Xeometríes non euclídees

Xeometríes non euclídees
	área de les matemátiques
	xeometría

Comportamientu de llinies con una perpendicular común en caún de los tres tipos de xeometría

Una xeometría non euclídea ye l'estudiu de les formes y les construcciones que nun se corresponden direutamente con nengún sistema euclideu n-dimensional, caracterizaes por un tensor de corvadura de Riemann que nun s'anula. Ente los exemplos de xeometríes non euclídees tán la xeometría hiperbólica y elíptica, contrapuestes a la xeometría euclídea.

La diferencia fundamental ente la xeometría euclídea y la non euclídea ye la naturaleza de les llinies paraleles. El quintu postuláu d'Euclides, el postuláu de les paraleles, diz que, nun planu bidimensional, pa cualquier recta ℓ y cualquier puntu A, exterior a ℓ, hai exautamente una recta que pasa por A y nun interseca ℓ. En xeometría hiperbólica, sicasí, hay infinites llinies por A que nun intersequen ℓ, mientres que na xeometría elíptica, cualquier llinia que pasa por A interseca ℓ (ver xeometría hiperbólica, xeometría elíptica y xeometría absoluta).

Otra forma de describir les diferencies ente estes xeometríes ye considerar dos llinies rectes estendíes indefiníamente nun planu bidimensional perpendiculares a una tercera:

Na xeometría euclídea estes llinies caltiénense a una distancia ente elles constante, anque se estiendan hasta l'infinitu y llámanse paraleles.
En xeometría hiperbólica allóñense la una de la otra, aumentando la distancia contra más lloñe de los puntos d'interseición cola perpendicular común, conócense dacuandu como ultraparaleles.
En xeometría elíptica les llinies van arrimándose hasta qu'intersequen.

La xeometría non euclídea pue entendese dibuxando figures xeométriques en superficies curves, como la superficie d'una esfera o l'interior d'una taza.

Conceutos de xeometría non euclídea

Los sistemes de xeometría non euclídea diferénciense de los de la euclídea en que modifiquen el quintu postuláu d'Euclides, el postuláu de les pareleles.

En xeneral, hai dos tipos de xeometría non euclídea (homoxénea), la xeometría hiperbólica y la xeometría elíptica. Na xeometría hiperbólica hai varies llinies por un puntu particular que nun intersequen con otra llinia da. Na xeometría elíptica nun hai llinies que nun s'intersequen, independientemente de lo lloñe qu'entamen. Amás, la xeometría elíptica modifica tamién el primer postuláu d'Euclides de forma que dos puntos determinen polo menos una llinia. La xeometría riemanniana trata con xeometríes que nun son homoxénees, lo que significa que n'algún sentíu non tolos puntos son iguales. Por examplu, na superficie formá pegando una semiesfera a un extremo de un cilindru, los puntos de la esfera, llocalmente, obedecen la xeometría elíptica, mientres que los del cilindru obedecen llocalmente la euclídea. Bernhard Riemann, a partir del trabayu de Gauss, determinó un metou pa describir esos espacios.

Basando los nuevos sistemes nestos principios, caún se construye según les sos propies regles y los sos postulaos. Les xeometríes non euclídees, y en particular la elíptica, xueguen un papel importante na teoría la relatividá y la xeometría l'espacio-tiempu.

Estos conceutos aplicaos a dellos planos non euclídeos puen mostrase namái en tres o cuatro dimensiones. La cinta Möbius y la botella Klein son oxetos de un únicu llau, algo imposible nel planu euclideu. La cinta Möbius pue construise en tres dimensiones, pero la botella Klein necesita cuatro.

Xeometría non euclídea del espacio-tiempu

El alcance de la xeometría non euclídea incluye la teoría l'espacio-tiempu de Herman Minkowski. Esta xeometría usa una forma bilineal más xeneral en llugar de la ditancia métrica usual. Los conceutos nesta xeometría refiérense más a un ángulu hiperbólicu qu'al ángulu euclideu usual. Por exemplu, l'aplicación contractiva mueve estos ángulos como fai la rotación euclídea colos ángulos ordinarios. En llugar de llinies perpendiculares, la xeometría l'espacio-tiempu usa llinies hiperbólico-ortogonales que determinen hiperplanos de simultaneidá.

