Rellación d'equivalencia

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En teoría de conxuntos y álxebra la noción de relación d'equivalencia sobre un conxuntu, dexa establecer una relación ente los elementos del conxuntu que comparten cierta carauterística o propiedá. Esto dexa reagrupar dichos elementos en clases d'equivalencia, esto ye, «paquetes» d'elementos similares. Esto fai posible la construcción de nuevos conxuntos «añediendo» tolos elementos d'una mesma clase como un solu elementu que los representará y que define la noción de conxuntu cociente.

Definición[editar | editar la fonte]

Sía un conxuntu dáu non vacíu y una relación binaria definida sobre . Dizse que ye una relación d'equivalencia si cumple les siguientes propiedáes:

  • Reflexividá: Tou elementu de ta rellacionáu consigo mesmu. Esto ye,
.
  • Simetría: Si un elementu de ta rellacionáu con otru, entós esi otru elementu tamién se rellaciona col primeru. Esto ye,
.
  • Transitividá: Si un elementu de ta rellacionáu con otru, y esi otru de la mesma rellaciónase con un terceru, entós el primeru va tar rellacionáu tamién con esti postreru. Esto ye,
.

Notación:

En aritmética modular la relación d'equivalencia ente dos elementos y se denota que se llee «  ye equivalente a módulu  ».
Una relación d'equivalencia sobre un cuerpu puede denotarse col par .

Clase d'equivalencia o Rellación d'equivalencia[editar | editar la fonte]

En lóxica de clases y analís matemáticu, la relación d'equivalencia define subconxuntos dixuntos en llamaos clases d'equivalencia:

Dáu un elementu , el conxuntu dáu por tolos elementos rellacionaos con definen la clase:

llámase-y la clase d'equivalencia acomuñada al elementu .

Al elementu llámase-y representante de la clase.

Llámase orde al númberu de clases que xenera una relación d'equivalencia; si ésti ye finito, dizse que la relación ye d'orde finito.

El conceutu de clase d'equivalencia tien importancia en ciencia, dáu un conxuntu d'oxetos o entidaes astractes (potencialmente infinites), pueden establecese relaciones d'equivalencia sobre la base de dalgún criteriu, les clases resultantes son los "tipos" nos que puede clasificase tola gama d'oxetos.

Conxuntu cociente[editar | editar la fonte]

Al conxuntu de toles clases d'equivalencia denominar conxuntu cociente y se denota como:

o

Partición[editar | editar la fonte]

Una relación d'equivalencia sobre un conxuntu induz una partición del mesmu, esto ye, un conxuntu nel que se definió una relación d'equivalencia puede ser estremáu en dellos subconxuntos d'elementos equivalentes ente sigo y tales que la xunta d'esos subconxuntos coincide col conxuntu enteru. El siguiente teorema espresa en términos más formales esa mesma idea:

Proposición: Una relación d'equivalencia nel conxuntu non vacíu K determina una partición d'este, y toa partición de K determina una relación d'equivalencia n'este.

Plantía:Demostración

La partición tien como elementos les clases d'equivalencia. Estes son dixuntes dos a dos y la xunión d'elles ye igual al conxuntu K.

  • pa cualesquier dos non rellacionaos tenemos: ;
  • la unión de toos integra al total:

Exemplos[editar | editar la fonte]

  • Sía N= {0,1,2, 3...}. Defínese una relación d'equivalencia en NxN, como sigue: (a;b)~ (c;d) si y namái si a+d = b +c. Esta ye una relación d'equivalencia en NxN y cada clase d'equivalencia ye un númberu enteru. [(2;0)]= { (x;y)/ 2+y = 0 + x } a (2;0) llámase representante canónicu y se denota, simplificadamente, 2.
  • La relación de congruencia módulu M nel conxuntu de los númberos enteros (i. y. ), onde se define: si y namái si ye múltiplu de M.
Esta relación ye d'equivalencia porque:
  • Ye reflexiva: a - a = 0, que ye múltiplu de M.
  • Ye simétrica: si a - b ye múltiplu de M, entós b - a = -(a - b) tamién ye múltiplu de M.
  • Ye transitiva: sían k y l númberos enteros tales qu'a - b = M k y b - c = M l. Entós, a - c = (a - b) + (b - c) = M k + M l = M(k + l) y por tantu un múltiplu de M. En particular, si M = 2 tenemos la tradicional clasificación de los númberos enteros en pares ya impares.
  • Sía H un subgrupu d'un grupu G. Definiendo pa elementos del grupu si y namái si , vamos tener la relación d'equivalencia llamada congruencia módulo H .
  • Definiendo, pa elementos del grupu, si y namái si esiste g en G talque , llámase relación de conxugación. Les sos clases: clases de conxugación. Les clases d'equivalencia reciben el nome d'órbita o clase de conxugación.

Ver tamién[editar | editar la fonte]

Referencies[editar | editar la fonte]

Weisstein, Eric W. «Rellación d'equivalencia» (inglés). MathWorld. Wolfram Research.

  • James R.Munkres,Topoloxía, (2002),Prentice Hall.


Rellación de equivalencia