Cálculu de variaciones

El cálculu de variaciones o cálculu variacional ye un problema matemáticu consistente en buscar Estremos d'una función máximos y mínimos (o más xeneralmente estremos relativos) de funcionales continuos definíos sobre dalgún espaciu funcional. Constitúin una xeneralización del cálculu elemental de máximos y mínimos de funciones reales d'una variable

Historia

El cálculu de variaciones desenvolver a partir del problema de la curva braquistócrona, plantegáu primeramente por Johann Bernoulli (1696). Darréu esti problema captó l'atención de Jakob Bernoulli y el Marqués de L'Hôpital, anque foi Leonhard Euler el primeru qu'ellaboró una teoría del cálculu variacional. Les contribuciones de Euler empecipiar en 1733 cola so Elementa Calculi Variationum ('Elementos del cálculu de variaciones') que da nome a la disciplina.

Lagrange contribuyó estensamente a la teoría y Legendre (1786) asitió un métodu, non dafechu satisfactoriu pa estremar ente máximos y mínimos. Isaac Newton y Gottfried Leibniz tamién emprestaron atención a esti asuntu.^[1] Otros trabayos destacaos fueron los de Vincenzo Brunacci (1810), Carl Friedrich Gauss (1829), Siméon Poisson (1831), Mijaíl Ostrogradski (1834) y Carl Jacobi (1837). Un trabayu xeneral particularmente importante ye'l de Sarrus (1842) que foi resumíu por Cauchy (1844). Otros trabayos destacaos posteriores son los de Strauch (1849), Jellett (1850), Otto Hesse (1857), Alfred Clebsch (1858) y Carll (1885), anque quiciabes el más importante de los trabayos mientres el sieglu XIX ye'l de Weierstrass. Esti importante trabayu foi una referencia estándar y ye'l primeru que trata'l cálculu de variaciones sobre una base firme y rigoroso. Los problema 20 y 23 de Hilbert plantegaos en 1900 aguiyaron dellos desarrollos posteriores.^[1] Mientres el sieglu XX, David Hilbert, Emmy Noether, Leonida Tonelli, Henri Lebesgue y Jacques Hadamard, ente otros, fixeron contribuciones notables.^[1] Marston Morse aplicó'l cálculu de variaciones a lo qu'anguaño se conoz como teoría de Morse.^[2] Lev Semenovich Pontryagin, Ralph Rockafellar y Clarke desenvolvieron nueves ferramientes matemátiques dientro de la teoría del control óptimo, xeneralizando'l cálculu de variaciones.^[2]

Problema Isoperimétrico

¿Cuál ye l'área máxima A que puede arrodiase con una curva de llargor L dada? Si nun esisten restricciones adicionales, la solución ye:

$A={\frac {L^{2}}{4\pi }}$

Que ye'l valor que se llogra pa un círculu de radiu $R=L/2\pi$ .

Si impónense restricciones adicionales la solución ye distinta. Un exemplu ye si suponemos que L considérase sobre una función $f(x)$ y los estremos de les curva tán sobre los puntos $A=(a,0),B=(b,0)$ onde la distancia ente ellos ta dada. Ye dicir $AB=L\,$ . El problema de topar una curva que maximice l'área ente ella y la exa x sería, topar una función $f(x)$ de cuenta que:

$\max _{f:[a,b]\to \mathbb {R} }I[f]=\int _{a}^{b}f(x)dx$

coles restricciones:

${\begin{cases}G[f]=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}dx=L&{\mbox{llargor d'arcu}}\\f(a)=f(b)=0\end{cases}}$

Braquistócrona

El problema de la curva braquistócrona remontar a J. Bernoulli (1696). Referir a atopar una curva nel planu cartesianu que vaya del puntu $P=(x_{0},y_{0})$ al orixe de cuenta que un puntu material que s'esmuz ensin resfregón sobre ella tarda'l menor tiempu posible en dir de $P$ al orixe. Usando principios de mecánica clásica el problema puede formulase como,

$\min _{f}T[f]=\int _{0}^{x_{0}}{\frac {\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}{\sqrt {2g(y_{0}-y)}}}\ dx$

onde g ye la gravedá y les restricciones son, $f(0)=0$ , $f(x_{0})=y_{0}$ . Hai que notar qu'en $x=x_{0}$ esiste una singularidá.

Formulación xeneral

Unu de los problemes típicos en cálculu diferencial ye'l d'atopar el valor de $x\,$ pal cual la función $f(x)\,$ algama un valor estremu (máximu o mínimu). Nel cálculu de variaciones el problema ye atopar una función $f(x)$ pa la cual un funcional $J[f]\,$ algame un valor estremu. El funcional $J[f]$ ta compuestu por una integral que depende de $x$ , de la función $f(x)$ y dalgunes de les sos derivaes.