Amás, la xeometría hiperbólica apaez na relatividá especial de la siguiente forma: un sistema de referencia inercial ta determináu por una velocidá y, dada una unidá de tiempu, cada velocidá corresponde a un eventu futuru del orixe que ye la posición d'un observaor con esa velocidá dempués de la unidá de tiempu. Estos eventos futuros formen un hiperboloide, la base del modelu hiperbólicu de la xeometría hiperbólica. Herman Minkowski fizo esta conexón nel su famosu trabayu de 1908.^[1]

Historia

Mientres la xeometría euclídea, llamá así pol matemáticu griegu Euclides, inlcuye algunes de les matemátiques más vieyes conocíes, les xeometríes non euclídees nun fueron ampliamente aceptaes hasta'l sieglu XIX.

El debate qu'acabó llevando al descubrimientu de les xeometríes non euclídees entamó casi tan pronto como'l trabayu Euclides los Elementos fue escritu. Nos Elementos Euclides escomencipió con un númberu limitáu de suposiciones (23 definiciones, cinco nociones comunes y cinco postulaos) ya intentó probar tolos otros resultaos (proposicones) del llibru. El más famosu de los postulaos ye ún que se conoz normalmente como'l "quintu postuláu d'Euclides" o el "postuláu de les paraleles", que na formulación orixinal d'Euclides ye:

Si una recta corta otres dos rectes de tal forma que los ángulos interiores del mesmu llau sumen menos de dos rectos, entós eses dos rectes, si se prollonguen indefiníamente, tópanse nesi llau onde los ángulos sumen menos de dos rectos.

Otros matemáticos vieron maneres más fáciles de enunciar esta propiedá (véase postuláu de les paraleles). Independientemente de la forma del postuláu, sicasí, siempre paez que ye más complicáu que los otros cuatro (qu'incluyen, por exemplu, "Ente dos puntos pue dibuxase una llinia recta").

Durante polo menos dos mil años, los xeómetres tuvieron problemas con esta complexidá del quintu postuláu y creyeron que podía ser probáu como teorema a partir de los otros cuatro. Muchos intentaron topar una demostración por contradicción, incluyendo el matemáticu árabe Ibn al-Haytham (Alhazen, sieglu XI),^[2] los matemáticos perses Omar Khayyám (sieglu XII) y el matemáticu italianu Giovanni Girolamo Saccheri (sieglu XVIII).

Los teoremes de Ibn al-Haytham, Khayyam y al-Tusi sobre cuadriláteros, incluyendo el cuadriláteru de Lambert y el cuadriláteru de Saccheri, fueron "los primeros teoremas de les xeometríes hiperbólica y elíptica". Estos teoremes y los sos postulaos alternativos, como l'axioma de Playfair, xugaron un papel importante nel desarrollu posterior de la xeometría non euclídea. Estos primeros intentos de rebatir el quintu postuláu tuvieron muncha influencia nel su desarrollu ente los xeómetras europeos posteriores, incluyendo Witelo, Levi ben Gerson, Alfonso, John Wallis y Saccheri.^[3] Toos estos primeros intentos fechos intentando formular la xeometría non euclídea, sicasí, aportaron demostraciones errónees del quintu postuláu, asumiendo coses que yeren equivalentes a él. Pero sí que sirvieron pa ver les primeres propiedaes de les xeometríes hiperbólica y elíptica.

