Aniellu conmutativu

Aniellu conmutativu
	graded-commutative ring (en) y polynomial identity ring (en)

En teoría d'aniellos (una caña del álxebra astracta), un aniellu conmutativu ye un aniellu (R, +, ·) nel que la operación de multiplicación · ye conmutativa; esto ye, si pa cualesquier a, b ∈ R, a·b = b·a.

Si adicionalmente l'aniellu tien un elementu unitariu 1 tal que 1a = a = a1 pa tou a, entós l'aniellu denominar aniellu conmutativu unitariu.

La caña de la teoría d'aniellos qu'estudia los aniellos conmutativos denominar álxebra conmutativa.

Exemplos

L'exemplu más importante ye seique'l de los númberos enteros coles operaciones avezaes de suma y multiplicación, dambes conmutatives. Esti aniellu usualmente se denota por Z, pola pallabra alemana Zahlen (númberos).
Los númberos racionales, reales, y complexos formen aniellos conmutativos coles operaciones avezaes; entá más, son cuerpos.
Más xeneralmente, tou campu ye un aniellu conmutativu por definición.
Pal casu, exemplu d'un aniellu non conmutativu ye'l conxuntu de matrices cuadraes de 2×2 con valores reales. Como segunda operación, la multiplicación matricial

{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&1\\1&0\\\end{bmatrix}}

da un resultáu distinta que si s'invierte l'orde de los factores:

{\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2\\1&1\\\end{bmatrix}}.

Otru aniellu non conmutativu ye'l conxuntu de les funciones continues reales definíes nel intervalu zarráu [0,1] cola adición de funciones, primer operación; y la segunda operación , la composición de funciones; cumplir la asociatividad, la distributividad y l'esistencia de la unidá multiplicativa I/ I(x) = x.
Si n > 0 ye un enteru, el conxuntu Z_n d'enteros módulu n forma un aniellu conmutativu con n elementos.
Si R ye un aniellu conmutativu, el conxuntu de polinomios de variable X con coeficientes en R forma un nuevu aniellu conmutativu, denotado por R[X].
El conxuntu de númberos racionales de denominador impar forma un aniellu conmutativu, puramente conteníu nel aniellu Q de los racionales, y que contién puramente al Z de los enteros.

Si f : R → S ye un homomorfismo d'aniellos ente R y S, S ye conmutativu, y f ye inyectiva (esto ye, un monomorfismo), R tamién tien de ser conmutativu, pos f(a·b) = f(a)·f(b) = f(b)·f(a) = f(b·a).
Si f : R → S ye un homomorfismo d'aniellos ente R y S, con R ye conmutativu, la imaxe f(R) de R va ser tamién conmutativa; en particular, si f ye sobreyectiva (esto ye, un epimorfismo), S va ser conmutativu tamién.

El mayor interés de los aniellos conmutativos ta en cuando amás son unitarios, esto ye, los aniellos conmutativos unitarios.