Curva

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Ellipse PLS en.png

En matemátiques, el conceutu de curva tenta d'amosar la idea intuitiva de llinia continua, d'una dimensión, que cimbla de direición paulatinamente. Exemplos cenciellos de curves zarraes son la elipse o la circunferencia, y de curves abiertes la parábola, la hipérbola o la catenaria. La reuta sedría'l casu llímite d'una curva de radiu infinitu.

Definiciones[editar | editar la fonte]

En xeometría, una curva nel n-espaciu euclidianu ye un conxuntu \mathcal{C}\sub\mathbb{R}^n que ye la imaxe d'un intervalu Ι abiertu baxo una aplicación diferenciable \mathbf{x}\colon\Iota\to\mathbb{R}^n, i.e:

\mathcal{C} = \{\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^n\colon t\in\Iota \}

au suel dicise que (\mathbf{x}, \Iota) ye una representación paramétrica o parametrización de \mathcal{C}.

Col envís d'evitar auto interseiciones, puntos singulares y a los cabos, defínese el conceutu de curva cenciella como aquella curva tala que pa tou puntu p esiste un Ω entornu abiertu de p pal que \Omega\cap\mathcal{C} almite una representación de clas C^k con k\geq 1.

Xeometría diferencial de curves en \mathbb{R}^3[editar | editar la fonte]

La xeometría diferencial de curves propón definiciones y métodos p'analizar curves cencielles nel espaciu euclídeu tridimensional o, más xeneralmente, curves conteníes en variedaes de Riemann. En particular, nel espaciu euclideu tridimensional \mathbb{R}^3, una curva de la que se conoz un puntu de pasu y el vector tanxente en talu puntu, queda descrita ensembre pola so corvadura y torsión. Esta corvadura y torsión puen estudiase per duana del denomáu triedru de Frênet-Serret, desplicáu darréu.

Vectores tanxente, normal y binormal[editar | editar la fonte]

Vista esquemática del vector tanxente (azul), vector normal (verde) y vector binormal (bermeyu) d'una curva espiral.

Dada una curva parametrizada r(t) según un parámetru cualesquiera t defínese'l denomáu vector tanxente, binormal y normal como:

\mathbf{t}(t)=\frac{\mathbf{r}'(t)}{\left \Vert \mathbf{r}'(t) \right \|}


\mathbf{b}(t)=\frac{\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{r}''(t)}{\left \Vert \mathbf{r}'(t)\times \mathbf{r}''(t) \right \|}


\mathbf{n}(t)=\mathbf{b}(t)\times \mathbf{t}(t)


Estos tres vectores son unitarios y perpendiculares ente sí, xuntos configuren un sistema de referencia móvil conocíu como triedru de Frênet-Serret. Ye interesante que pa una partícula física desplazándose nel espaciu, el vector tanxente ye paralelu a la velocidá, mentanto que'l vector normal da'l cambéu direición por unidá de tiempu de la velocidá o aceleración normal.

Enllaces esternos[editar | editar la fonte]

curves
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