Resistencia de materiales

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La resistencia de materiales clásica ye una disciplina de la inxeniería mecánica, la inxeniería estructural y la inxeniería industrial qu'estudia la mecánica de sólidos deformables por aciu modelos simplificaos. La resistencia d'un elementu defínese como la so capacidá p'aguantar esfuerzos y fuerces aplicaes ensin rompese, adquirir deformaciones permanentes o deteriorase de dalguna manera.

Un modelu de resistencia de materiales establez una relación ente les fuerces aplicaes, tamién llamaes cargues o acciones, y los esfuerzos y desplazamientos inducíos por elles. Xeneralmente les simplificaciones xeométriques y les restricciones impuestes sobre la manera d'aplicación de les cargues faen que'l campu de deformaciones y tensiones sían senciellos de calcular.

Pal diseñu mecánicu d'elementos con xeometríes complicaes la resistencia de materiales suel ser abondosu y ye necesariu usar técniques basaes na teoría de la elasticidá o la mecánica de sólidos deformables más xenerales. Esos problemes plantegaos en términos de tensiones y deformaciones pueden entós ser resueltos de forma bien averada con métodos numbéricos como l'analís por elementos finitos.

Enfoque de la resistencia de materiales[editar | editar la fonte]

La teoría de sólidos deformables rique xeneralmente trabayar con tensiones y deformaciones. Estes magnitúes vienen daes por campos tensoriales definíos sobre dominios tridimensionales que satisfaen complicaes ecuaciones diferenciales.

Sicasí, pa ciertes xeometríes aprosimao unidimensionales (vigues, pilastraes, celosías, arcos, etc.) o bidimensionales (plaques y llámines, membranes, etc.) l'estudiu puede simplificase y pueden analizase por aciu el cálculu d'esfuerzos internos definíos sobre una llinia o una superficie en llugar de tensiones definíes sobre un dominiu tridimensional. Amás les deformaciones pueden determinase colos esfuerzos internos al traviés de cierta hipótesis cinemática. En resume, pa eses xeometríes toa l'estudiu puede amenorgase al estudiu de magnitúes alternatives a deformaciones y tensiones.

L'esquema teóricu d'un analís de resistencia de materiales entiende:

Nes aplicaciones práutiques l'analís ye senciellu. Constrúyese un esquema ideal de cálculu formáu por elementos unidimensionales o bidimensionales, y aplíquense fórmules preestablecidas en base al tipu de solicitación que presenten los elementos. Eses fórmules preestablecidas que nun precisen ser deducíes pa cada casu, basar nel esquema de cuatro puntos anteriores. Más concretamente'l resolvimientu prácticu d'un problema de resistencia de materiales sigue los siguientes pasos:

  1. Cálculu d'esfuerzos, plantégense les ecuaciones d'equilibriu y ecuaciones de compatibilidá que sían necesaries p'atopar los esfuerzos internos en función de les fuerces aplicaes.
  2. Analís resistente, calcúlense les tensiones a partir de los esfuerzos internos. La relación ente tensiones y deformaciones depende del tipu de solicitación y de la hipótesis cinemática asociada: flexón de Bernouilli, flexón de Timoshenko, flexón esviada, tracción, pandeo, torsión de Coulomb, teoría de Collignon pa tensiones cortantes, etc.
  3. Analís de rixidez, calcúlense los desplazamientos máximos a partir de les fuerces aplicaes o los esfuerzos internos. Pa ello puede recurrise directamente a la forma de la hipótesis cinemática o bien a la ecuación de la curva elástica, les fórmules vectoriales de Navier-Bresse o los teoremas de Castigliano.

Hipótesis cinemática[editar | editar la fonte]

La hipótesis cinemática ye una especificación matemática de los desplazamientos d'un sólidu deformable que dexa calcular les deformaciones en función d'un conxuntu de parámetro incógnita.

El conceutu úsase especialmente nel cálculu d'elementos llineales (por casu, vigues) y elementos bidimensionales, onde gracies a la hipótesis cinemática pueden llograse relaciones funcionales más simples. Con éses gracies a la hipótesis cinemática pueden rellacionase los desplazamientos en cualquier puntu del sólidu deformable d'un dominiu tridimensional colos desplazamientos especificaos sobre un conxuntu unidimensional o bidimensional.

