Llei d'elasticidá de Hooke

De Wikipedia
Saltar a navegación Saltar a la gueta
La llei de Hooke: la fuercia ye proporcional a la estensión

En física, la llei d'elasticidá de Hooke o llei de Hooke, orixinalmente formulada pa casos d'estiramientu llonxitudinal, establez que l'allargamientu unitariu qu'esperimenta un material elástico ye direutamente proporcional a encomalo aplicada sobre'l mesmu :


siendo l'allargamientu, el llargor orixinal, : módulu de Young, la seición tresversal de la pieza espurrida. La llei aplicar a materiales elásticos hasta una llende denomada llende d'elasticidá llende elásticu.

Esta llei recibe'l so nome del físicu inglés Robert Hooke, contemporaneu de Isaac Newton, y contribuyente prolíficu de la arquiteutura. Esta llei entiende numberoses disciplines, siendo utilizada en inxeniería y construcción, según na ciencia de los materiales. Ante la medrana de que daquién s'apoderara del so descubrimientu, Hooke publicar en forma d'un famosu anagrama, ceiiinosssttuv, revelando'l so conteníu un par d'años más tarde. L'anagrama significa Ut tensio sic vis ("como la estensión, asina la fuercia").

Llei de Hooke pa los resortes[editar | editar la fonte]

La llei de Hooke describe cuántu allargará un resorte so una cierta fuercia.

La forma más común de representar matemáticamente la Llei de Hooke ye por aciu la ecuación del muelle o resorte, onde se rellaciona la fuercia exercida pol resorte cola elongación o allargamientu provocáu pola fuercia esterna aplicada al estremu del mesmu:


onde llámase constante elástica del resorte y ye'l so elongación o variación qu'esperimenta'l so llargor.

La enerxía de deformación o enerxía potencial elástica asociada al estiramientu del resorte vien dada pola siguiente ecuación:


Ye importante notar que la antes definida depende del llargor del muelle y de la so constitución. Vamos Definir agora una constante intrínseca del resorte independiente del llargor d'este y vamos establecer asina la llei diferencial constitutiva d'un muelle. Multiplicando pol llargor total, y llamando al productu o intrínseca, tiense:


Vamos Llamar a la tensión nuna seición del muelle asitiada una distancia x d'unu de los sos estremos el cual vamos tomar como orixe de coordenaes, a la constante d'un pequeñu cachu de muelle de llargor a la mesma distancia y al allargamientu d'esi pequeñu cachu en virtú de l'aplicación de la fuercia . Pola llei del muelle completu:

Tomando la llende:


que pol principiu de superposición resulta:


Que ye la ecuación diferencial del muelle. Si integrar pa tou , llógrase como ecuación d'onda unidimensional que describe los fenómenos ondulatorios (Ver: Muelle elásticu). La velocidá d'espardimientu de les vibraciones nun resorte calcúlase como:


Llei de Hooke en sólidos elásticos[editar | editar la fonte]

La llei de Hooke pa sólidos elásticos xeneraliza la llei de Hooke pa resortes. Na mecánica de sólidos deformables elásticos la distribución de tensiones ye muncho más complicada que nun resorte o una barra espurrida solo según la so exa. La deformación nel casu más xeneral precisa ser descrita por aciu un tensor de deformaciones ente que los esfuercios internos nel material precisen ser representaos por un tensor de tensiones. Estos dos tensores tán rellacionaos por ecuaciones llineales conocíes por ecuaciones de Hooke xeneralizaes o ecuaciones de Lamé-Hooke, que son les ecuaciones constitutives que caractericen el comportamientu d'un sólidu elásticu llineal. Estes ecuaciones tienen la forma xeneral:


Gran parte de les estructures d'inxeniería son diseñaes pa sufrir deformaciones pequeñes,arréyense solo na recta de la diagrama d'esfuerciu y deformación.

