Númberu feliz

Los númberos felices definir pol siguiente procedimientu: empezando con cualesquier númberu enteru positivu, reemplázase'l númberu pola suma de los cuadraos de les sos díxitus, y repitir el procesu hasta que'l númberu ye igual a 1 o hasta que s'entra nun bucle que nun inclúi'l 1. Los númberos que al rematar el procesu terminen con 1, son conocíos como númberos felices. Aquellos que non, son conocíos como númberos infelices (o murnios). Un númberu primu qu'amás ye un númberu feliz llámase primu feliz.

Definición

Más formalmente, dau un númberu $n$ talmente que $n_{i}=n^{2}$, defínese una secuencia $n_{1}$, $n_{2}$,... onde $n_{i+1}$ ye la suma de los cuadraos de los díxitos de $n_{i}$. Entós $n$ ye feliz si y namái si esiste i talmente que $n_{i+1}=1$.

7 ye un númberu feliz, yá que:

7² = 49

4² + 9² = 97

9² + 7² = 130

1² + 3² + 0² = 10

1² + 0² = 1.

Si $n$ nun ye feliz la suma de los cuadraos va entrar nun bucle (de periodu 8):

4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4,...

Fórmula

Esiste una fórmula recursiva que dexa comprobar si un númberu ye feliz dempués d'una serie de iteraciones.

Sía $b_{1}$ el númberu a comprobar. Si $b_{f}=1$ dempués de delles iteraciones considérase entós que $b_{1}$ ye feliz.

$b_{f}=\sum _{n=0}^{\lfloor ({\frac {\log(b(-1+f))}{\log(10)}})\rfloor }{(-10\,\lfloor ({10}^{-1-n}\,b(-1+f))\rfloor +\lfloor {\frac {b(-1+f)}{{10}^{n}}}\rfloor )}^{2}$.

Infinitud de númberos felices

Ye fácil comprobar qu'hai infinitos númberos felices, una y bones los cuadraos de los díxitos de cualquier númberu de la forma $10^{n}$ (con $n$ un númberu natural) siempres suman 1.

De la mesma manera, hai infinitos númberos infelices, pos los cuadraos de los díxitos de los númberos de la forma $2*10^{n}$ (con $n$ natural) suman 4, que ye un númberu infeliz.

Llistes de númberos felices

Esisten dos númberos felices d'una cifra: 1 y 7. (7 ye amás un primu feliz)

Esisten 17 númberos felices de dos cifres: 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94 y 97. (13, 19, 23, 31, 79 y 97 son primos felices).

Esisten 123 númberos felices de trés cifres: 100, 103, 109, 129, 130, 133, 139, 167, 176, 188, 190, 192, 193...

Primos felices

Anque esisten infinitos primos, ya infinitos númberos felices, nun se sabe si esisten infinitos primos felices.

Los primeros primos felices son 7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239... (Secuencia A035497 de la OEIS)

Los segundu y terceru primos repitunos (1111111111111111111 y 11111111111111111111111) son amás primos felices.

Númberos felices perfectos

De los 48 númberos perfectos que se conocen, solu trés son amás felices: 28, 496 y 8128.

Igual que colos númberos primos felices, nun se sabe si esisten infinitos perfectos felices.

Felicidad n'otres bases

En binariu (base 2), tolos númberos son felices. La operación de sumar cuadraos simplificar, yá que solo fai falta cuntar cuántos 1 tien el desenvolvimientu binariu del númberu, un valor conocíu como pesu Hamming. El pesu Hamming d'un númberu siempres ye menor que'l mesmu númberu (si salvamos el 1 y el 0). Poro, algámase siempres el 1 como pesu Hamming.

Enllaces esternos

• Symonds, Ria. «7 and Happy Numbers». Numberphile. Brady Haran.