Hipótesis cinemática n'elementos llineales[editar | editar la fonte]

La resistencia de materiales propón pa elementos llineales o prismes mecánicos, como les vigues y pilastraes, nes que'l desplazamientu de cualquier puntu puede calculase a partir de desplazamientos y xiros especificaos sobre'l exa baricéntrico. Eso significa que por casu pa calcular una viga en llugar de espeficar los desplazamientos de cualquier puntu en función de trés coordenaes, podemos espresalos como función d'una sola coordenada sobre la exa baricéntrico, lo cual conduz a sistemes d'ecuaciones diferenciales relativamente simples. Esisten diversos tipos d'hipótesis cinemátiques según el tipu de solicitación de la viga o elementu unidimensional:

Hipótesis cinemática n'elementos superficiales[editar | editar la fonte]

Para plaques y llámines sometíes a flexón úsense dos hipótesis, que pueden ponese en correspondencia coles hipótesis de vigues:

Ecuación constitutiva[editar | editar la fonte]

Les ecuaciones constitutives de la resistencia de materiales son les que explicitan el comportamientu del material, xeneralmente tómense como ecuaciones constitutives les ecuaciones de Lamé-Hooke de la elasticidá llineal. Estes ecuaciones pueden ser especializaes pa elementos llineales y superficiales. Pa elementos llineales nel cálculu de les secciones, les tensiones sobre cualquier puntu (y,z) de la sección puedan escribise en función de les deformaciones como:


Sicasí, pa elementos superficiales sometíos predominantemente a flexón como les plaques la especialización de les ecuaciones de Hooke ye:


Amás d'ecuaciones constitutives elástiques, nel cálculu estructural delles normatives recueyen métodos de cálculu plásticu onde s'usen ecuaciones constitutives de plasticidad.

Ecuaciones d'equivalencia[editar | editar la fonte]

Les ecuaciones d'equivalencia espresen los esfuerzos resultantes a partir de la distribución de tensiones. Gracies a esi cambéu ye posible escribir ecuaciones d'equilibriu que rellacionen directamente les fuerces aplicaes colos esfuerzos internos.

Elementos llineales[editar | editar la fonte]

En elementos llineales rectos les coordenaes cartesianes pa representar la xeometría y espresar tensiones y esfuerzos, escuéyense de normal cola exa X paralelu al exa baricéntrico de la pieza, y les exes Y y Z coincidiendo coles direcciones principales d'inercia. Nesi sistema de coordenaes la relación ente esfuerzu normal (Nx), esfuerzos cortantes (Vy, Vz), el momentu torsor (Mx) y los momentos flectores (My, Mz) ye:


Exes avezaes pa una pieza prismática recta, con una sección tresversal recta, a la que se refieren los esfuerzos de sección.

Onde les tensiones qu'apaecen son les componentes del tensor tensión pa una pieza prismática:


Elementos bidimensionales[editar | editar la fonte]

Para elemento bidimensionales ye común tomar un sistema de dos coordenaes (cartesianu o curvilliniu) coincidentes cola superficie media, tando la tercera coordenada alliniada cola espesura. Pa una placa plana d'espesura 2t y con un sistema de coordenaes nel que'l planu XY coincide col so planu mediu. Los esfuerzos componer de 4 esfuerzos de membrana (o esfuerzos axiles por unidá d'área), 4 momentos flectores y 2 esfuerzos cortantes. Los esfuerzos de membrana usando un conxuntu de coordenaes ortogonales sobre una llámina de Reissner-Mindlin:


Onde son los radios de combadura en caúna de les direcciones coordenaes y z ye l'altor sobre la superficie media de la llámina. Los esfuerzos cortantes y los momentos flectores por unidá d'área vienen daos por:


El tensor tensión d'una llámina xeneral pa la que valen les hipótesis de Reissner-Mindlin ye:


Un casu particular de lo anterior constituyir les llámines planes que la so deformación afacer a la hipótesis de Love-Kirchhoff, caracterizada por que'l vector normal a la superficie media deformada coincide cola normal deformada. Esa hipótesis ye una bien bonu aproximamientu cuando los esfuerzos cortantes son despreciables y nesi casu los momentos flectores por unidá d'área en función de les tensiones vienen daos por:


Onde les tensiones qu'apaecen son les componentes del tensor tensión pa una llámina de Love-Kirchhoff:


Ecuaciones d'equilibriu[editar | editar la fonte]

Les ecuaciones d'equilibriu de la resistencia de materiales rellacionen los esfuerzos internos coles fuerces esteriores aplicaes. Les ecuaciones d'equilibriu pa elementos llineales y elemento bidimensionales son la resultancia d'escribir les ecuaciones d'equilibriu elásticu en términos de los esfuerzos en llugar de les tensiones.