De tala forma que la deformación ye una cantidá adimensional, el módulu espresar nes mesmes unidaes que l'esfuerciu (unidaes pa, psi y ksi). El máximu valor del esfuerciu pal que puede emplegase la llei de Hooke nun material ye conocíu como llende de proporcionalidad d'un material. Nesti casu, los materiales dúctiles que tienen un puntu de cedencia definíu; en ciertos materiales nun puede definise la proporcionalidad de cedencia fácilmente, yá que ye difícil determinar con precisión el valor del esfuerciu pal que la semeyanza ente y dexe de ser llineal. Al utilizar la llei de Hooke en valores mayores que la llende de proporcionalidad nun va conducir a nengún error significativu. En resistencia de materiales arreyar nes propiedaes físiques de materiales, como resistencia, ductibilidad y resistencia d'escomiu; que pueden afectase por cuenta de la aleación, el tratamientu térmicu y el procesu de manofactura.

Casu unidimensional[editar | editar la fonte]

Nel casu d'un problema unidimensional onde les deformaciones o tensiones en direiciones perpendiculares a una direición dada son irrelevantes o pueden ignorase , , y l'ecuación anterior amenorgar a:


onde ye'l módulu de Young.

Casu tridimensional isótropo[editar | editar la fonte]

Pa caracterizar el comportamientu d'un sólidu elásticu llineal y isótropo ríquense amás del módulu de Young otra constante elástica, llamada coeficiente de Poisson (). Per otru llau, les ecuaciones de Lamé-Hooke pa un sólidu elásticu llineal y isótropo pueden ser deducíes del teorema de Rivlin-Ericksen, que pueden escribise na forma:

En forma matricial, en términos del módulu de Young y el coeficiente de Poisson como:


Les relaciones inverses vienen daes por:


Casu tridimensional ortótropo[editar | editar la fonte]

El comportamientu elásticu d'un material ortotrópico queda caracterizáu por nueve constantes independientes: 3 módulos d'elasticidá llonxitudinal , 3 módulos de rixidez y 3 coeficientes de Poisson . De fechu pa un material ortotrópico la relación ente les componentes del tensor tensión y les componentes del tensor deformación vien dada por:


Onde:

Como puede trate les componentes que gobiernen l'allargamientu y les que gobiernen la distorsión tán desacopladas, lo cual significa que polo xeneral ye posible producir allargamientos en redol a un puntu ensin provocar aburuyes y viceversa. Les ecuaciones inverses que dan les deformaciones en función de les tensiones tomen una forma daqué más complicada:

Onde:

De fechu la matriz anterior, que representa al tensor de rixidez, ye simétrica yá que de les relaciones (*) se la simetría de l'anterior matriz cuidao que:

Un casu particular de materiales ortótropos son los materiales transversalmente isótropos llineales nos que solo fai falta especificar cinco constantes elástiques: , onde referir a les direiciones tresversales a la direición que se llama llonxitudinal.

Aplicaciones fora del campu de la inxeniería[editar | editar la fonte]

  • Rebotar: La llei de Hooke utilizar prauticantes de puenting, la cuál indíca-yos cuántu va espurrise la cuerda, al esperimentar la fuercia del so pesu cuando cayen al vaciu.

Ver tamién[editar | editar la fonte]

Referencies[editar | editar la fonte]

Bibliografía[editar | editar la fonte]

  • R. J. Atkin & N. Fox: An Introduction to the Theory of Elasticity, ed. Dover, 1980.
  • Baker, Joanne. 50 coses qu'hai que saber sobre física, 1ª, 224. ISBN 978-84-672-5575-1.
  • Timoshenko, Stephen; Godier J.N. (1951). en McGraw-Hill: .
  • (1998) en McGraw-Hill: , 94-96. ISBN 84-481-2046-9.
  • Olivella, X.; Agelet de Saracibar, C. (2000). «3», en Edicions UPC: , 71-75. ISBN 978-84-8301-412-7.
Ley de elasticidad de Hooke