Trayeutoria balística

La trayeutoria balística ye la trayeutoria de vuelu que sigue un proyeutil sometíu namái a la so propia inercia y a les fuercies inherentes al mediu nel que se mueve, principalmente la fuercia gravitatoria.

La ciencia qu'estudia los fenómenos balísticos polo xeneral denominar balística. La balistica esterior estudia la trayeutoria balística so diverses condiciones.

Cuando sobre'l proyeutil tan solo actúa la gravedá, la trayeutoria balística ye una parábola. Sicasí, la presencia d'otres fuercies, tales como la resistencia aerodinámica (atmósfera), la fuercia de sustentación, la fuercia de Coriolis (efeutu de la rotación terrestre), etc. fai que la trayeutoria real sía daqué distinta d'una parábola.

Dellos proyeutiles autopropulsados denominar balísticos faciendo fincapié que nun esiste propulsión namás que na fase inicial de llanzamientu ('fase caliente'). Un exemplu d'ello son los misiles balísticos que na so fase de cayida escarecen de autopropulsión.

Ecuaciones de la trayeutoria balística

Oxetu disparáu con un ángulu inicial $\ \theta _{0}$ dende un puntu $\ y(x_{0})$ que sigue una trayeutoria parabólica.

Vamos Utilizar les siguientes hipótesis simplificadores:

L'algame del proyeutil ye abondo pequeñu como pa poder despreciar la combadura de la superficie terrestre (l'aceleración gravitatoria $\mathbf {g} \,$ ye normal a dicha superficie);
L'altor qu'algama'l proyeutil ye abondo pequeña como pa poder despreciar la variación del campu gravitatorio terrestre col altor;
La velocidá del proyeutil ye abondo pequeña como pa poder despreciar la resistencia que presenta l'aire al so movimientu.
Nun vamos tener en cuenta l'efeutu de rotación de la Tierra que, como vamos ver más palantre, tiende a esviar el proyeutil escontra la derecha de la so trayeutoria cuando'l movimientu tien llugar nel hemisferiu Norte.

Supongamos que se dispara'l proyeutil con una velocidá inicial $\mathbf {v} _{0}\,$ que forma un ángulu $\mathbf {\theta } _{0}\,$ cola horizontal. Vamos Escoyer el planu xy coincidiendo col planu de la trayeutoria (definíu por $\mathbf {v} _{0}\,$ y $\mathbf {g} \,$ ), cola exa y vertical y empobináu escontra riba y l'orixe O coincidiendo cola posición de disparu del proyeutil. Tenemos:

(1) $\mathbf {r} _{0}=\;{\begin{cases}x_{0}=0\\y_{0}=y_{0}\end{cases}}$

(2) $\mathbf {v} _{0}=\;{\begin{cases}v_{0x}=v_{0}\cos \theta _{0}\\v_{0y}=v_{0}\sin \theta _{0}\end{cases}}$

(3) $\mathbf {a} =\;{\begin{cases}a_{0x}=0\\a_{0y}=-g\end{cases}}$

La componente horizontal de la velocidá permanez invariable, pero la componente vertical camuda nel intre del tiempu. Na figura 1 reparar que'l vector velocidá inicial $\,v_{0}$ forma un ángulu inicial $\,\theta _{0}$ respectu a la exa x; l'ángulu $\,\theta$ que forma la velocidá cola horizontal, que coincide cola rimada de la trayeutoria, camuda conforme avanza'l proyeutil.

Integrando les ecuaciones (3) y teniendo en cuenta les condiciones iniciales (2)

(4) $\mathbf {v} =\;{\begin{cases}v_{x}=v_{0}\cos \theta _{0}\\v_{y}=v_{0}\sin \theta _{0}-gt\end{cases}}$

Por aciu nueva integración de (4), coles condiciones iniciales (1), llogramos el vector de posición del proyeutil:

(5) $\mathbf {r} =\;{\begin{cases}x=v_{0}t\cos \theta _{0}\\y=y_{0}+v_{0}t\sin \theta _{0}-{\frac {1}{2}}gt^{2}\end{cases}}$

Estos dos ecuaciones constitúin les ecuaciones paramétricas de la trayeutoria. Si esaniciamos el tiempu ente les espresiones de les componentes x y y del vector de posición coles ecuaciones que dan les posiciones $\ x$ y $\ y$ , vamos llograr la ecuación alxebraica de la trayeutoria, esto ye:

(6) $y=y_{0}+x\tan \theta _{0}-{\frac {g}{2v_{0}^{2}\cos ^{2}{\theta _{0}}}}x^{2}$

que representa una parábola nel planu x,y.

Na figura 1 amuésase esta representación, pero nella haise consideráu $\ y_{0}=0$ (non asina na animación respeutiva). Nesa figura tamién se repara que l'altor máximu na trayeutoria parabólica va producir en H, cuando la componente vertical de la velocidá $\ v_{y}$ sía nula (máximu de la parábola); y que l'algame horizontal $\ x$ va asoceder cuando'l cuerpu retorne al suelu, en $\ y=0$ (onde la parábola curtia a la exa $\ x$ ).

A partir de les ecuaciones anteriores podemos llograr muncha información avera del movimientu del proyeutil.

