Xeometría hiperbólica

Xeometría hiperbólica
área de les matemátiques
Xeometríes non euclídees

La xeometría hiperbólica (o lobachevskiana) ye un modelu de xeometría que satisfai solo los cuatro primeros postulaos de la xeometría euclidiana. Anque ye similar en munchos aspeutos y munchos de los teoremas de la xeometría euclidiana siguen siendo válidos en xeometría hiperbólica, nun se satisfai'l quintu postuláu de Euclides sobre les paraleles. Al igual que la xeometría euclidiana y la xeometría elíptica, la xeometría hiperbólica ye un modelu de combadura constante:

• La xeometría euclidiana satisfai los cinco postulaos de Euclides y tien corvadura cero.
• La xeometría hiperbólica satisfai solo los cuatro primeros postulaos de Euclides y tien combadura negativa.
• La xeometría elíptica satisfai solo los cuatro primeros postulaos de Euclides y tien combadura positiva.

Historia

Dende l'antigüedá realizaron esfuerciu por deducir el quintu postuláu d'Euclides, referente a les paraleles, de los otros cuatro. Unu de los intentos más amplios y ambiciosos foi'l de Giovanni Gerolamo Saccheri nel sieglu XVIII quien, contradictoriamente creó lo que podríamos considerar modelu incipiente de xeometría hiperbólica. Sicasí, Saccheri creyó que nun yera consistente y nun llegó a formalizar tolos aspeutos del so trabayu. Tamién Johann Heinrich Lambert atopó delles fórmules interesantes referentes a lo que güei llamaríamos triángulos de la xeometría hiperbólica, probando que la suma de los ángulos ye siempres menor que 180° (o π radianes), la fórmula de Lambert establecía que pa unu d'estos triángulos cumplíase:

$(\pi -(\alpha +\beta +\gamma ))=CA_{\alpha \beta \gamma }\;$

Onde:

$\alpha +\beta +\gamma \;$, ye la suma de los ángulos del triángulu (espresada en radianes).

$A_{\alpha \beta \gamma }\;$, ye l'área total del triángulu.

$C\;$ ye una constante de proporcionalidad positiva rellacionada cola combadura constante del espaciu hiperbólicu en que se topa somorguiáu'l triángulu.

Más palantre Carl Friedrich Gauss trabayó nun modelu similar pero nun publicar les sos resultancies. Nos años 1820 dos nuevos matemáticos que trabayaben de manera independiente, János Bolyai y Nikolai Ivanovich Lobachevsky, publicaron los sos modelos polos cualos establecíen la posibilidá d'un tipu de xeometría alternativa, totalmente consistente, que ye'l que conocemos como xeometría hiperbólica.

Introducción

Paraleles na xeometría hiperbólica

Rectes que pasen por P y son hiperparalelas a R

Un triángulu nuna superficie con forma d'una siella de montar (un paraboloide hiperbólicu), según dos rectes paraleles diverxentes.

El axoma de Bolyai, equivalente al quintu postuláu de Euclides sobre les rectes paraleles diz que «dada una recta r y un puntu P esternu a ella, hai una y solo una recta que pasa por P que non interseca a 'r''». Comúnmente, la recta que tien esta cualidá recibe'l nome de "paralela" al traviés de P.

En xeometría hiperbólica, esti postuláu resulta falsu yá que siempres hai siquier dos rectes distintes que pasen por P y les cualos non intersecan a r. De fechu pa la xeometría hiperbólica ye posible demostrar una interesante propiedá: hai dos clases de rectes que non intersecan a la recta r. Sía B un puntu que pertenez a r tal que la recta PB ye perpendicular a r. Considere la recta l que pasa por P, tal que l non interseca a r y l'ángulu theta ente PB y l (en sentíu contrariu a les manecillas del reló, dende PB) ye lo más pequeño posible (esto ye, cualesquier ángulu más pequeñu que theta, va forzar a la recta a intersecar a r). Esta (l), ye denomada recta hiperparalela (o a cencielles, recta paralela) na xeometría hiperbólica.

En forma similar, la recta m que forma'l mesmu ángulu theta ente PB y ella mesma, pero agora en sentíu de les manecillas del reló dende PB, tamién va ser hiperparalela, pero nun pueden haber otres. Toles otres rectes que pasen por P y que non intersecan a r, formen ángulos más grandes que theta con PB y son llamaes rectes ultraparalelas (o rectes disjuntamente paraleles). Note que, al haber un númberu infinitu d'ángulos posibles ente θ y 90º, cada unu d'estos va determinar dos rectes que pasen por P y que son disjuntamente paraleles a r, vamos tener entós, un númberu infinitu de rectes ultraparalelas. Poro, tenemos esta forma modificada del Postuláu de les Rectes Paraleles: «En xeometría hiperbólica, dada una recta r y un puntu P esterior a r hai esautamente dos rectes que pasen por P, que son hiperparalelas a r, ya infinites rectes que pasen por P y son ultraparalelas a r».

