Diferencies ente revisiones de «Teoremas de incompletitud de Gödel»

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=== Consecuencies ===
La sentencia de Gödel {{math|''G''}} nun ye demostrable pero ye cierta, pos afirma precisamente la so propia indemostrabilidad.<ref>Esto namánamái ye ciertu na '''interpretación natural''' en que les variables de la teoría interprétense como los [[númberos naturales]].</ref> Esto significa que nenguna teoría aritmética nes condiciones del teorema ye capaz de demostrar tolos enunciaos verdaderos de l'aritmética.<ref name="GEBintro" />
 
Amás, anque {{math|¬''G''}} sía falsa (por afirmar lo contrario que {{math|''G''}}) nun ye refutable (puestu {{math|''G''}} ye indemostrable). Esta sentencia puede tomase como axoma si deseyar y esto nun produz una contradicción. La teoría resultante contién munchos de los enunciaos verdaderos sobre los númberos naturales y dellos falsos, empezando por {{math|¬''G''}}. Los oxetos descritos por una teoría asina formen un [[aritmética non estándar|modelo non estándar]] de l'aritmética.<ref>Vease {{Harvsp|Hofstadter|1989|loc=§XIV}} pa una esposición de nivel entemediu sobre l'aritmética non estándar.</ref>
 
=== Consecuencies ===
El segundu teorema de incompletitud llinda les posibilidaes de demostrar la consistencia d'una teoría formal {{math|''T''}}, cuidao que nun puede faese utilizando namánamái la mesma {{math|''T''}}. Amás, si atopa una teoría más fuerte {{math|''T<nowiki>'</nowiki>''}} na que {{math|Consis ''T''}} pueda demostrase, la mesma consistencia de {{math|''T<nowiki>'</nowiki>''}} nun va poder demostrase en {{math|''T<nowiki>'</nowiki>''}} nin tampoco en {{math|''T''}}. Por ello, el segundu teorema considérase una respuesta negativa al llamáu [[programa de Hilbert]], que proponía demostrar la corrección de los razonamientos matemáticos basaos n'oxetos [[infinitu|infinitu]] usando tan solu razonamientos basaos n'oxetos [[finito|finitos]], menos potentes que los primeres.
 
== Enunciaos indecidibles ==
En principiu, los teoremas de Gödel inda dexen dalguna esperanza: podría ser posible producir un [[algoritmu]] xeneral que pa una afirmación dada determine si ye indecidible o non, dexando a los matemáticos evitar dafechu los problemes indecidibles. Sicasí, la respuesta negativa al [[Entscheidungsproblem]] demuestra que nun esiste tal algoritmu.
 
Ye de notar que los teoremas de Gödel namánamái son aplicables a sistemes axomáticos ''abondo fuertes''. Esti términu significa que la teoría contién l'abonda aritmética pa llevar a cabu les instrucciones de codificación riquíes pola prueba del primera teorema de incompletud. Esencialmente, tou lo que s'esixe son dellos fechos básicos sobre la adición y la multiplicación tal que por casu formalícense na [[aritmética Q de Robinson]].
 
Hai sistemes axomáticos inclusive más débiles que son consistentes y completos, por casu la [[aritmética de Presburger]] que demuestra toles afirmaciones de primer orde ciertes aplicando namánamái la suma.
 
El sistema axomáticu puede consistir nun númberu infinitu d'axomes (tal que fai l'aritmética de primer orde de Peano), pero pa poder aplicase'l teorema de Gödel tien d'haber un algoritmu efectivu que sía capaz a verificar la corrección de les pruebes. Por casu, el conxuntu de toles declaraciones de primer orde que son ciertes nel modelu estándar de los [[númberos naturales]] ye completu. El teorema de Gödel non puede aplicase porque nun hai nengún procedimientu efectivu que decide si una cierta declaración ye un axoma. Ello ye que qu'esto sía asina ye una consecuencia del primera teorema de incompletud de Gödel.
Esto crea un sistema que ye completu, consistente y abondo potente, pero non [[conxuntu recursivamente enumerable|recursivamente enumerable]].
 
El mesmu Gödel namánamái demostró una versión de los teoremas enriba espuestos que ye técnicamente un pocu más débil; la primer demostración de les versiones descrites enriba foi dada por [[J. Barkley Rosser]] en [[1936]].
 
N'esencia, la prueba del primera teorema consiste en construyir una declaración <math>p</math> dientro d'un sistema formal axomáticu al que se-y puede dar la siguiente interpretación meta matemática:
:<math>p =</math> «Esta declaración non puede probase.»
 
Como tal, puede trate como una versión moderna de la [[paradoxa del mentirosu]]. Al contrariu de la declaración del mentirosu, <math>p</math> nun se refier directamente a sigo mesmu; la interpretación de riba namánamái se puede "ver" dende fora del sistema formal.
 
Nun trabayu publicáu en 1957 en ''Journal of Symbolic Logic'', [[Raymond Smullyan]] amosó que les resultancies de incompletitud de Gödel pueden llograse pa sistemes muncho más elementales que los consideraos por Gödel. Smullyan tamién reivindicó les pruebes más simples col mesmu algame, basaes nos trabayos de [[Alfred Tarski]] sobre'l conceutu de verdá nos sistemes formales. Más simples, pero non menos perturbadoras filosóficamente. Smullyan nun afiguró les sos reflexones sobre incompletitud namánamái n'obres técniques; tamién inspiraron célebres llibros de divulgación como ''¿Cómo se llama esti llibru?''
 
Si'l sistema axomáticu ye consistente, la prueba de Gödel amuesa que <math>p</math> (y la so negación) non pueden demostrase nel sistema.
}}
(Los '''numberales''' {{math|[''n'']}} son los símbolos qu'utilice'l llinguaxe de la teoría pa especificar los númberos naturales concretos. Nel exemplu de l'aritmética de Peano na sección siguiente, los numberales son los símbolos daos por: {{math|[0] ≡ 0}}, {{math|[1] ≡ S0}}, {{math|[2] ≡ SS0}}, etc.)
La consistencia implica la consistencia (pero non al aviesu). L'enunciáu fuerte», nel que namánamái se riquir la consistencia de la teoría foi probáu por J. B. Rosser por aciu un métodu bien similar.
 
=== Numberación de Gödel ===

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