Lletra pi mayúscula, notación del productoriu. El productoriu [1] multiplicatorio , multiplicatoria o a cencielles productu (por denotase como una lletra pi mayúscula), ye una notación matemática que representa una multiplicación d'una cantidá arbitraria (finita o infinita).
La notación espresar cola lletra griega pi mayúscula Π de la siguiente manera:
Pa tolos valores m < n
∏
k
=
m
n
a
k
=
a
m
⋅
a
m
+
1
⋅
…
⋅
a
n
{\displaystyle \prod _{k=m}^{n}a_{k}=a_{m}\cdot a_{m+1}\cdot \quad \dots \quad \cdot a_{n}}
Si m = n tenemos que:
m
=
n
,
∏
k
=
m
n
a
k
=
∏
k
=
m
m
a
k
=
a
m
{\displaystyle m=n\;,\quad \prod _{k=m}^{n}a_{k}=\prod _{k=m}^{m}a_{k}=a_{m}}
Nel casu de que m sía mayor que n , m > n , asígnase-y el valor del elementu neutru de la multiplicación, l'unu:
m
>
n
,
∏
k
=
m
n
a
k
=
1
{\displaystyle m>n\;,\quad \prod _{k=m}^{n}a_{k}=1}
Puede definise por inducción como sigue.
1. Defínese ::
∏
k
=
1
1
a
k
=
a
1
{\displaystyle \prod _{k=1}^{1}a_{k}=a_{1}}
2. Supuesta definida pa un n ≥ 1 fixu, defínese ::
∏
k
=
1
n
+
1
a
k
=
(
∏
k
=
1
n
a
k
)
a
n
+
1
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}a_{k}=\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)a_{n+1}}
Puede usase'l productoriu pa definir otres igualdaes importantes. Asina, tomando n =1 y aplicando la segunda igualdá llógrase:
∏
k
=
1
2
a
k
=
(
∏
k
=
1
1
a
k
)
(
a
2
)
=
a
1
a
2
{\displaystyle \prod _{k=1}^{2}a_{k}=\left(\prod _{k=1}^{1}a_{k}\right)(a_{2})=a_{1}a_{2}}
Definida pa n =2, puede aplicase otra vegada la segunda igualdá con n =2 pa depués llograr
∏
k
=
1
3
a
k
=
(
∏
k
=
1
2
a
k
)
(
a
3
)
=
(
a
1
a
2
)
a
3
{\displaystyle \prod _{k=1}^{3}a_{k}=\left(\prod _{k=1}^{2}a_{k}\right)(a_{3})=(a_{1}a_{2})a_{3}}
Asina, usando la propiedá asociativa de la multiplicación, el productu
(
a
1
a
2
)
a
3
{\displaystyle {\mathit {(a_{1}a_{2})a_{3}}}\,\!}
a
1
(
a
2
a
3
)
{\displaystyle {\mathit {a_{1}(a_{2}a_{3})}}\,\!}
a
1
a
2
a
3
=
∏
k
=
1
3
a
k
{\displaystyle a_{1}\,a_{2}\,a_{3}=\prod _{k=1}^{3}a_{k}}
Puédese entós, usar esti razonamientu pa cualesquier
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
Otru exemplu de productoriu bien conocíu ye'l que s'utiliza pa definir n ! (n factorial ) como sigue:
∏
k
=
1
n
k
=
n
!
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n}k=n!}
Defínese
0
!
=
1
!
=
1
{\displaystyle 0!=1!=1}
Puede usase el métodu de inducción matemática para demostrar delles propiedaes. Pa ello, basaremos na definición formal por inducción descrita enantes.
