Fuercia centrípeta

Nun confundir con Fuercia centrífugo.

Fuercia centrípeto nun movimientu circular.

Llámase "fuercia centrípeto" a encomalo o al componente de la fuercia qu'actúa sobre un oxetu en movimientu sobre una trayeutoria curvillinia y que ta dirixida escontra'l centru de combadura de la trayeutoria.

El términu centrípeta» provien de les pallabres llatines centrum, «centru» y petere, «dirixise escontra», y puede ser llograda a partir de les lleis de Newton. Nel casu d'un oxetu que se mueve en trayeutoria circular con velocidá cambiante, la fuercia neto sobre'l cuerpu puede ser descompuesta nun componente perpendicular que camuda la direición del movimientu y unu tanxencial, paralelu a la velocidá, que modifica'l módulu de la velocidá.

La fuercia centrípeto nun tien de ser confundida cola fuercia centrífugo, tal como s'esplica na seición Tracamundios comunes.

Fuercia centrípeto en mecánica newtoniana

Los oxetos con movimientu rectilliniu uniforme tienen una velocidá constante; pero un oxetu que se mueva sobre una trayeutoria circular con rapidez constante esperimenta de cutio un cambéu na direición del so movimientu, esto ye, na direición de la velocidá. Cuidao que la velocidá camuda, esiste una aceleración. La magnitú d'esti cambéu de direición de la velocidá por unidá de tiempu ye la aceleración centrípeta, representada por un vector empobináu escontra'l centru de la circunferencia dáu por ecuación|$\mathbf {a} =-{\frac {v^{2}}{r}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}\right)=-{\frac {v^{2}}{r}}{\hat {\mathbf {o} }}_{r}=-\omega ^{2}\mathbf {r}$||left}} Onde:

$\mathbf {a} \,$ ye l'aceleración centrípeta.

$v\,$ ye'l módulu de la velocidá.

$r\,$ ye'l radiu de la trayeutoria circular (polo xeneral, el radiu de combadura).

$\mathbf {r} \,$ el vector de posición.

$\mathbf {o} _{r}\,$ el versor radial.

$\omega \,$ la velocidá angular.

Según la segunda llei de Newton, por que se produza una aceleración tien d'actuar una fuercia na direición d'esa aceleración. Asina, si consideramos una partícula de masa $m\,$ en movimientu circular uniforme, va tar sometida a una fuercia centrípeto dada por:

$\mathbf {F} =-{\frac {mv^{2}}{r}}{\hat {\mathbf {o} }}_{r}=-m\omega ^{2}\mathbf {r}$

Exemplu

Supongamos qu'arreyamos una pelota con una cuerda y facer xirar en círculu a velocidad angular constante. La pelota mover nuna trayeutoria circular porque la cuerda exerz sobre ella una fuercia centrípeto.

Otru exemplu puede vese en Modelu de Tiovivo, onde un programa realizáu en Lenguaje Java dexa parametrizar dalgunes de les variables qu'intervienen utilizando un carrusel.

Tracamundios comunes

En dellos testos docentes introductorios ye frecuente atopar ciertu tracamundiu ente los términos "fuercia centrípeto" y "fuercia centrífugo". La fuercia centrífugo ye una fuercia ficticio que "apaez" pa un observador qu'usa un marcu de referencia en rotación pa describir el movimientu. Sicasí, un observador nun marcu de referencia inercial nun percibe nenguna fuercia centrífugo, ente que sí ve una fuercia real llamada fuercia centrípeto que ye la qu'obliga a un móvil a curvar la so trayeutoria na direición de felicidá fuercia. El problema mora en que nun sistema de referencia en rotación la fuercia centrífugo (ficticia) albidrada por un observador en reposu en dichu referencial coincide en magnitud –pero en sentíu contrariu– cola fuercia centrípeto (real) necesaria pa caltener un cuerpu en reposu en tal sistema de referencia en rotación.

Tampoco la fuercia centrípeto tien de confundise cola denomada fuercia central. La fuercia central ye una fuercia real qu'actúa sobre un cuerpu y que cumple con dos condiciones:

1. la so magnitú depende namái de la distancia del cuerpu a un puntu que se denomina centru de fuercies y #

la so llinia d'acción pasa pol citáu centru de fuercies. Exemplos de fuercies centrales son la fuercia gravitatorio y la fuercia electrostática. Frecuentemente, la fuercia centrípeto ye una fuercia central. Una esceición asocede cuando'l centru de mases nun coincide col centru xeométricu del oxetu sobre'l cual actúen les fuercies, colo qu'hai que poner especial énfasis sobre la direición de la fuercia centrípeto y los puntos onde actúa. Un exemplu claru d'ésti fenómenu asocede cola dinámica d'un cilindru inhomogéneo que rueda sobre un planu inclináu hasta desapegase del mesmu.