Les diferencies ente rectes hiperparalelas y ultraparaleas, tamién pueden ser vistes de la siguiente forma: la distancia ente rectes hiperparalelas tiende a cero mientres unu allóñase infinitamente de PB pola recta R. Sicasí, la distancia ente rectes ultraparalelas nun tiende a cero si unu allóñase infinitamente de PB pola recta r. L'ángulu de paralelismu na xeometría euclidiana ye una constante, esto ye, cualquier llargor BP, va determinar un ángulu de paralelismu igual a 90 graos. Na xeometría hiperbólica, l'ángulu de paralelismu varia cola que ye llamada la función Π(p). Esta función, descrita por Nikolai Ivanovich Lobachevsky, produz un ángulu únicu de paralelismu pa cada llargor dau BP. Mientres el llargor BP fáigase más pequeña, l'ángulu de paralelismu va averar a 90º. Si'l llargor BP amonta ensin llendes, l'ángulu de paralelismu va averar a cero. Note que, por cuenta de esti fechu, mientres les distancies fáiganse más pequeñes, el planu hiperbólicu va portase cada vez más como la Xeometría Euclidiana. Poro, a pequeñes escales, un observador nel planu hiperbólicu va tener dificultaes pa dase cuenta de que les distancies nun s'atopen nun planu euclidianu.

Na xeometría euclídea la suma de los ángulos de cualquier triángulu ye siempres 180°. Na xeometría hiperbólica esta suma ye siempres menor de 180°, siendo la diferencia proporcional al área del triángulu.

Xeometría hiperbólica y física

Podría perbién asoceder que la xeometría hiperbólica fuera realmente verdadera nel nuesu mundu a escala cosmolóxica. Sicasí, la constante de proporcionalidad ente'l déficit d'ángulu pa un triángulu y el so área tendría que ser extraodinariamente pequeña nesti casu, y la xeometría euclídea sería un escelente aproximamientu a esta xeometría pa cualquier escala ordinaria.

Modelos euclídeos de la xeometría hiperbólica

Modelu del discu de Poincaré con una teselación {3,7} de rombos truncaos.

Esisten cuatro modelos o representaciones "euclídeas" de la xeometría hiperbólica: la representación de Klein, el modelu del Discu de Poincaré, el modelu del semiespacio de Poincaré y el modelu de Lorentz. Curiosamente los trés primeros modelos fueron propuestos y publicaos orixinalmente por Eugenio Beltrami en 1868, sicasí, algamaron notoriedá pol usu que tantu Felix Klein como Henri Poincaré fixeron d'ellos, estos dos modelos son modelos de la xeometría hiperbólica de dos dimensiones, y son generalizables a más dimensiones.

• La representación de Klein, tamién conocida como'l modelu proyectivo del discu o modelu de Beltrami-Klein, usa l'interior d'un círculu como planu hiperbólicu, y les cuerdes como llinies del círculu. Esti modelu tien como ventaya la so simplicidá, pero como desventaxa que los planos hiperbólicos tán aburuyaos.
• El modelu de Poincaré usa tamién l'interior d'un círculu planu, y nél les llinies rectes de la xeometría hiperbólica vienen representaes por arcos de circunferencia que corten el cantu del círculu planu en ángulu rectu.

Amás esti modelu ye un modelu de combadura constante negativa, qu'almite una representación como variedá riemanniana con un tensor métricu dau por:

$g=a^{2}(dx\otimes dx+\sinh ^{2}x\ dy\otimes dy)$

Onde a ye una constante rellacionada cola combadura K = -1/a²

Ver tamién

• Xeometría euclídea
• Xeometría elíptica
• Xeometría non euclídea
• Nikolái Lobachevski

Referencies

Bibliografía

• A'Campu, Norbert and Papadopoulos, Athanase, (2012) Notes on hyperbolic geometry, in: Strasbourg Master class on Geometry, páxs. 1--182, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, Vol. 18, Zürich: European Mathematical Society (EMS), 461 pages, SBN ISBN 978-3-03719-105-7, DOI 10.4171/105.
• Luis Santaló (1961), Geometrias non Euclidianes, EUDEBA.
• Robert M. Wald, Xeneral Relativity, Chicago University Press, ISBN 0-226-87033-2.
• Lee, J.M. Riemannian manifolds: an introduction to curvature. GTM 176. ISBN 0-387-98271-X

• Datos: Q209306
• Multimedia: Hyperbolic geometry