Khayyam, pel so llau, pue ser una esceición. Al contrario que munchos xeómetras enantes y dempués d'él (incluyendo a Saccheri), Khayyam nun intentó probar el postuláu de les paraleles en sí, sinón que quería derivalu d'ún equivalente que formuló de "Los principios" (Aristóteles): "Dos rectes converxentes intersequen y ye imposible pa dos rectes converxentes que diverxan na direición na que converxen."^[4] Khayyam entós consideró los tres casos, rectu, obtusu y agudu, que puen tomar los ángulos d'un cuadriláteru de Saccheri y dempués de demostrar unos cuantos teoremes sobre ellos, refutó los caso obtusu y agudu basándose nel so postuláu y de ehí derivó el postuláu clásicu d'Euclides. Otra esceición pue ser el fíu d'al-Tusi, Sadr al-Din (conocíu a vegaes como "Pseudo-Tusi"), qu'escribió un llibru sobre esti tema en 1298, basáu nes caberes idees d'al-Tusi, que presentaba ún de los primeros argumentos pa una hipótesis non euclídea equivalente al postuláu de les paraleles. "Esencialmente, revisó el sistema euclideu de axiomes y postulaos y les demostraciones de munches proposiciones de los Elementos."^[5]^[6] El so trabayu publicóse en Roma en 1594 y fue estudiáu por xeómetras europeos, incluyendo a Saccheri.^[5]

Giordano Vitale, nel so llibru Euclide restituo (1680, 1686), usó'l cuadriláteru de Saccheri pa demostrar que si tres puntos equidisten de los llaos AB y CD, entós AB y CD equidisten.

Nun trabayu tituláu Euclides ab Omni Naevo Vindicatus (Euclides liberáu de tolos fallos), publicáu en 1733, Saccheri enseguida descartó la xeometría elíptica como una posibilidá (tienen que modificase otros axiomes d'Euclides pa que funcione) y púsose a trabayar demostrando la tira de resultaos sobre xeometría hiperbólica.

Al final llegó a un puntu onde creyía que los sos resultaos demostraben la imposibilidá de la xeometría hiperbólica. Esta afirmación paez que taba basá en presuposiciones euclídees, porque nun había nenguna contradicción lóxica. Nel so intentu de probar la xeometría euclídea descubrió, sin querer, una xeometría nueva viable. Nesi momentu creyíase ampliamente que l'Universu funcionaba según los principios de la xeometría euclídea.

El comienzu del sieglu XIX presenció por fin pasos decisivos na creación de la xeometría non euclídea. Sobre 1830, el matemáticu húngaru János Bolyai y el matemáticu rusu Nikolai Ivanovich Lobachevsky publicaron dixebradamente trataos sobre xeometría hiperbólica. Poro, la xeometría hiperbólica llámase xeometría de Bolyai-Lobachevsky, ya que ambos matemáticos, independientemente, son los autores básicos de la xeometría non euclídea. Gauss dixo-y al padre Bolyai, cuando-y enseñaron el trabayu'l fíu, qu'había desarrollao una xeometría como esa 20 años enantes, anque nun la espublizó. Mientres Lobachevsky creó una xeometría non euclídea negando el postuláu de les paraleles, Bolyai consiguió una xeometría onde la euclídea y la hiperbólica son posibles dependiendo d'un parámetru k. Bolyai acaba'l so trabayu diciendo que ye imposible decidir mediante'l razonamientu matemáticu namái si la xeometría de la física del Universu ye euclídea o non, que eso ye tarea de la física.

En la década de 1840, Hermann Grassmann escribió una tesis doctoral sobre álgebra abstracta y álgebra exterior, onde discutía que la dimensionalidá del Universu físicu nun yera necesariamente tres, sinón que pue nun tar acotá. En 1846 un cálculu xeométricu coordenáu y sin métrica, dable pa una clase de espacios incluyendo los espacios afín y proyeutivu. Desgraciadamente, anque'l trabayu Grassmann fue fundamental pa unes cuantes rames de les matemátiques del sieglu XX, yera tan adelantáu al so tiempu que los sos compañeros nun pudieron entendelu.^[7]

Bernhard Riemann, nuna lectura famosa en 1854, fundó'l campu de la xeometría riemanniana, discutiendo en particular les idees agora llamaes variedaes, métrica Riemanniana y corvadura. Construyó una familia infinita de xeometríes non euclídees dando una fórmula pa una familia de métriques riemannianes en la esfera unidá nel espaciu euclideu. A vegaes, inxustamente namái se-y reconoz el descubrimientu de la xeometría elíptica, pero dafechu esta construcción muestra que'l so trabayu yera de llargu alcance, con teoremes válidos en toles xeometríes.