Por casu, nel supuestu de que $y_{0}=0\,$ , el tiempu $t_{h}\,$ necesariu por que'l proyeutil algame l'altor máximu $h\,$ determinar anulando la componente vertical de la velocidá en [4], yá que nesi puntu la velocidá del proyeutil ye horizontal. L'altor máximu $h\,$ alcanzada pol proyeutil y el percorríu horizontal $x_{h}\,$ realizáu hasta esi intre calcular sustituyendo'l tiempu $t_{h}\,$ nes componentes del vector de posición $\mathbf {r} \,$ en [5], llográndose:

(7) ${\begin{cases}t_{h}={\frac {v_{0}\sin \theta _{0}}{g}}\\x_{h}={\frac {v_{0}^{2}\sin 2\theta _{0}}{2g}}\\y_{h}=h={\frac {v_{0}^{2}\sin ^{2}\theta _{0}}{2g}}\end{cases}}$

El tiempu $t_{A}\,$ qu'emplega'l proyeutil en retornar al planu horizontal de llanzamientu recibe'l nome de tiempu de vuelu y podemos calcular faciendo $y=0\,$ en [5]. El algame $x_{A}\,$ ye la distancia horizontal cubierta mientres esi tiempu y determinar sustituyendo'l valor del tiempu de vuelu en $x(t)\,$ en [5]:

(7) ${\begin{cases}t_{A}={\frac {2v_{0}\sin \theta _{0}}{g}}\\x_{A}={\frac {v_{0}^{2}\sin 2\theta _{0}}{g}}\\y_{A}=0\end{cases}}$

Reparar que $t_{A}=2t_{h}\,$ , que $x_{A}=2x_{h}\,$ y que, pa un valor fixu de $v_{0}\,$ , l'algame va ser máximu pa un ángulu de disparu de 45°. Per otra parte, como $\sin 2(90^{o}-\theta _{0})=\sin 2\theta _{0}\,$ , llógrase'l mesmu algame pa un ángulu de disparu dau y pal so complementariu.

Movimientu balísticu con resfregón

Esfregadura *-k_wv*. Trayectories casi parabóliques con esfregadura proporcional a la velocidá, pa cinco valores distintos de la velocidá horizontal β = 1,5, β = 2,5, β = 2,5 y β = 1,5, dende un altor h = 7δ.

La presencia nel mediu d'un fluyíu, como l'aire, exerz una fuercia d'esfregadura que depende del módulu de la velocidá y ye de sentíu opuestu a esta. Neses condiciones, el movimientu d'una partícula nun campu gravitatorio uniforme nun sigue puramente una parábola y ye namái casi-parabólicu. Tocantes a la forma del esfregadura estremen dos casos.

Movimientu a baxa velocidá

Pa un fluyíu en reposu y un cuerpu moviéndose a bien baxa velocidá, el fluxu alredor del cuerpu puede considerase llaminar y, nesi casu, la esfregadura ye proporcional a la velocidá. La ecuación de la trayeutoria resulta ser:

$y(x)=h_{0}-\delta \left[{\frac {x}{\beta \delta }}-\ln \left(1-{\frac {x}{\beta \delta }}\right)\right]$

onde:

h_{0}\;

ye l'altor inicial dende la que cai'l cuerpu.

\delta =gm^{2}/k_{w}^{2},\quad \beta =v_{x}k_{w}/mg

son dos parámetros que definen el problema en términos de les magnitúes del problema.

m,g,k_{w},v_{x}\;

son la masa del cuerpu que cai, l'aceleración de la gravedá, el coeficiente d'esfregadura y la velocidá horizontal inicial.

P'altores abondo grandes la esfregadura del aire fai que'l cuerpu caya según una trayeutoria que'l so últimu tramu ye práuticamente vertical, al ser frenada casi dafechu la velocidá horizontal inicial.

**Esfregadura *-C_wv*²**. Trayectories casi parabóliques con esfregadura proporcional a la velocidá, pa cinco valores distintos de la velocidá horizontal β = 1,5, β = 2,5, β = 3,5 y β = 1,5, dende un altor h = 7δ.

Movimientu a velocidá moderada o grande

A velocidaes moderadamente grandes o grandes, o cuando'l fluyíu ta en movimientu, el fluxu alredor del cuerpu ye aturbolináu y prodúcense remolinos y presiones que xeneren una fuercia de frenáu proporcional al cuadráu de la velocidá.

En llugar de les ecuaciones anteriores, más difíciles d'integrar, puede usase en forma averada les siguientes ecuaciones:

${\begin{cases}{\cfrac {dv_{x}}{dt}}=-C_{w}v_{x}^{2}\\{\cfrac {dv_{y}}{dt}}=+C_{w}v_{y}^{2}-g\end{cases}}$

Pa eses ecuaciones la trayeutoria vien dada por:

$y(x)=h_{0}-\delta \ln \left[\cosh \left({\frac {y^{x/\delta }-1}{\beta }}\right)\right]$

Onde:

h_{0}\;

ye l'altor inicial dende la que cai'l cuerpu.

\delta =1/C_{w},\quad \beta ={\sqrt {g/(C_{w}v_{x}^{2})}}

son dos parámetros que definen el problema en términos de les magntiudes del problema.

g,C_{w},v_{x}\;

son l'aceleración de la gravedá, el coeficiente d'esfregadura y la velocidá horizontal inicial.

Ver tamién

Referencies

Bibliografía

Marion, Jerry B. (1996). Dinámica clásica de les partícules y sistemes (en castellanu). Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4094-8.
Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lecciones de Física (4 volúmenes) (en castellanu). Monytex. ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7.
Resnick, Robert & Halliday, David (2004). Física 4ª (en castellanu). CECSA, Méxicu. ISBN 970-24-0257-3.
"Balística Esterior", Francisco Pérez, Ministeriu de Defensa, 1992.

Enllaces esternos

Fueya pa calcular la distancia y el tiempu de vuelu y poder entender les ecuaciones anteriores