Aniellu conmutativu

De Wikipedia
Saltar a navegación Saltar a la gueta

En teoría d'aníos (una caña del álxebra astracta), un aníu conmutativu ye un aníu (R, +, ·) nel que la operación de multiplicación · ye conmutativa; esto ye, si pa cualesquier a, bR, a·b = b·a.

Si adicionalmente l'aníu tien un elementu unitariu 1 tal que 1a = a = a1 pa tou a, entós l'aníu denominar aníu conmutativu unitariu.

La caña de la teoría d'aníos qu'estudia los aníos conmutativos denominar álxebra conmutativa.

Exemplos[editar | editar la fonte]

  • L'exemplu más importante ye seique'l de los númberos enteros coles operaciones avezaes de suma y multiplicación, dambes conmutatives. Esti aníu usualmente se denota por Z, pola palabra alemana Zahlen (númberos).
  • Los númberos racionales, reales, y complexos formen aníos conmutativos coles operaciones avezaes; entá más, son cuerpos.
  • Más xeneralmente, tou campu ye un aníu conmutativu por definición.
  • Pal casu, exemplu d'un aníu non conmutativu ye'l conxuntu de matrices cuadraes de 2×2 con valores reales. Como segunda operación, la multiplicación matricial
da una resultancia distinta que si s'invierte l'orde de los factores:
  • Otru aníu non conmutativu ye'l conxuntu de les funciones continues reales definíes nel intervalu zarráu [0,1] cola adición de funciones, primer operación; y la segunda operación , la composición de funciones; cumplir la asociatividad, la distributividad y l'esistencia de la unidá multiplicativa I/ I(x) = x.
  • Si n > 0 ye un enteru, el conxuntu Zn d'enteros módulu n forma un aníu conmutativu con n elementos.
  • Si R ye un aníu conmutativu, el conxuntu de polinomius de variable X con coeficientes en R forma un nuevu aníu conmutativu, denotado por R[X].
  • El conxuntu de númberos racionales de denominador impar forma un aníu conmutativu, puramente conteníu nel aníu Q de los racionales, y que contien puramente al Z de los enteros.

Propiedad[editar | editar la fonte]

  • Si f : RS ye un homomorfismo d'aníos ente R y S, S ye conmutativu, y f ye inyectiva (esto ye, un monomorfismo), R tamién tien de ser conmutativu, pos f(a·b) = f(af(b) = f(bf(a) = f(b·a).
  • Si f : RS ye un homomorfismo d'aníos ente R y S, con R ye conmutativu, la imaxe f(R) de R va ser tamién conmutativa; en particular, si f ye sobreyectiva (esto ye, un epimorfismo), S va ser conmutativu tamién.

El mayor interés de los aníos conmutativos ta en cuando amás son unitarios, esto ye, los aníos conmutativos unitarios.

Ver tamién[editar | editar la fonte]

Enllaces esternos[editar | editar la fonte]


Anillo conmutativo