Modelos de xeometría non euclídea

La xeometría euclídea ta modelá pola nuestra noción de "planu".

Xeometría elíptica

El modelu más simple pa la xeometría elíptica ye una esfera, onde les "rectes" son "circunferencies máximes" (como l'ecuaor o'l meridianu nel globu terrestre) y los puntos opuestos identifiquense (considérense el mesmu).

Nel modelu elípticu, pa cualquier llinia ℓ y cualquier puntu A, que nun pertenez a ℓ, toles llinies que pasen por A intersequen ℓ.

Xeometría hiperbólica

Incluso dempués del trabayu de Lobachevsky, Gauss y Bolyai, quedaba la pregunta: ¿existe un modelu pa la xeometría hiperbólica? La respuesta fue d'Eugenio Beltrami, en 1868, quien mostró per primera vegá qu'una superficie llamá pseudosfera tien la corvadura apropiá pa modelar un cachu del espaciu hiperbólicu y nun segundu trabayu'l mesmu añu definió'l modelu Klein, el modelu'l discu Poincaré y el modelu'l semiplanu Poincaré, que modelen tol espaciu hiperbólicu, y usó esto pa demostrar que la xeometría euclídea y la xeometría hiperbólica yeren equiconsistentes si y namái si la xeometría euclídea lo yera (la implicación contraria síguese del modelu la horosfera de la xeometría euclídea).

Nel modelu hiperbólicu, dentro d'un planu bidimensional, pa cualquier llinia ℓ y cualquier puntu A, que nun pertenez a ℓ, hai infinites llinies que pasen por A y nun intersequen ℓ.

Otros modelos

Hai otros modelos matemáticos del planu nos que'l postuláu de les paraleles falla, por exemplu, el planu Dehn, que consiste en tolos puntos (x,y), onde x ya y son finitos (númberos surreales).

Importancia

El desarrollu de les xeometríes non euclídees mostróse importante pa la física nel sieglu XX. La teoría de la relatividá xeneral d'Albert Einstein describe l'espaciu en xeneral no como planu (euclideu) sinón como curváu elípticamente (non euclideu) cerca de rexones onde hai enerxía. Esta clase de xeometría onde la corvadura cambia según el puntu llámase xeometría riemanniana.

Ficción

La xeometría non euclídea apaez frecuentemente en obres de ciencia-ficción y fantasía.

Entama a notase más el so usu tras la influencia del escritor de novela de terror del sieglu XX H. P. Lovecraft. Nes sos obres, munches coses antinaturales siguen les sus propies lleis de la xeometría. Dizse que esto ye perdesagradable y suel llevar a la llocura a quien lo ve.

El protagonista de Zen and the Art of Motorcycle Maintenance, de Robert Pirsig, menciona munches vegaes la xeometría riemanniana.

En Los hermanos Karamazov, Dostoyevsky discute la xeometría non euclídea mediante'l so protagonista Iván.

En The Inverted World, Christopher Priest describe les penuries de vivir nun planeta con forma de una pseudosfera xiratoria.

"El númberu de la bestia" de Robert Heinlein's utiliza la xeometría non euclídea pa explicar el teletransporte a través del espaciu y el tiempu y entre universos paralelos y ficticios.

