Númberos coprimos

En matemátiques, los númberos coprimos (númberos primos ente sí o primos relativos) son dos númberos enteros a y b que nun tienen nengún factor primu de mancomún. Dicho otra manera, si nun tienen otru divisor común más que 1 y -1. Equivalentemente son coprimos, si y solu si, el so máximu común divisor (MCD) ye igual a 1. Dos númberos coprimos nun tienen por qué ser primos absolutos de forma individual. 14 y 15 son compuestos , sicasí son coprimos, pos el so MCD =1.

Por exemplu, 6 y 19 son coprimos, pero 6 y 27 nun lo son porque dambos son divisibles por 3. El 1 ye coprimo respectu de tolos enteros, mientres que 0 solo ser respectu de 1 y -1.

Un cálculu rápidu pa determinar si dos númberos enteros son coprimos ye l'algoritmu de Euclides.

Propiedaes

Básiques

• Si dos númberos enteros a y b son primos ente sí, entós esisten dos enteros x y y / a·x + b·y = 1. (Identidá de Bézout)

• Si a y b son coprimos, amás a divide'l productu bc, entós a divide a c. (Lema de Euclides)

• Los númberos enteros a y b son coprimos cuando b tien un inversu pal productu módulu a; esto ye, esiste un númberu entero y tal que b·y ≡ 1 (mod a). Una consecuencia d'esto ye que si a y b son primos ente sí y bm ≡ bn (mod a), entós m ≡ n (mod a). Dicho otra manera, b ye simplificable nel aniellu Z/nZ de los enteros módulu a.

• Si los númberos naturales a y b son coprimos , tamién lo son a2, ab, b2.

• Si los númberos enteros positivos m y n son coprimos, lo ye tamién m, n, m+n.

Otres propiedaes

4 y 9 son primos ente sí, polo que la recta del dibuxo nun corta a nengún valor entero.

• Los dos númberos enteros a y b son primos ente sí, si y solu si, el puntu de coordenaes (a, b) nun sistema cartesianu de coordenaes ye visible dende l'orixe (0,0) nel sentíu en que nun hai nengún puntu de coordenaes enteres asitiáu ente l'orixe y (a,b).
• Dos númberos naturales a y b son primos ente sí, si y solu si, los númberos 2^a-1 y 2^b-1 son primos ente sí.
• El númberu de númberos naturales menores que n y que son coprimos con él, aprovilo la función φ de Euler φ(n).
• Si dos númberos naturales son consecutivos entós son coprimos.

Proposición

Tou divisor de la suma de dos cuadraos coprimos ye igual a la suma de dos cuadraos.

Xeneralización

Dos ideales I y J nun aneillu conmutativu A son coprimos si I + J = A. Esto xeneraliza la identidá de Bézout. Si I y J son primos ente sí, entós IJ = I∩J; amás, si K ye un tercer ideal tal qu'I contién a JK, entós I contién a K.

Con esta definición, dos ideales principales (a) y (b) nel aníu de los númberos enteros Z son primos ente sí, si y solu si, a y b son primos ente sí.

Enllaces esternos

• Datos: Q104752
• Multimedia: Coprime integers