Les ecuaciones d'equilibriu pal campu de tensiones xenerales de la teoría de la elasticidá llineal:

.



Si nelles trátase de substituir les tensiones polos esfuerzu internos, llégase entós a les ecuaciones d'equilibriu de la resistencia de materiales. El procedimientu, que se detalla de siguío, ye llixeramente distintu pa elementos unidimensionales y bidimensionales.

Ecuaciones d'equilibriu n'elementos llineales rectos[editar | editar la fonte]

Nuna viga recta horizontal, alliniada cola exa X, y na que les cargues son verticales y asitiaes sobre'l planu XY, les ecuaciones d'equilibriu rellacionen el momentu flector (Mz), l'esfuerzu cortante (Vy) cola carga vertical (qy) y tienen la forma:


Ecuaciones d'equilibriu n'elementos planos bidimensionales[editar | editar la fonte]

Les ecuaciones d'equilibriu pa elementos bidimensionales (plaques) en flexón análogues a les ecuaciones de la sección anterior pa elementos llineales (vigues) rellacionen los momentos por unidá d'anchu (mx, my, mxy), colos esfuerzos cortantes por unidá d'anchu (vx, my) y la carga superficial vertical (qs):


Relación ente esfuerzos y tensiones[editar | editar la fonte]

El diseñu mecánicu de pieces rique:

  • Conocencia de les tensiones, pa verificar si éstes devasen les llendes resistentes del material.
  • Conocencia de los desplazamientos, pa verificar si éstos devasen les llendes de rixidez que garanticen la funcionalidad del elementu diseñáu.

Polo xeneral, el cálculu de tensiones puede encetase con toa xeneralidá dende la teoría de la elasticidá, sicasí cuando la xeometría de los elementos ye abondo simple (como asocede nel casu d'elementos llineales o bidimensionales) les tensiones y desplazamientos pueden ser calculaos de manera muncho más simple por aciu los métodos de la resistencia de materiales, que directamente a partir del planteamientu xeneral del problema elásticu.

Elementos llineales o unidimensionales[editar | editar la fonte]

El cálculu de tensiones puede llograse a partir de la combinación de les fórmula de Navier pa la flexón, la fórmula de Collignon-Jourawski y les fórmules del cálculu de tensiones pa la torsión.

El cálculu de desplazamientos n'elementos llineales puede llevase a cabu a partir métodos directos como la ecuación de la curva elástica, los teoremas de Mohr o'l métodu matricial o a partir de métodos enerxéticos como los teoremas de Castigliano o inclusive por métodos computacionales.

Elementos superficiales o bidimensionales[editar | editar la fonte]

La teoría de plaques de Love-Kirchhoff ye l'análogu bidimensional de la teoría de vigues de Euler-Bernouilli. Per otra parte, el cálculu de llámines ye l'análogu bidimensional del cálculu d'arcos.

L'análogu bidimensional pa una placa de la ecuación de la curva elástica ye la ecuación de Lagrange pa la deflexión del planu mediu de la placa. Pal cálculu de plaques tamién ye frecuente l'usu de métodos variacionales.

Relación ente esfuerzos y desplazamientos[editar | editar la fonte]

Otru problema importante en munches aplicaciones de la resistencia de materiales ye l'estudiu de la rixidez. Más concretamente ciertes aplicaciones riquen asegurar que so les fuerces actuantes dellos elementos resistentes nun superen nunca desplazamientos percima de ciertu valor prefijado. El cálculu de les deformaciones a partir de los esfuerzos puede determinase por aciu dellos métodos semidirectos como l'usu del teorema de Castigliano, les fórmules vectoriales de Navier-Bresse, l'usu de la ecuación de la curva elástica, el métodu matricial de la rixidez y otros métodos numbéricos pa los casos más complexos.

Ver tamién[editar | editar la fonte]

Referencies[editar | editar la fonte]

Bibliografía[editar | editar la fonte]

  • Timoshenko S., Strength of Materials, 3rd ed., Krieger Publishing Company, 1976, ISBN 0-88275-420-3
  • Dean Hartog, Jacob P., Strength of Materials, Dover Publications, Inc., 1961, ISBN 0-486-60755-0
  • Popov, Egor P., Engineering Mechanics of Solids, Prentice Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1990, ISBN 0-13-279258-3
  • Monleón Cremades, Salvador, Analís de vigues, arcos, plaques y llámines, Universidá Politécnica de Valencia, 1999, ISBN 84-7721-769-6

Enllaces esternos[editar | editar la fonte]


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