∏
k
=
1
n
(
a
k
b
k
)
=
(
∏
k
=
1
n
a
k
)
(
∏
k
=
1
n
b
k
)
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n}{({a_{k}}{b_{k}})}=\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left(\prod _{k=1}^{n}b_{k}\right)}
Demostración per Inducción
i) Tomemos n=1 y veamos si cumple la igualdá :
∏
k
=
1
1
(
a
k
b
k
)
=
a
1
b
1
=
(
∏
k
=
1
1
a
k
)
(
∏
k
=
1
1
b
k
)
{\displaystyle \prod _{k=1}^{1}{({a_{k}}{b_{k}})}=a_{1}b_{1}=\left(\prod _{k=1}^{1}a_{k}\right)\left(\prod _{k=1}^{1}b_{k}\right)}
y l'igualdá ye cierta pa n =1
ii) Supongámosla cierta pa n y analicémosla pa n +1
∏
k
=
1
n
+
1
(
a
k
b
k
)
=
[
∏
k
=
1
n
(
a
k
b
k
)
]
(
a
n
+
1
b
n
+
1
)
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}{({a_{k}}{b_{k}})}=\left[\prod _{k=1}^{n}{({a_{k}}{b_{k}})}\right](a_{n+1}b_{n+1})}
∏
k
=
1
n
+
1
(
a
k
b
k
)
=
(
∏
k
=
1
n
a
k
)
(
∏
k
=
1
n
b
k
)
a
n
+
1
b
n
+
1
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}{({a_{k}}{b_{k}})}=\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left(\prod _{k=1}^{n}b_{k}\right)a_{n+1}b_{n+1}}
(Definición per inducción)
∏
k
=
1
n
+
1
(
a
k
b
k
)
=
[
(
∏
k
=
1
n
a
k
)
(
a
n
+
1
)
]
[
(
∏
k
=
1
n
b
k
)
(
b
n
+
1
)
]
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}{({a_{k}}{b_{k}})}=\left[\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)(a_{n+1})\right]\left[\left(\prod _{k=1}^{n}b_{k}\right)(b_{n+1})\right]}
(Asociatividad en DIR)
Depués, :
∏
k
=
1
n
+
1
(
a
k
b
k
)
=
(
∏
k
=
1
n
+
1
a
k
)
(
∏
k
=
1
n
+
1
b
k
)
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}{({a_{k}}{b_{k}})}=\left(\prod _{k=1}^{n+1}a_{k}\right)\left(\prod _{k=1}^{n+1}b_{k}\right)}
∏
k
=
1
n
a
k
a
k
−
1
=
a
n
a
0
,
si cada
a
k
≠
0
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}={\frac {a_{n}}{a_{0}}},\quad {\text{si cada}}\;a_{k}\neq 0}
Demostración per Inducción
i) Analicemos pa n =1
∏
k
=
1
1
a
k
a
k
−
1
=
a
1
a
0
,
con:
a
0
≠
0
y l'igualdá ye cierta para:
n
=
1
{\displaystyle \prod _{k=1}^{1}{\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}={\frac {a_{1}}{a_{0}}},\quad {\text{con:}}\;a_{0}\neq 0\;{\text{y l'igualdá ye cierta para:}}\;n=1}
ii) Supongámosla cierta pa n y analicémosla pa n +1
∏
k
=
1
n
+
1
a
k
a
k
−
1
=
(
∏
k
=
1
n
a
k
a
k
−
1
)
(
a
n
+
1
a
n
)
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}{\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}=\left(\prod _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}\right)\left({\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right)}
(Definición per inducción) Depués, :
∏
k
=
1
n
+
1
a
k
a
k
−
1
=
a
n
a
0
a
n
+
1
a
n
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}{\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}={\frac {a_{n}}{a_{0}}}\;{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}}
Nótese que la nuesa esixencia yera que pa cada
k
{\displaystyle {\mathit {k}}\,\!}
a
k
≠
0
{\displaystyle a_{k}\neq 0}
k
=
n
{\displaystyle {\mathit {k=n}}\,\!}
a
k
=
a
n
≠
0
{\displaystyle a_{k}=a_{n}\neq 0}
∏
k
=
1
n
+
1
a
k
a
k
−
1
=
a
n
+
1
a
0
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}{\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}={\frac {a_{n+1}}{a_{0}}}}
}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d6ccaf8a58252c04b17c0417a1d1020e44ec260)
![{\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}{({a_{k}}{b_{k}})}=\left[\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)(a_{n+1})\right]\left[\left(\prod _{k=1}^{n}b_{k}\right)(b_{n+1})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19ee83da0ae058ace3c52d02f4b07afa4a1cf250)
Datos: Q58623169