Ver tamién

Referencies

↑ Scott Walter (1999) Non-Euclidean Style of Special Relativity Archiváu 2013-10-16 en Wayback Machine
↑ Eder, Michelle, Views of Euclid's Parallel Postulate in Ancient Greece and in Medieval Islam, Rutgers University, http://www.math.rutgers.edu/~cherlin/History/Papers2000/eder.html
↑ Boris A. Rosenfeld y Adolf P. Youschkevitch, "Geometry", p. 470, en Roshdi Rashed y Régis Morelon (1996), Encyclopedia of the History of Arabic Science, Vol. 2, páxs. 447–494, Routledge, Londres y Nueva York:
"Tres científicos, Ibn al-Haytham, Khayyam y al-Tusi, ficieron la contribución más importante a esta rama la xeometría, que vio completamente reconocía la so importancia namás que nel sieglu XIX. N'esencia, les sos proposiciones sobre les propiedaes de los cuadriláteros que consideraren asumiendo que algunos ángulos d'estes figures fueren agudos o obtusos, dieron llugar a los primeros teoremes de les xeometríes hiperbólica y elíptica. Les sos otres propuestes mostraron que varios enunciaos xeométricos yeren equivalentes al quintu postuláu d'Euclides. Ye mui importante que estos estudiosos establecieron la conexón mutua ente esti postuláu y la suma d'ángulos d'un triángulu y un cuadriláteru. Polos sos trabayos na teoría de les paraleles, los matemáticos árabes influyeron direutamente les importantes investigaciones de los sos colegas europeos. El primer intentu européu de probar el postuláu de les paraleles – fechu por Witelo, el científicu polacu del sieglu XII, mientres revisaba el Llibru de la óptica (Kitab al-Manazir) d'Ibn al-Haytham – fue sin dulda causáu por fuentes árabes. Les demostraciones presentaes nel sieglu XIV pol clérigu xudíu Levi ben Gerson, que vivió nel sur de Francia, y pol enantes mencionáu Alfonso d'España paécense muncho a la de Ibn al-Haytham. Tenemos demostrao que la Exposición d'Euclides de Pseudo-Tusi estimuló los estudios de J. Wallis y G. Saccheri de la teoría de les llinies paraleles."
↑ Boris A. Rosenfeld y Adolf P. Youschkevitch (1996), "Geometry", p. 467, en Roshdi Rashed y Régis Morelon (1996), Encyclopedia of the History of Arabic Science, Vol. 2, páxs. 447–494, Routledge, ISBN 0-415-12411-5
↑ ^5,0 ^5,1 Victor J. Katz (1998), History of Mathematics: An Introduction, p. 270–271, Addison–Wesley, ISBN 0-321-01618-1:
"Pero nun manuscritu probablemente escritu pol so fíu Sadr al-Din en 1298, basáu nes caberes idees de Nasir al-Din sobre la materia, hai un nuevu argumentu basáu n'otra hipótesis, tamién equivalente a la d'Euclides, [...] la importancia desti últimu trabayu ye que fue publicáu en Roma en 1594 y estudiáu por xeómetras europeos. En particular, convirtióse nel puntu de partía pal trabayu de Saccheri y finalmente pal descubrimientu de la xeometría non euclídea."
↑ Boris A. Rosenfeld y Adolf P. Youschkevitch (1996), "Geometry", en Roshdi Rashed, Encyclopedia of the History of Arabic Science, Vol. 2, p. 447–494 [469], Routledge, Londres y Nueva York:
"Na Exposición d'Euclides de Pseudo-Tusi, [...] úsase otru enunciáu en llugar del postuláu. Yera independiente del quintu postuláu d'Euclides y cenciellu de probar. [...] Esencialmente, revisó el sistema euclideu de axiomes y postulaos y les demostraciones de munches proposiciones de los Elementos."
↑ «Archived copy». Archiváu dende l'orixinal, el 2009-06-03.

Referencies

Anderson, James W. Hyperbolic Geometry, segunda edición, Springer, 2005
Beltrami, Eugenio Teoria fondamentale degli spazî di curvatura costante, Annali. di Mat., ser II 2 (1868), 232–255
Greenberg, Marvin Jay Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History, cuarta edición, Nueva York: W. H. Freeman, 2007. ISBN 0-7167-9948-0
Milnor, John W. (1982) Hyperbolic geometry: The first 150 years, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 6, Númberu 1, pp. 9–24.
Stewart, Ian Flatterland. New York: Perseus Publishing, 2001. ISBN 0-7382-0675-X (en rústica)
Jeremy Gray (1989) Ideas of Space: Euclidean, Non-Euclidean, and Relativistic, segunda edición, Clarendon Press.
Carrol, Lewis Euclid and His Modern Rivals, ISBN 0486229688

Enllaces esternos

Roberto Bonola (1912) Non-Euclidean Geometry, Open Court, Chicago.
MacTutor Archive article on non-Euclidean geometry
Synthetic Spacetime, un resume de los axiomas usaos y teoremes demostroas por Wilson y Lewis. Archivao por WebCite.