(1a) $\max _{f}/\min _{f}\left\{I[f]=\int _{a}^{b}{\mathcal {L}}(x,f(x),f'(x),f''(x),\dots ,f^{(n}(x))\,dx\right\}$

Onde la función $f(x)$ pertenez a dalgún espaciu de funciones (espaciu de Banach, espaciu de Hilbert), y tanto ella como les sos derivaes pueden tener restricciones. Esta fórmula integral pue ser más complicada dexando a $x$ ser un vector, y polo tanto incluyendo derivaes parciales pa $f$ :

(1b) $\max _{\mathbf {f} }/\min _{\mathbf {f} }\left\{J[\mathbf {f} ]=\int _{{\mathcal {D}}\subset \mathbb {R} ^{n}}{\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,\mathbf {f} (\mathbf {x} ),D\mathbf {f} (\mathbf {x} ),\dots ,D^{n}\mathbf {f} (\mathbf {x} ))\,d^{n}\mathbf {x} \right\}$

Espacios funcionales

La fundamentación rigorosa del cálculu de variaciones rique considerar variedaes diferenciales lliniales de dimensión infinita. De fechu el puntu de partida del cálculu de variaciones ye un teorema d'analís funcional que prueba que ye posible considerar una curva nun espaciu funcional (e.g. trayeutoria nel espaciu fásico) a cencielles como una función con una variable adicional, concretamente:^[3]

La categoría formada por espacios vectoriales convenientes y funciones nidies ente ellos ye cerrada pol productu cartesianu, de tal manera que se tien la siguiente biyección natural:

$C^{\infty }(Y\times F,G)\approx C^{\infty }(Y,C^{\infty }(F,G))$

onde $\scriptstyle Y,F$ son espacios vectoriales convenientes y la biyección anterior ye un difeomorfismo.

El teorema anterior puede aplicase por casu al principiu de mínima aición onde trata d'atopase la trayeutoria posible nel espaciu de fases que fai mínima la integral d'aición. Dicha trayeutoria ye una curva nidia nel espaciu de trayectories Y, considerando agora:

$Y=C^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{n}),\quad F=G=\mathbb {R}$

Tiense que'l problema de minimización puede amenorgase a embrivir una cierta función real f de variable real:

$f_{q_{0}}(\varepsilon ):=S[q_{0}+\varepsilon \delta q],\qquad S:\mathbb {C} ^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {R} ,\ S[q]:=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}(q(t),{\dot {q}}(t),t)\ dt,\ q(t)\in \mathbb {R} ^{n}$

Estremos relativos débiles y fuertes

Un problema variacional rique que'l funcional $\scriptstyle J(f)$ tea definíu sobre un espaciu de Banach $\scriptstyle (V,\|\cdot \|_{V})$ fayadizu. La norma vectorial de dichu espaciu ye lo que dexa definir rigorosamente si una solución ye un mínimu o un máximu relativu. Por casu una función $\scriptstyle f_{0}$ ye un mínimu relativu si esiste un ciertu $\scriptstyle \delta >0$ tal que, pa toa función $\scriptstyle f$ cumplir que:

$\|f-f_{0}\|<\delta \quad \Rightarrow \quad J(f_{0})\leq J(f)$

Ver tamién

Referencies

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 van Brunt, Bruce (2004). The Calculus of Variations. Springer. ISBN 0-387-40247-0.
↑ ^2,0 ^2,1 Plantía:Cita arXiv
↑ A. Kriegl y P. Michor, 1989, p. 3

Bibliografía

A. Kriegl y P. W. Michor: "Aspects of the theory of inifinite dimensional manifolds", Differential Geometry and its Applications, 1, 1991, páxs. 159-176.
Leonida Tonelli: Fondamenti di calcolo delle variazioni, N. Zanichelli, 1921-23
Todhunter, I. A history of the calculus of variations, Chelsea, 1861
Carll, L. B. A Treatise On The Calculus Of Variations John Wiley & sons, 1881
Hancock, H. Lectures on the calculus of variations (the Weierstrassian theory) Cincinnati University Press, 1904
Bolza, O Lectures on the calculus of variations, Chicago University Press, 1904
Byerly, W. Y. Introduction to the calculus of variations Harvard University Press, 1917
Weinstock, R. Calculus Of Variations With Applications To Physics And Engineering, McGrawHill, 1952
Hadamard J. y Fréchet, M. Leçons sur le calcul des variations (francese) Hermann, 1910
Fomin, S.V. and Gelfand, I.M.: Calculus of Variations, Dover Publ., 2000
Lebedev, L.P. and Cloud, M.J.: The Calculus of Variations and Functional Analysis with Optimal Control and Applications in Mechanics, World Scientific, 2003, pages 1 – 98
Charles Fox: An Introduction to the Calculus of Variations, Dover Publ., 1987
Giuseppe Buttazzo, Gianni Dal Maso, Ennio De Giorgi. Variazioni, calcolo delle, Enciclopedia del Novecento, II Supplemento (1998), Istituto dell'Enciclopedia italiana Treccani
Gianni Dal Maso, Variazioni, calcolo delle, Enciclopedia della Scienza y della Tecnica, (2007), Istituto dell'Enciclopedia italiana Treccani

Enllaces esternos

Cambeos acumulaos d'esfuerzos de Coulomb Archiváu 2015-05-18 en Wayback Machine.

[brunt-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 van Brunt, Bruce (2004). The Calculus of Variations. Springer. ISBN 0-387-40247-0.

[ferguson-2] 2,0 ^2,1 Plantía:Cita arXiv

[3] A. Kriegl y P. Michor, 1989, p. 3

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