variable aleatoria normal estándar.

La frase "llei de los grandes númberos" ye tamién usada dacuando pa referise de primeres de que la probabilidá de que cualquier eventu posible (inclusive unu improbable) asoceda siquier una vegada nuna serie aumenta col númberu d'eventos na serie. Por casu, la probabilidá de qu'un individuu gane la llotería ye bastante baxa; sicasí, la probabilidá de que daquién gane la llotería ye bastante alta, suponiendo qu'abondes persones mercaren boletos de llotería.

Hestoria[editar | editar la fonte]

La espardimientu ye un exemplu de la llei de los grandes númberos, aplicada a la química. Primeramente, hai molécules de soluto nel llau esquierdu d'una barrera (llinia púrpura) y nenguna a la derecha. Esaníciase la barrera y el soluto espublizar pa enllenar tol contenedor.
Enriba: con una sola molécula, el movimientu paez ser bastante aleatoriu.
Mediu: con más molécules, esiste un claru enclín na qu'el soluto enllena'l recipiente más y más uniformemente, pero tamién hai fluctuaciones.
Embaxo: con un enorme númberu de molécules de soluto (demasiaes para trate), la aleatoriedad esencialmente sume: el soluto paez movese nidiu y sistemáticamente dende les zones d'alta concentración a les zones de baxa concentración. En situaciones reales, los químicos pueden describir l'espardimientu como un fenómenu macroscópico determinista (ver lleis de Fick), a pesar del so calter aleatoriu subxacente.

El matemáticu italianu Gerolamo Cardano (1501–1576) afirmó ensin pruebes que la precisión de les estadístiques empíriques tienden a ameyorar col númberu d'intentos.[1] Dempués esto foi formalizáu como una llei de los grandes númberos. Una forma especial de la llei (pa una variable aleatoria binaria) foi demostrada per primer vegada por Jacob Bernoulli.[2] Llevólu más de 20 años desenvolver una prueba matemática abondo rigorosa que foi publicada na so Ars Conjectandi [L'arte de la conxetura] en 1713. Bernouilli llamó-y el so «Teorema doráu», pero aportó a conocíu xeneralmente como «teorema de Bernoulli". Esti nun tien de confundir se col principiu físicu d'igual nome, el nome del sobrín de Jacob, Daniel Bernoulli. En 1837, S.D. Poisson describió con más detalle sol nome de «la loi deas grands nomes» (la llei de los grandes númberos).[3][4] A partir d'entós, conocer con dambos nomes, pero utilizar con mayor frecuencia la llei de los grandes númberos».

Dempués de que Bernoulli y Poisson publicaren los sos esfuercios, otros matemáticos tamién contribuyeron al refinamientu de la llei, como Chebyshev,[5] Markov, Borel, Cantelli y Kolmogorov y Khinchin, que finalmente apurrió una prueba completa de la llei de los grandes númberos pa variables arbitraries.[6] Estos nuevos estudios dieron llugar a dos formes prominentes de la llei de los grandes númberos: una llámase la llei "débil" y l'otra la llei "fuerte", en referencia a dos maneres distintes de converxencia de l'amuesa acumulada significa'l valor esperáu; en particular, como s'esplica de siguío, la forma fuerte implica la débil.[6]

Llei débil[editar | editar la fonte]

La llei débil de los grandes númberos establez que si X1, X2, X3, ... ye una socesión infinita de variables aleatories independientes que tienen el mesmu valor esperáu y varianza , entós el promediu

converxe en probabilidá a μ. N'otres pallabres, pa cualquier númberu positivu ε tiense


Llei fuerte[editar | editar la fonte]

La llei fuerte de los grandes númberos establez que si X1, X2, X3, ... ye una socesión infinita de variables aleatories independientes y hermano distribuyíes que cumplen Y(|Xi|) < ∞   y tienen el valor esperáu μ, entós

esto ye, el promediu de les variables aleatories converxe a μ casi de xuru (nun conxuntu de probabilidá 1).

Esta llei xustifica la interpretación intuitiva del valor esperáu d'una variable aleatoria como'l "promediu al llargu plazu al faer un muestreo repetitivu".

Ver tamién[editar | editar la fonte]

Referencia[editar | editar la fonte]



Referencies[editar | editar la fonte]

  1. Mlodinow, L. The Drunkard's Walk. New York: Random House, 2008. p. 50.
  2. Jakob Bernoulli, Ars Conjectandi: Usum & Applicationem Praecedentis Doctrinae in Civilibus, Moralibus & Oeconomicis, 1713, Chapter 4, (Translated into English by Oscar Sheynin)
  3. Poisson names the "law of large numbers" (la loi deas grands nomes) in: S.D. Poisson, Probabilité deas jugements en matière criminelle et en matière civile, précédées deas règles générales du calcul deas probabilitiés (Paris, France: Bachelier, 1837), p. 7. He attempts a two-part proof of the law on pp. 139–143 and pp. 277 ff.
  4. Hacking, Ian. (1983) "19th-century Cracks in the Concept of Determinism", Journal of the History of Escurres, 44 (3), 455-475 Plantía:Jstor
  5. «Démonstration élémentaire d'une proposition générale de la théorie deas probabilités». Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal) 1846 (33):  pp. 259–267. 1846. doi:10.1515/crll.1846.33.259. 
  6. 6,0 6,1 Seneta, 2013.


Ley de los grandes números