Deducción de l'aceleración centrípeta

Demostración xeométrica

Figura 1: Los vectores de posición y velocidá mover de forma circular.

Cuidao que la velocidá ye siempres tanxente a la trayeutoria, el vector $\mathbf {v}$ siempres ye perpendicular al vector de posición. Como l'estremu del vector $\mathbf {R}$ muévese describiendo una circunferencia de radiu $R\,$, l'estremu del vector $\mathbf {v}$ facer de manera análoga. La circunferencia a la derecha amuesa la forma en que camuda la velocidá col tiempu. Dicha circunferencia representa la hodógrafa del movimientu.

El cambéu de la velocidá nel tiempu ye l'aceleración, y yá que la velocidá camuda de manera similar a como lo fai'l vector de posición, l'aceleración en cada intre tamién ye perpendicular a la velocidá nesi intre, polo que podemos dibuxales como vectores $\mathbf {a}$ tanxentes a la circunferencia.

Una y bones los vectores de posición y velocidá xiren conjuntamente, el periodu T (tiempu emplegáu nuna vuelta completa) va ser el mesmu en dambos casos.

Pal periodu de la partícula na trayeutoria circular tenemos

$T={\frac {2\pi R}{v}}$

y, por analoxía, cola hodógrafa de la derecha tenemos

$T={\frac {2\pi v}{a}}$

Igualando dambes ecuaciones, y estenando $a$ llogramos.

$a={\frac {v^{2}}{R}}$

Comparando la trayeutoria (esquierda) cola so hodógrafa (derecha), deduzse que l'aceleración apunta escontra'l centru de la circunferencia, en forma opuesta al vector $\mathbf {R} \,$. Esto podemos facer tornando cada unu de los vectores $\mathbf {v}$ a la so posición orixinal nel círculu de la esquierda. Si xuntu con ellos llevamos los vectores $\mathbf {a}$, podrá notase el fechu de qu'estos postreros efectivamente apunten escontra'l centru.

Deducción usando'l cálculu

Otru métodu pa deducir la ecuación de l'aceleración centrípeta consiste n'espresar la ecuación de la trayeutoria circular n'ecuaciones paramétricas:

$\mathbf {r} ={\begin{cases}x=R\cos \theta =R\cos \omega t\\y=R\sin \theta =R\sin \omega t\\\end{cases}}$

onde :$\omega \,$ ye la velocidad angular

$t\,$ ye'l tiempu y

derivar dos veces socesives con respectu del tiempu

$\mathbf {v} ={\begin{cases}{\dot {x}}=-\omega R\sin \omega t\\{\dot {y}}=\omega R\cos \omega t\\\end{cases}}$

$\mathbf {a} ={\begin{cases}{\ddot {x}}=-\omega ^{2}R\cos \omega t\\{\ddot {y}}=-\omega ^{2}R\sin \omega t\\\end{cases}}$

de cuenta

que

$\mathbf {a} =-\omega ^{2}\mathbf {r}$

que pon de manifiestu que l'aceleración ta dirixida escontra'l centru de la trayectoría circular y que'l so módulu vien dáu por:

$a=-\omega ^{2}R={\frac {v^{2}}{R}}$

Fuercia centrípeto en mecánica relativista

En mecánica relativista el cociente ente la fuercia centrípeto y l'aceleración centrípeta, ye distinta del cociente ente la fuercia tanxencial y l'aceleración tanxencial. Esto introduz una diferencia fundamental col casu newtoniano: la aceleración y la fuercia relativistes nun son vectores necesariamente paralelos:

$\mathbf {F} ={\frac {d}{dt}}\left({\frac {m\mathbf {v} }{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\right)={\frac {m\mathbf {v} }{\left[1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right]^{3/2}}}\left({\frac {\mathbf {v} }{c^{2}}}\cdot \mathbf {a} \right)+{\frac {m\mathbf {a} }{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

De la relación anterior, deduzse que la fuercia y l'aceleración namái son paraleles en dos casos:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} =0,\qquad \mathbf {a} \cdot \mathbf {v} =\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {v} \|$

El primer casu dase cuando l'aceleración y la velocidá son perpendiculares, cosa qu'asocede por casu el movimientu circular uniforme. El segundu casu dar nun movimientu rectilliniu. En cualesquier otru tipu de movimientu polo xeneral la fuercia y l'aceleración nun van ser permanentemente paraleles.

Ver tamién

• Aceleración centrípeta
• Fuercia centrífugo
• Movimientu circular
• Movimientu circular uniforme

Referencies

Bibliografía

• Marion, Jerry B. (1996). Dinámica clásica de les partícules y sistemes (n'español). Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4094-8.
• Resnick, Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Physics (n'inglés). New York: John Wiley & Sons.
• Resnick, Robert & Halliday, David (2004). Física 4ª (n'español). CECSA, Méxicu. ISBN 970-24-0257-3.