[1] Scott Walter (1999) Non-Euclidean Style of Special Relativity Archiváu 2013-10-16 en Wayback Machine

[2] Eder, Michelle, Views of Euclid's Parallel Postulate in Ancient Greece and in Medieval Islam, Rutgers University, http://www.math.rutgers.edu/~cherlin/History/Papers2000/eder.html

[3] Boris A. Rosenfeld y Adolf P. Youschkevitch, "Geometry", p. 470, en Roshdi Rashed y Régis Morelon (1996), Encyclopedia of the History of Arabic Science, Vol. 2, páxs. 447–494, Routledge, Londres y Nueva York:
"Tres científicos, Ibn al-Haytham, Khayyam y al-Tusi, ficieron la contribución más importante a esta rama la xeometría, que vio completamente reconocía la so importancia namás que nel sieglu XIX. N'esencia, les sos proposiciones sobre les propiedaes de los cuadriláteros que consideraren asumiendo que algunos ángulos d'estes figures fueren agudos o obtusos, dieron llugar a los primeros teoremes de les xeometríes hiperbólica y elíptica. Les sos otres propuestes mostraron que varios enunciaos xeométricos yeren equivalentes al quintu postuláu d'Euclides. Ye mui importante que estos estudiosos establecieron la conexón mutua ente esti postuláu y la suma d'ángulos d'un triángulu y un cuadriláteru. Polos sos trabayos na teoría de les paraleles, los matemáticos árabes influyeron direutamente les importantes investigaciones de los sos colegas europeos. El primer intentu européu de probar el postuláu de les paraleles – fechu por Witelo, el científicu polacu del sieglu XII, mientres revisaba el Llibru de la óptica (Kitab al-Manazir) d'Ibn al-Haytham – fue sin dulda causáu por fuentes árabes. Les demostraciones presentaes nel sieglu XIV pol clérigu xudíu Levi ben Gerson, que vivió nel sur de Francia, y pol enantes mencionáu Alfonso d'España paécense muncho a la de Ibn al-Haytham. Tenemos demostrao que la Exposición d'Euclides de Pseudo-Tusi estimuló los estudios de J. Wallis y G. Saccheri de la teoría de les llinies paraleles."

[4] Boris A. Rosenfeld y Adolf P. Youschkevitch (1996), "Geometry", p. 467, en Roshdi Rashed y Régis Morelon (1996), Encyclopedia of the History of Arabic Science, Vol. 2, páxs. 447–494, Routledge, ISBN 0-415-12411-5

[Katz-5] 5,0 ^5,1 Victor J. Katz (1998), History of Mathematics: An Introduction, p. 270–271, Addison–Wesley, ISBN 0-321-01618-1:
"Pero nun manuscritu probablemente escritu pol so fíu Sadr al-Din en 1298, basáu nes caberes idees de Nasir al-Din sobre la materia, hai un nuevu argumentu basáu n'otra hipótesis, tamién equivalente a la d'Euclides, [...] la importancia desti últimu trabayu ye que fue publicáu en Roma en 1594 y estudiáu por xeómetras europeos. En particular, convirtióse nel puntu de partía pal trabayu de Saccheri y finalmente pal descubrimientu de la xeometría non euclídea."

[6] Boris A. Rosenfeld y Adolf P. Youschkevitch (1996), "Geometry", en Roshdi Rashed, Encyclopedia of the History of Arabic Science, Vol. 2, p. 447–494 [469], Routledge, Londres y Nueva York:
"Na Exposición d'Euclides de Pseudo-Tusi, [...] úsase otru enunciáu en llugar del postuláu. Yera independiente del quintu postuláu d'Euclides y cenciellu de probar. [...] Esencialmente, revisó el sistema euclideu de axiomes y postulaos y les demostraciones de munches proposiciones de los Elementos."

[7] «Archived copy». Archiváu dende l'orixinal, el 2009-06-03.

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